用于自由振动状态下层依赖型夹层圆形纳米板非局部应变梯度参数的智能标定框架

《COMPOSITE STRUCTURES》：Intelligent calibration framework for layer-dependent nonlocal strain gradient parameters of sandwich circular nanoplates in free vibration

　　韩康乐|于江功|张博|张晓明|拉胡辛·埃尔迈穆尼•一种新框架用于校准夹层圆形纳米板的尺度参数。•连续解函数可克服传统离散方法的局限性。•传统的均匀层假设无法准确描述夹层结构的行为特性。•在较高阶模式下，层间尺度参数存在显著差异。•本文还推导出了适用于任意阶导数的一般解析积分公式。

引言
随着纳米技术的快速发展，由于其出色的机械性能，夹层纳米结构在工程应用中受到了广泛关注。这类结构具有较高的强度重量比[1]、[2]、[3]，优异的振动和抗弯性能[4]、[5]、[6]，以及高效的能量吸收能力[7]、[8]，因此成为纳米器件发展的理想候选材料。此外，非局部理论[9]、[10]、[11]、应变梯度理论[12]、[13]以及非局部应变梯度理论（NSGT）[14]、[15]、[16]也已成为描述纳米力学行为的重要方法。其中，NSGT能够同时体现长程原子相互作用带来的刚度软化效应以及晶格微观结构约束产生的刚度硬化效应，因此被广泛用于分析各类工程结构的纳米力学响应，包括纳米梁[17]、[18]、[19]、[20]，纳米板[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]、[27]，功能梯度纳米板[28]、[29]、[30]、[31]、[32]，以及夹层纳米结构[33]、[34]、[35]、[36]、[37]、[38]、[39]、[40]、[41]、[42]、[43]、[44]、[45]、[46]、[47]、[48]。

在NSGT中，两个尺度参数分别用于描述纳米尺度下的刚度软化和硬化现象，这些参数反映了影响夹层纳米结构动态响应的大小效应[49]、[50]、[51]、[52]、[53]、[54]、[55]。阿尔加尼米等人[51]发现，在功能梯度纳米夹层结构中，非局部参数的增加会导致变形增大，而应变梯度参数则会使变形减小。柯等人[53]表明，精确调节这两个参数可以有效地控制结构的刚度。奥兹德米尔等人[54]发现，非局部参数的增加会降低结构的屈曲载荷，这说明夹层纳米板的柔韧性有所提升。这些研究凸显了非局部参数和应变梯度参数在描述工程应用中复杂结构时的关键作用。

另一方面，为了确保理论模型的可靠性，必须准确确定这些尺度参数。分子动力学模拟已被公认为是捕捉原子尺度动力学行为的最有效方法之一[56]、[57]、[58]、[59]，并被用于校准非局部理论[60]、[61]、[62]以及应变梯度理论[63]、[64]中的尺度参数。随着NSGT在纳米结构领域的广泛应用，其尺度参数的校准问题也日益受到重视[65]、[66]、[67]、[68]、[69]、[70]。刘等人[68]、[70]对铝纳米板中的波传播尺度参数进行了校准，结果发现NSGT的应用范围比非局部理论更广。莫拉迪等人[69]进一步证明，经过校准的非局部参数和应变梯度参数为纳米谐振器的振动分析提供了重要参考。然而，目前的校准工作大多仅限于均匀纳米结构，而由于建模复杂性极高，夹层纳米结构的尺度参数至今仍未得到校准，这成为了当前研究中的一个重大瓶颈。

为此，本文提出了一种新的智能校准框架，用于确定控制夹层圆形纳米板自由振动的尺度参数。首先，本文开发了一种改进的解析积分勒让德多项式方法，为这类复杂模型提供解析解。该方法通过推导出适用于任意阶导数的通用解析表达式，有效克服了传统方法仅限于低阶导数多项式的局限（第2章包含问题的数学表述、2.1非局部应变梯度理论、2.2具有层依赖尺度参数的NSGT、2.3勒让德多项式方法、2.4一般解析表达式，第3章为理论结果与验证）。随后，通过分子动力学模拟来研究复杂夹层纳米结构的自由振动行为（第4章）。尤为重要的是，所提出的智能校准框架将神经网络与几何表面交点法相结合，能够准确校准四个不同的尺度参数，并将其表示为连续解函数。这种方法能够捕捉参数之间的内在耦合关系，避免了传统方法只能得到单一离散解的缺陷（第5章）。此外，研究还发现层间尺度参数存在差异，这说明现有忽略这种差异的理论简化方法无法准确描述复合结构的纳米力学行为。这些研究成果为先进纳米器件的精准设计及性能优化提供了坚实的理论基础和实用指导。

章节摘录
非局部应变梯度理论
NSGT被认为是描述工程结构纳米力学行为的最有效理论框架之一。它能够同时体现长程原子相互作用导致的刚度软化效应以及晶格微观结构约束产生的刚度硬化效应。相应的本构关系可表示为[19]：
σijx=∫Vα0x′,x,e0aCijklεklx′dVx′
σij1x=l2∫Vα1x′,x,e1aCijkl?εklx′dV

收敛性分析
本文研究了考虑层间尺度参数差异的镍铝镍（NiAlNi）夹层圆形纳米板的自由振动收敛性。顶层、中间层和底层的非局部参数及应变梯度参数分别设定为μNi=0.1nm、μAl=0.2nm、lNi=0.05nm和lAl=0.1nm。几何参数取为r=40.48nm，Ht=Hb=0.704nm，Hm=2.025nm。上下两层镍材料的材料常数[80]、[81]为C11=

镍铝镍夹层圆形纳米板的分子动力学模拟
经过校准的尺度参数对于让理论模型准确反映纳米结构的机械性能至关重要。尽管分子动力学模拟被视为这种校准最可靠且有效的方法，但其应用目前仅限于均匀且结构简单的纳米结构。由于复杂的建模难度以及高昂的计算成本，复杂夹层纳米结构的尺度参数至今仍未得到校准。

一种用于夹层圆形纳米板的智能校准框架
为了解决复杂结构中尺度参数校准的问题，本文提出了一种将神经网络与几何表面交点法相结合的智能校准框架。首先，利用神经网络模型揭示夹层纳米板不同层之间尺度参数之间的关系（第5.1.1–5.1.2节）。随后，通过求解几何交点曲线来确定具体的参数值。

结论
本文提出了一种结合神经网络与几何表面交点法的新型智能校准框架，用于校准夹层圆形纳米板的尺度参数。经过校准后的多个尺度参数呈现二次曲线形态，有效克服了传统方法通常只能得到单一离散解的局限。研究结果表明，不同层之间的尺度参数并非完全均匀。

作者贡献说明
韩康乐：撰写——初稿、验证、软件应用、方法设计、正式分析、概念构建。于江功：撰写——审稿与编辑、可视化处理、资源协调、研究实施、资金获取、数据整理、概念构建。张博：监督指导、资源协调、资金获取、数据整理。张晓明：监督指导、资源协调、项目管理、正式分析、概念构建。拉胡辛·埃尔迈穆尼：监督指导、项目管理、方法设计、资金获取

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。

致谢
作者衷心感谢以下项目的支持：战略性科技创新合作项目（2026YFE0208900）、河南省自然科学基金（编号242300420248、262300421230、262300421842）、河南省国际科技合作项目（252102520074），以及“安全+”学科的跨学科融合培育项目（303C15D072605007）。