通过转向控制实现两轮车辆驻停平衡

《Applied Sciences》：Standstill Balancing of Two-Wheeled Vehicles via Steering Control

　　

近年来，两轮车辆的转向辅助系统（steering-assistance systems）受到广泛关注。其预期应用范围既可包括低速场景，也可包括高速场景。众所周知，所有两轮车辆在极低速度下均表现为开环不稳定（open-loop unstable）。因此，尽管这一直觉上似乎相反，稳定化在低速下实际上比在高速下更具挑战性；而在高速条件下，经过合理设计的车辆通常预期应当稳定。一个尚未解决的开放研究问题是：在驻停和极低速条件下，能否仅通过转向控制（steering control）在理论上实现两轮车辆的平衡。本文专门针对该情形展开研究，目标是在给定转向控制极限后，确定系统的可恢复区域（recoverable region）。研究采用基准车辆模型（benchmark vehicle models）开展分析，以确保结果易于复现。控制策略采用运动发散分量（divergent component of motion，DCM）方法，其中转向控制主要聚焦于稳定车辆的不稳定模态（unstable mode）。研究推导了模态可控性（modal controllability）、最小稳定反馈增益（minimum stabilising feedback gain）以及可恢复区域分界轨线（recoverable-region separatrices）的显式表达式。研究揭示了主导平衡问题的关键参数影响，并为开发能够在极低速与驻停状态下平衡两轮车辆的转向辅助系统提供了解析工具和设计指导。

该文发表于《Applied Sciences》，聚焦两轮车辆在驻停与极低速条件下通过转向控制实现平衡的理论问题。研究背景在于：两轮车辆在中高速范围内往往可依靠合适的结构设计获得一定横向稳定性，但在驻停和极低速工况下普遍呈现开环不稳定，车辆会受到车身倾覆模态（body capsize mode）、转向倾覆模态（steering capsize mode）或低速蛇行模态（low-speed weave mode）的共同影响，因此平衡控制反而比高速更困难。已有研究虽然已关注摩托车与自行车的主动转向辅助，但多数适用于较高车速，或依赖非常规转向几何，例如负拖曳距（negative trail）。因此，明确在转向输入受限条件下，两轮车辆究竟具备多大“可挽回”能力，以及哪些参数主导这种能力，具有重要理论与工程价值。

为解决上述问题，研究人员基于Whipple模型（两轮车辆经典动力学基准模型）及其考虑轮胎有限截面宽度的扩展形式，对驻停与极低速平衡问题进行了系统解析。文章将转向角而非转向力矩作为主要控制输入，提取车辆横滚动力学，并引入二阶滤波器表征转向执行机构带宽。随后利用运动发散分量（DCM）框架，将系统分解为稳定模态与唯一不稳定模态，控制器仅针对不稳定模态实施反馈稳定。围绕这一框架，论文推导了不稳定模态的可控性条件、最小稳定反馈增益，以及在有界转向输入条件下状态空间可恢复区域的分界轨线。研究表明，两轮车辆在驻停时的可恢复区域通常非常狭小；当存在特定极点—零点相消（pole–zero cancellation）时，可控性会在特定速度下丧失；而采用非常规转向几何或在约1 m/s的中低速下运行，则可显著扩大可恢复区域。

本文主要采用的技术方法包括：以基准Whipple模型及其含轮胎截面扩展模型为对象，建立驻停与低速横滚—转向耦合动力学；通过拉普拉斯变换与状态空间模态分解构建基于DCM的不稳定模态反馈控制律；在理想与非理想转向执行两种条件下，解析推导模态可控性、最小稳定反馈增益和可恢复区域分界轨线；采用时域仿真、与文献中两质量块模型的对比分析、参数灵敏度分析以及约束优化分析评估不同参数组合对驻停平衡能力的影响。对比数据既包括标准基准数据集，也包括Araki等文献所用车辆数据集及含骑手修正情形。

在研究结果方面，论文首先在“2. Vehicle Model”中建立了分析基础。研究人员采用四刚体Whipple模型描述后车架、前车架、前轮和后轮的耦合运动，并假定悬架锁止、轮胎无侧滑、骑手与后车架刚性连接、车辆在平面道路上运动。在恒速条件下，系统可写为标准二自由度横滚—转向方程。为适应本文目标，研究进一步将转向角作为输入，仅保留与横滚相关的动力学方程，得到由转向角到横滚角的传递函数。结果指出，轮胎截面半径会同时影响系统极点与零点，其中较厚轮胎可产生类似“摇篮效应”的稳定化作用，并影响极点—零点相消条件。随后，研究又通过二阶滤波器描述转向执行机构，使其既可反映实际转向角跟踪带宽，也可提供仿真所需的转向角速度与角加速度。

