基于独立连续映射（Independent Continuous Mapping, ICM）法的位移约束连续体拓扑优化——一种改进的动边界光滑边界（Movable Morphable Smooth-Boundary, MMSB）方法

《AppliedMath》：Displacement-Constrained Continuum Structure Topology Optimization Based on an Improved Movable Morphable Smooth-Boundary Method

　　

为解决传统固定网格拓扑优化中存在的边界锯齿状（jagged boundaries）问题及网格重划分（remeshing）后拓扑信息（topology information）传递不连续的问题，本研究提出一种用于位移约束连续体拓扑优化的改进动边界光滑边界（Movable Morphable Smooth-Boundary, MMSB）方法。研究人员采用独立连续映射（Independent Continuous Mapping, ICM）法建立以结构重量最小为目标、位移为约束的拓扑优化模型。在该框架中，采用三角形网格作为当前分析网格，利用全息扫描策略（holographic scanning strategy）识别阈值边界点，并引入固定背景网格（fixed background mesh）作为网格重划分前后拓扑变量传递的中间载体。通过三个数值算例验证所提方法并与原始MMSB方法对比。结果表明：所提方法可生成更清晰的边界表征和更明显的传力路径；算例1~3的结果分析次数分别从60降至24、144降至36、112降至24，边界移动次数分别从5降至4、8降至6、7降至4；最终结构重量分别为22.0 kg、101.4 kg和1.64 kg，接近或略低于原始MMSB方法结果。这说明所提方法在保持结构性能的同时，提高了拓扑信息连续性及边界表征质量。

本文解读论文《Displacement-Constrained Continuum Structure Topology Optimization Based on an Improved Movable Morphable Smooth-Boundary Method》，发表于《AppliedMath》。

研究背景与意义

传统固定网格（fixed-mesh）连续体拓扑优化（Continuum Topology Optimization）通常采用正交网格离散设计域，优化得到的材料分布边界常呈阶梯状锯齿（jagged boundaries），影响几何质量和可制造性。现有后处理平滑方法不参与拓扑演化过程，且力学响应可能改变；Level-set法或移动可变形组件（Moving Morphable Components, MMC）法虽能描述光滑边界，但在涉及反复网格重划分（remeshing）的优化流程中，新旧网格单元编号、节点位置及连接关系改变，导致原网格定义的拓扑变量（topology variables）无法直接继承，易造成局部材料分布失真或拓扑演化中断。原始动边界光滑边界（Movable Morphable Smooth-Boundary, MMSB）法虽能在迭代中重构光滑边界，但未充分解决重划分前后的拓扑信息传递稳定性问题。为此，研究人员在独立连续映射（Independent Continuous Mapping, ICM）—MMSB框架下，引入全息扫描（holographic scanning）与固定背景网格映射（background mesh mapping），提出改进MMSB方法，旨在提升边界提取精度并维持重划分时拓扑变量场的连续传递。

主要关键技术方法

研究人员基于ICM法建立以结构重量最小化为目标、指定节点位移为上界约束的数学模型，引入过滤函数（filter function）将离散拓扑变量转化为拟连续变量并显式化位移约束。改进MMSB流程为：(1)采用三角形网格作当前分析网格进行若干步ICM优化迭代；(2)在设计域内按固定步距进行全息逐行扫描，若相邻扫描点拓扑变量跨过阈值η=0.5则线性插值求等值边界点并连成闭合轮廓；(3)优化前预设固定四边形背景网格，重划分前将当前网格拓扑变量场映射到不变背景网格存储，沿新提取轮廓重生成三角分析网格后，再将背景网格上拓扑变量映射回新分析网格，作为继续优化的初值；(4)循环至重量相对变化小于收敛容差（0.001）。通过三个二维算例（悬臂短梁、对称支撑受载板、小尺寸角点受载件）与传统SIMP、原始MMSB结果对比，并以加权平均拓扑变量相对守恒误差评估映射保真度，校验最终位移约束满足情况。

研究结果

4. Numerical Examples

例1（100mm×200mm悬臂梁，F=15.6kN，δ≤0.5mm）：背景网格映射四次重划分前后加权平均拓扑变量相对守恒误差均<1%（0.0720%~0.9774%），证明背景网格中介传递有效保持了拓扑场整体信息。改进MMSB较原始MMSB分析结果次数由60减至24，边界移动次数由5减至4，最终重量22.0kg（原22.5kg），边界更光滑且传力路径清晰，最终位移0.4730mm满足约束。粗网格下仍可得较光滑边界。

例2（520mm×260mm对称板，P=21kN，δ≤0.8mm）：六次边界移动后拓扑变量场主承力区映射前后一致。改进MMSB结果分析次数由144减至36，边界移动由8减至6，最终重量101.4kg与原法相同，最终位移0.7781mm满足约束，表明方法在较复杂构型下可减少冗余计算并保持性能。

例3（80mm×50mm小尺寸件，F=9000N，δ≤0.5mm）：改进MMSB结果分析次数由112减至24，边界移动由7减至4，最终重量1.64kg（原1.65kg），最终位移0.4996mm满足约束。

三个算例共同显示：拓扑变量映射守恒误差低，重划后拓扑演化连续无突跳；减少重复有限元结果分析与边界更新次数，最终结构重量与位移约束满足情况同原始MMSB相当或更优，边界表征更清晰。

讨论与结论翻译（Conclusions部分浓缩及翻译）

研究人员建立了基于ICM法、以重量最小为目标、位移为约束的连续体拓扑优化模型，通过在原始MMSB框架中引入全息扫描提取阈值等值边界及固定背景网格作为重划分前后拓扑变量传递载体，提出改进MMSB方法。数值结果表明该方法缓解了传统固定网格拓扑优化的锯齿边界问题，重划分前后拓扑变量分布在主材区域与传力路径上一致性良好；三算例中结果分析次数与边界移动次数明显减少，最终结构重量接近或略优于原始MMSB法，且最终位移均满足规定约束，说明减少重复分析未导致结构性能退化。局限在于目前仅验证二维算例，三维扩展需处理三维边界曲面提取与体网格重划分等；网格密度敏感性仅初步探讨；未来将开展更系统的映射误差评估、边界光滑度定量指标分析及与Level-set、MMC等方法对比。

结论译文：本研究基于独立连续映射（ICM）法建立了以结构重量最小化为目标、位移为约束的连续体拓扑优化模型。为解决传统固定网格拓扑优化中的锯齿边界问题及网格重划分后拓扑信息传递不连续问题，通过在原始动边界光滑边界（MMSB）方法中引入全息扫描与背景网格映射，提出了一种改进的MMSB方法。在该方法中，采用三角形网格作为当前分析网格，优化过程中提取阈值等值轮廓并沿其重新剖分网格，从而使结构边界逐步更新与重构，获得边界表征更清晰的拓扑构型。数值结果表明，所提改进MMSB方法可缓解传统固定网格拓扑优化中常见的锯齿边界问题；重划分前后拓扑变量场在主材料区域及传力路径上表现出良好的一致性。与原MMSB方法相比，三个数值算例中结果分析次数分别从60减至24、144减至36、112减至24，边界移动次数分别从5减至4、8减至6、7减至4，最终结构重量接近原MMSB法所得结果，且最终位移响应均满足规定的位移约束。这说明在本研究算例中，减少重复结果分析与边界更新操作并未引起最终结构性能的明显劣化。由于本研究未将总CPU时间作为受控对比指标，因此所提方法的改进应理解为在相同基准条件下减少了重复结果分析与边界移动次数，而非直接测得的总计算时间缩短。