复杂测量环境下的核反应堆堆芯通量监测：基于超降维的数据同化方法及其实现与自适应调优

《RELIABILITY ENGINEERING & SYSTEM SAFETY》：Hyper-reduction-based data assimilation for nuclear reactor core flux monitoring under complex measurement scenarios: implementation and adaptive tuning

　　罗奇旭|王思成|刘晓静|柴翔|何辉|张腾飞•本文提出了一种基于观测函数的选择过程，用于通过观测函数模型优化探测器布置。•将测量误差协方差矩阵和正则化项整合到基于超降阶的数据同化方法中，以有效处理异构且含噪声的测量数据。•对测量误差协方差矩阵建模、正则化实现以及重建性能进行了较为全面的讨论。•提出了一种具有自适应调优过程的基于超降阶的数据同化方法，用于选择合适的测量误差协方差矩阵和正则化参数，在不同测量噪声水平下最大化重建性能。

引言数据同化技术通过将观测数据与理论模型输出相结合，已成为复杂系统状态估计与预测的重要工具[1]。从历史上看，数据同化技术的发展主要由气象学、海洋学和地球科学领域的研究人员推动[2],[3]。这些努力促成了多种方法的出现，包括三维变分数据同化[4]、四维变分数据同化[5]以及卡尔曼滤波[6]。随着时间的推移，这些方法已成功应用于核工程[7],[8]和生物医学工程[9],[10]等多个领域。在实际的数据同化应用中，计算效率往往限制了所使用模型的复杂性以及模型状态变量的维度。例如，在变分数据同化中，最小化成本函数的计算成本会随模型状态变量维度的增加而上升。然而，对更高精度的需求使得人们不得不使用分辨率更高、结构更复杂的模型。为应对这一挑战，降阶模型技术[11]受到了广泛关注[12],[13],[14],[15],[16]。这类技术旨在构建计算效率较高的降阶模型，从而能够精确地近似高精度解。

在各类降阶模型技术中，超降阶作为一种最初为非线性模型降阶而开发的强大方法，逐渐显现出其优势。它的核心目标是以较低的计算成本高效地重构非线性项，具体是通过在状态空间中有限的采样点进行插值或回归运算来实现[17]。超降阶的实施通常分为两个阶段：准备阶段和重构阶段。在准备阶段，需要生成降阶基函数并选定采样点；而在重构阶段，则通过在采样点进行插值或回归估算出投影系数，再结合降阶基函数进行数据重构。典型的超降阶方法可分为基于插值和基于回归两类。在基于插值的方案中，通常采用经验插值法[18]来实现超降阶；而在基于回归的方案中，则多用GappyPOD方法[19]。经验插值法通常借助贪心算法[20]同时生成降阶基函数并选定采样点，然后在这些采样点上进行插值运算。该方法还有两种变体：广义经验插值法[21],[22]和离散经验插值法[23]。广义经验插值法是基于观测函数而非采样点来进行插值的，根据所使用的采样点或观测函数的不同，重构过程可分为点态评估和广义评估两类。离散经验插值法则利用正交分解技术[24]生成降阶基函数，随后再根据这些降阶基函数选定采样点。GappyPOD方法[25],[26]虽然与离散经验插值法类似，但其特点是选定的采样点数量多于降阶基函数的数量，以便开展回归运算。

在状态空间中选择采样点或观测函数，对于有效实施超降阶至关重要，而且这与采样点位置的优化密切相关[27],[28],[29],[30],[31],[32],[33]。已有许多研究致力于开发采样点选择算法[34],[35],[36],[37]。然而，对于观测函数的选择，尤其是当使用基于正交分解的降阶基函数时，相关研究相对较少。参考文献[38]探讨了基于正交分解降阶基函数的广义评估方法，但并未进一步研究观测函数选择的影响。参考文献[39]则在加权内积空间中为离散经验插值法建立了数值线性代数框架，并将权重矩阵与观测函数联系起来，为观测函数选择算法的开发提供了重要思路。

研究人员已采用超降阶技术来设计用于状态估计和在线监测的数据同化方法。在选定点上的采样过程可视为探测器的测量过程。此外，基于插值或回归的重构运算几乎可以实时完成，而采样点选择算法则为探测器布局优化提供了有效指导[40],[41],[42],[43],[44]。这些优势推动了基于超降阶的数据同化方法的发展，比如基于经验插值法的数据同化方法[40],[41],[45],[46]以及基于GappyPOD方法的数据同化方法[41],[47],[48],[49]。此外，还有一种经过精心设计的数据同化框架，即参数化背景数据弱方法。该方法通过将降阶基空间与用户定义的更新空间相结合来估计系统状态[50]。尽管有这些优点，超降阶技术在实际应用中仍存在一些局限性。例如，采样噪声或数值误差可能导致重建结果不稳定甚至发散。一种可能的解决方法是增加采样点数量[35]，但在数据同化应用中，这相当于增加探测器的数量，而这样做并不总是可行的。另一种解决方案是引入正则化项[51],[52],[53]，这一方法也被应用到了数据同化领域[45],[46],[47]，不过这就需要确定额外的正则化参数。