在“3. Vehicle Control”中，研究人员给出了核心控制理论。由于转向控制下的Whipple模型仅含一个不稳定极点，因此可采用DCM方法，将系统投影到不稳定特征子空间，仅反馈该发散分量即可实现稳定。文章明确写出不稳定模态的状态投影表达式，并在理想转向执行条件下给出紧凑解析式。该部分的重要结论在于：若输入在不稳定特征子空间上的投影为零，则该不稳定模态不可控，任何反馈都无法稳定系统；若该投影绝对值较大，则只需较小反馈增益即可稳定。此外，该投影的符号还决定了稳定控制作用方向。

在“3.1. Controllability”中，论文进一步分析了模态可控性随速度与轮胎截面变化的规律。研究表明，基准数据集在驻停时虽然仍可控，但可控性较弱；随着车速增加，可控性会先衰减至零，并在特定前进速度处丧失，之后随速度继续增加而恢复并增强。对于后退工况，也存在另一不可控速度。若考虑轮胎截面，前轮截面增大与后轮截面增大对可控性的影响并不相同：前轮截面在某些条件下有助于降低前进方向不可控速度，后轮截面则可能使该速度升高。当两轮截面同时增大到一定程度时，前进方向的不可控速度甚至可消失。该结果说明，轮胎几何不仅影响固有稳定性，也显著影响通过转向实现平衡的控制权。

在“3.2. Stability and Separatrix”中，研究人员建立了无约束与有约束两种控制条件下的稳定判据。对于无输入约束情形，给出了线性反馈控制律，并推导最小稳定反馈增益；系统越接近不可控状态，所需反馈增益越趋于无穷大。对于实际更重要的有界转向输入情形，研究通过Lyapunov函数（李雅普诺夫函数）推导出不稳定模态的可恢复区域，证明状态空间中存在两条分界轨线，其间区域即为可恢复域，而外部状态无论施加何种允许控制都将发散。文章还写出了这些分界轨线在横滚角—横滚角速度平面上的截线形式、斜率与坐标轴截距，为后续几何解释和设计分析提供了清晰工具。

在“4.1. Time-Domain Simulation”中，研究通过时域仿真验证分界轨线方法。仿真选取1 Hz工况，在基准轮胎截面和增大前轮截面两种配置下比较系统响应。无界控制时，只要反馈增益超过最小稳定值且系统可控，两种配置都可稳定；但因模态可控性符号不同，稳定控制的转向方向也不同。有界控制时，基准配置下给定初始状态位于可恢复区域之外，车辆在短时间内发散，且转向角迅速饱和；增大前轮截面后，可恢复区域扩大，相同初始状态落入区域内部，从而实现闭环稳定。该结果直观表明，解析得到的可恢复区域能够准确预测给定初始条件下系统是否可被“救回”。

在“4.2. Comparison with the Two-Mass Model in [9]”中，论文将Whipple模型与既有文献中的两质量块模型进行比较。第一组比较在相同数据集、不同模型结构下进行，结果显示两者预测的可恢复区域数量级相近，Whipple模型通常略大，但差异有限，说明两质量块模型在驻停平衡问题上具有一定有效性。第二组比较则在相同Whipple模型、不同数据集下进行。结果发现，采用文献[9]的数据集并计入骑手后，驻停时的可恢复区域约为基准数据集的20倍，而在1 m/s时二者仅相差约26%。这说明驻停平衡能力对具体车辆参数极其敏感，数据集本身的重要性甚至超过模型结构差异。

在“4.3. Parameter Sensitivity”中，研究系统评估了关键参数对驻停可恢复区域与不可控速度的影响。对轮胎截面半径而言，增大前轮截面通常更有利于扩大可恢复区域并降低前进方向不可控速度，后轮截面的作用相对有限。对后车架质心位置而言，质心前移和下移通常有利于提升模态可控性并扩大可恢复区域，尤其在已部分优化的数据集上更为明显。对转向几何而言，增大主销后倾角（caster angle）或将机械拖曳距（mechanical trail）减小至负值，能显著改变驻停平衡能力，但效果与基础数据集相关。该部分最重要的结论是：单一参数调整带来的改进通常有限，而多参数联合调整才能使可恢复区域显著放大。

