基于单位分解法与紧支撑径向基函数(CSRBF)的大尺寸图像二维经验模态分解(BEMD)快速高效新方法

《Mathematics》：A Novel Fast and Efficient BEMD for Large Images Using the Partition of Unity Method and Compactly Supported RBFs

　　

摘要：本文提出一种用于大尺寸图像二维经验模态分解（Bidimensional Empirical Mode Decomposition，BEMD）的快速有效方法。该方法将单位分解（Partition of Unity，PU）算法与紧支撑径向基函数（Compactly Supported Radial Basis Functions，CSRBFs）在BEMD框架内进行融合与适配。传统BEMD算法因依赖包络插值导致计算量大，而所提方法克服了这一局限，复杂分析与实验结果均证实了这一点。合成图像与真实图像的实验结果表明，相较于近期提出的BEMD-CSRBF方法，该方法在计算效率和分解质量上均有显著提升，是对传统BEMD方法的重要改进——表现为正交性指数（Orthogonality Index，OI）更低、处理时间更短。与BEMD-CSRBF相比，所提BEMD-PU方法在计算时间上减少××%–××%，OI降低××%–××%；平均而言，计算时间与OI分别降低××%和××%。因此，所提方法在处理大尺寸图像时表现优异，是图像处理领域一种高效的工具。

论文解读：基于单位分解法与紧支撑径向基函数(CSRBF)的大尺寸图像二维经验模态分解(BEMD)快速高效新方法

一、研究背景与开展本研究的必要性

二维经验模态分解（Bidimensional Empirical Mode Decomposition，BEMD）是经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）向二维信号的拓展，通过迭代筛选（sifting）过程将图像自适应分解为若干二维本征模函数（Bidimensional Intrinsic Mode Functions，BIMFs）和一个残余分量，无需预设基函数，能依据局部空间特征提取多尺度成分，在图像压缩、纹理分析、水印嵌入、融合及去噪等方面应用广泛。然而，BEMD的主要瓶颈在于其包络构造阶段需反复对极值点进行曲面插值（通常为Delaunay三角剖分或全局径向基函数Radial Basis Function，RBF插值），导致计算复杂度高，难以适用于大尺寸图像。已有改进方法如采用紧支撑径向基函数（Compactly Supported Radial Basis Functions，CSRBFs）的BEMD-CSRBF虽在一定程度上加速，但仍需求解单一大规模线性系统。单位分解（Partition of Unity，PU）方法可将大规模散乱数据插值问题分解为若干独立的小规模局部子问题，再经权函数光滑拼接为全局近似，具备良好的可扩展性与局部适应性。基于此，研究人员将PU方法与Wendland's C²CSRBF结合引入BEMD包络估计环节，提出BEMD-PU方法，旨在同时提升大图像BEMD的计算效率与分解正交性。该论文发表于《Mathematics》期刊。

二、主要关键技术方法

研究人员以传统BEMD筛分为基础框架，仅在包络（上包络由局部极大值、下包络由局部极小值）插值阶段作替换：①将图像域划分为带重叠的PU子域（patches），中心均匀布设，半径确保全域覆盖；②引入基于整数索引的块划分结构（Integer-Based Structures），将域划分为q×q个轴对齐块（q=?图像边长/(2R_patch)?），各数据点按坐标归入对应块，通过查询目标块及其相邻8块实现O(1)邻域范围搜索，加速局部极值点归属判定；③各子域内采用Wendland's C²CSRBF（φ(r)=(1?r)₊⁶(35r²+18r+3)，紧支集半径由形参δ控制）做局部RBF插值，解小规模线性系统A_jc_j=f_j；④用Shepard型权函数（基于Wendland C²函数构造未归一化权w_j(x)，再归一化为W_j(x)=w_j(x)/Σw_i(x)）组合各局部插值得到全局包络。实验中采用形状参数δ=0.8，最大筛选迭代次数（Maximum Number of Allowed Iterations，MNAI）=3，停止准则为标准差（Standard Deviation，SD）阈值θ=0.05。测试对象含合成纹理图像（Synthetic Texture Image，STI，512×512，由三幅不同频率正弦分量叠加而成）、标准Lena图（512×512）、Brodatz库Plastic Bubbles D112纹理图（1024×1024）及脑部MRI图（512×512），并与BEMD-CSRBF及FABEMD对照，评价指标为总计算时间与正交性指数（Orthogonality Index，OI=Σ_i≠j|< />_i,BEMC_j>|/||I||²，一般OI<0.1可接受）。

三、研究结果

3.1 分析与讨论——合成纹理图像（Analyses and Discussion Using a Synthetic Texture Image）

研究人员用已知频率成分的STI验证分解能力。BEMD-PU、BEMD-CSRBF与FABEMD均能提取出与原始三分量对应的三个BIMF。BEMD-PU耗时最短（xx s vs BEMD-CSRBF xx s、FABEMD xx s），OI最低（BEMD-PU xx < BEMD-CSRBF xx < FABEMD xx），重建误差仅反映数值舍入。局部放大显示BEMD-PU的BIMF3更接近理论低频分量，表明PU-CSRBF包络更光滑、正交性更好。

3.2 分析与讨论——真实图像（Analyses and Discussion Using Real Images）

对Lena(512×512)、D112(1024×1024)及脑MRI(512×512)进行分解。Lena图中BEMD-PU用时少于BEMD-CSRBF（xx s vs >xx s），OI更低（xx vs xx），BIMF1高频轮廓更清晰。D112大图中BEMD-CSRBF耗时xx s，BEMD-PU仅xx s，OI分别为xx与xx，证明方法对大尺寸非均匀纹理仍保持优良分解。脑MRI结果显示BEMD-PU用时xx s显著少于BEMD-CSRBF的517.33 s，OI(xx vs xx)，高频成分分离效果优于后者。随图像尺寸增大，两种方法时间均增长，但BEMD-PU增速更缓，与复杂度分析一致。综合多组图像，BEMD-PU在计算时间与OI上均优于BEMD-CSRBF。

四、讨论与结论翻译

研究人员在讨论中指出，尽管BEMD-PU高效且精度好，其性能受局部插值函数支撑半径影响，对不同图像类型可能需调整；未来将研究自适应支撑尺寸选取。

结论部分译文如下：

本研究提出了一种新颖的BEMD方法（BEMD-PU），通过将单位分解（PU）方法与紧支撑径向基函数（CSRBFs）相结合，显著提高了大尺寸图像BEMD的计算效率与分解精度。采用基于整数索引的结构（Integer-Based Structures）作为优化空间搜索技术，所提方法在减少计算时间的同时提升了二维本征模函数（BIMFs）的质量。与近期BEMD-CSRBF方法的对比分析表明，该方法具有更低的OI值与更快的图像分解速度，尤其适用于大尺寸图像；此外在合成纹理图像上与FABEMD的比较进一步确认了其在计算时间与分解质量上的优势。这些改进使该方法能够更快速地将BEMD分解应用于不同图像处理领域。基于所得结果，研究人员拟在未来探索自适应参数调优以进一步优化性能。