在设计基于超降阶的数据同化方法时，另一个值得关注的问题是数据权重的处理。在传统的数据同化方法中，如三维变分数据同化方法，数据同化是依据指定的误差协方差矩阵中的权重来实现的。将误差协方差矩阵引入数据同化方法，有助于考虑测量数据的异质性，比如在融合不同类型的测量数据时。然而，基于超降阶的数据同化方法通常假设所有探测器都是相同的，并赋予它们相同的权重。这种均匀权重的假设限制了它们在更复杂的同化场景中的应用，比如存在异质性测量数据的场景。参考文献[54]探讨了将误差协方差矩阵引入超降阶方法的方法，即通过从截断后的高阶正交分解分量中导出测量误差协方差矩阵，研究表明引入这样的矩阵可以提高重建性能[54],[55]，但该矩阵并非专门为存在异质性测量数据的场景设计的。因此，还需要进一步研究如何将误差协方差矩阵有效地整合到基于超降阶的数据同化方法中。

上述综述表明，基于超降阶的数据同化方法仍需进一步发展，才能更好地应对复杂的测量场景。其主要挑战包括：（1）观测函数的选择，这与与这些观测函数相关的探测器布局优化问题紧密相关；（2）含噪声测量数据的同化处理；（3）异质性测量数据的同化处理。在核工程领域，尤其是在液态金属反应堆的中子通量监测中，就存在着此类复杂测量场景的典型例子。由于液态金属反应堆内部环境极为恶劣，很难在其中部署核芯内的中子探测器，因此实际的通量监测通常依赖于从核芯外的中子探测器获取的远程测量数据，以及从组件热电偶获取的间接测量数据。这些中子探测器和热电偶会通过观测函数模型来解析测量数据，同时兼顾实际测量中存在的噪声因素。若能将这些可行但可能不太直观的测量数据有效地整合到数据同化方法中，有望为液态金属反应堆的中子通量监测系统的发展提供助力。

本文的主要贡献如下：（1）提出了一种基于正交分解降阶基函数的观测函数选择流程，有助于更高效地收集测量数据；（2）将正则化项和测量误差协方差矩阵整合到基于超降阶的数据同化方法中，以有效处理异构且含噪声的测量数据，同时对该类矩阵的建模方法、正则化实现方式以及重建性能进行了较为全面的分析；（3）提出了一种具有自适应调优功能的基于超降阶的数据同化方法，可用于选择合适的测量误差协方差矩阵和正则化参数，在不同测量噪声水平下最大化重建性能，同时还分析了该方法在复杂测量场景下的重建效果及自适应调优性能。

本文的结构安排如下：第2节阐述本研究的相关理论和方法，包括控制方程与测量模型、超降阶与观测函数选择方法、改进型的基于超降阶的数据同化方法以及自适应调优数据同化方法。第3节展示数值计算结果，内容包括问题描述、观测函数选择过程，以及改进型数据同化方法和自适应调优数据同化方法的性能评估。最后，第4节对全文进行总结，并指出未来研究的潜在方向。为方便读者理解，文末附有缩写表。

章节要点控制方程中子输运方程是用于描述核反应堆中中子分布的基本数学模型[56]。在该方程中，需要关注的是中子角通量ψ，它表示中子种群随位置r、角度Ω和能量E的变化情况：Ω·?ψ(r,Ω,E)+Σt(r,E)ψ(r,Ω,E)=Qs(r,Ω,E)+Qf(r,Ω,E)，其中Σt表示宏观总截面，Qs为散射源，Qf为裂变源。散射源和裂变源可以是问题描述在本研究中，我们针对液态金属反应堆中的中子通量监测问题开展了数值模拟研究。模拟所需的快照数据是通过之前研究开发的多物理场仿真框架MORPHY生成的，该框架基于变分节点法来求解中子输运方程[82],[83]。而分布函数则是通过使用开源的蒙特卡罗中子输运代码OpenMC进行多次多组固定源模拟得到的[84]。此外，还采用了L曲线分析法来进行相关分析。

结论本文重点研究了针对复杂测量场景的基于超降阶的数据同化方法的发展。其主要目标是推动数据同化技术与超降阶方法之间的融合，为这类方法在复杂测量场景中的应用设计提供有益的参考，同时为液态金属反应堆中的中子通量监测等实际工程应用提供支持。本文的主要研究成果如下：（1）提出了一种基于正交分解的观测函数选择流程...

CRediT作者贡献说明罗奇旭：撰写——初稿撰写、可视化处理、结果验证、方法设计、研究实施、概念构思。王思成：撰写——审稿与编辑、项目监督、资源协调、项目管理工作。刘晓静：项目监督、资源协调、项目管理工作。柴翔：项目监督、资源协调、项目管理工作。何辉：项目监督、资源协调、项目管理工作。张腾飞：撰写——审稿与编辑、项目监督、资源协调、项目管理工作，以及资金筹措工作。