在“4.3.4. Steering Actuation Parameters”中，研究进一步分析了转向执行机构动态的影响。结果显示，执行机构自然频率越低，转向参考信号越难被及时跟踪，可恢复区域越小；自然频率足够高时，执行机构近似单位静增益，可恢复区域达到最大。阻尼比也会影响控制权，阻尼越大，可恢复区域越小。研究还指出，虽然降低阻尼有利于扩大可恢复区域，但会带来转向响应过冲，因此执行机构设计需在控制权与响应品质之间权衡。

在“5. Remarks”中，文章补充讨论了多个工程相关问题。“5.1. Steering-Torque Control”指出，实际车辆可通过内环转向力矩控制跟踪外环DCM生成的转向角参考。仿真表明，采用比例—微分（proportional-derivative，PD）力矩控制后，系统响应与直接转向角控制几乎一致，说明本文解析框架同样适用于更接近工程实现的控制结构。“5.2. Stability and Steering Response”表明，为提升驻停可恢复性而建议的参数配置会改变传统两轮车辆的稳定模态与稳态转向响应。例如，一些优化数据集在驻停时已出现稳定蛇行模态，而在较高车速下所需转向力矩方向和大小也与常规几何显著不同。这也解释了既有文献为何提出可变转向几何，使车辆在驻停恢复与常规操纵之间切换。“5.3. Model Nonlinearities”采用非线性Whipple模型并围绕不同转向平衡点线性化，考察大转向角影响。结果显示，基准数据集在较大转向角下可恢复区域反而减小并最终失去可控性，而若采用优化数据集，大转向角会增大可恢复区域；同时，不稳定特征值随转向角变化不大，说明主要问题仍由横滚不稳定主导。“5.4. Parameter Optimisation”则将上述认识系统化为约束优化问题，以驻停时可恢复区域半宽为目标函数，对主销后倾角、机械拖曳距、轮胎截面和后车架质心位置进行联合优化。结果表明，最优设计倾向于采用负拖曳距、尽可能前移和下移的质心位置、较大的轮胎截面，并在给定约束下选择适当主销后倾角。进一步分析显示，最优主销后倾角与机械拖曳距之间存在耦合关系，采用优化后的主销后倾角可进一步扩大可恢复区域。

综合全文讨论，论文的主要意义在于：其一，建立了一个可解析、可复现、基于物理参数的两轮车辆驻停平衡分析框架，明确了极低速与驻停平衡的本质受限于不稳定模态的可控性与有界控制下的可恢复区域；其二，证明了驻停平衡并非单纯控制器设计问题，而与轮胎截面、质心布局和转向几何等车辆构型参数紧密耦合；其三，说明单参数优化难以根本提升驻停能力，联合参数设计才是有效路径；其四，表明非常规几何虽能提升驻停恢复性，却可能牺牲常规操稳特性，因此可变几何或分工况设计具有工程必要性。由于所用Whipple模型是两轮车辆动力学领域的基准模型，而文中对比的两质量块模型又已在既有研究中获得实验验证，因此本文提出的理论框架可为驻停与超低速转向辅助系统的工程设计与性能评估提供扎实基础。

结论部分可译为：本研究从理论上考察了基于运动发散分量（DCM）框架、通过转向控制实现两轮车辆在极低速度乃至驻停状态下稳定的可能性。基于基准Whipple模型及其扩展形式，研究在有界转向作用下解析刻画了不稳定模态的可控性与可恢复性。结果表明，车辆在驻停时的平衡尤其困难，因为此时可恢复区域极小；而非常规转向几何或适度车速（例如1 m/s）能够扩大该区域。研究推导出模态可控性、最小稳定反馈增益以及可恢复区域分界轨线的显式表达式，并表明在特定速度下会因极点—零点相消而丧失可控性，同时可恢复区域对车辆数据集高度敏感。数值分析显示，较大的前轮轮胎截面、质心前移与下移，以及具有更大主销后倾角和负拖曳距的转向几何，都有助于扩大驻停时的可恢复区域；单独改变参数时改进有限，而联合改变多个参数可显著放大该区域。与已有两质量块模型的比较表明，基于Whipple模型的方法在保持物理参数意义并支持灵敏度分析的同时，能够给出相近的可恢复性趋势。结果还证实，执行机构带宽会影响控制权，较慢的转向动态会缩小可恢复区域。尽管本文研究主要基于理论与数值分析，但所依据的Whipple模型是两轮车辆动力学的基准模型，而用于比较的集中质量模型已在文献中成功用于驻停平衡控制器开发并获得实验验证。因此，本文提出的解析框架有望为能够在极低速与驻停状态下平衡两轮车辆的转向辅助系统的工程设计与性能评估提供可靠基础。