一种具有最优阶数选择的用于恒温控制负载的自适应建模方法

《Applied Energy》：An adaptive modeling method with optimal order selection for thermostatically controlled loads

　　宋晓瑞|鲍玉清|姚帅|胡文燕中国南京师范大学，南京210046摘要随着可再生能源发电比例的上升以及负荷侧调控需求的增加，由温控负荷（如空调、冰箱和热泵）所代表的需求侧资源在提升电力系统灵活性方面的重要性日益凸显。要对这些温控负荷进行精确建模，是实现其最优控制的关键前提。然而，现有的建模方法高度依赖详细的物理结构信息，模型阶数的选择也主要依靠工程经验，这给确保模型精度带来了困难。为克服这些限制，本文提出了一种不依赖于物理结构信息且具备自适应模型阶数选择功能的通用建模框架。首先，利用统一的非线性自回归含外生变量模型来描述温控负荷的热力学行为，以此捕捉其输入输出特性，该模型无需了解系统的空间或物理结构。其次，构建一组候选的模型阶数，再通过自适应遗忘因子递归最小二乘算法为该组中的所有阶数组合确定参数，从而得到一系列阶数-参数候选值。最后，通过帕累托优化，在预测精度、计算效率及模型复杂度之间取得平衡，从而确定最优的模型阶数及相应参数。案例研究结果表明，所提出的建模方法有效克服了依赖物理结构信息及固定模型阶数选择所带来的局限。与现有的多种物理建模和数据驱动模型相比，如自回归含外生变量模型、二阶等效热参数模型以及支持向量回归模型，该方法在保持适度计算成本的同时实现了更高的预测精度。引言随着新型电力系统的发展以及可再生能源占比的提高，电力系统运行对灵活性的要求显著增加[1][2]。在此背景下，需求侧资源已成为保障电网安全经济运行的重要手段[3][4]。其中，空调、冰箱和热水器等温控负荷在居民和商业用电需求中占据相当大的比例[5][6][7][8]。由于具有固有的热容量，这些温控负荷具备虚拟储能能力，能够在不影响用户舒适度的情况下实现负荷的灵活调节[8]。因此，它们被视为具有潜力的低成本灵活性资源，对其精确建模和最优控制具有重要的理论和实践意义[9][10][11]。为准确描述温控负荷的动态行为，现有研究主要采用两种技术路径：基于物理的建模和数据驱动的建模。在基于物理的建模方面，等效热参数模型应用最为广泛。该方法基于热力学原理，用由热阻和热容构成的等效电路来表示复杂的传热过程。早期的研究主要集中在结构相对简单的为一阶或二阶的等效热参数模型上[12][13][14][15]。具体而言，文献[12]提出了一种降阶的等效热参数模型，将无法直接测量的固体温度纳入待识别参数中，以便适应采样不均匀的数据；文献[13][14]则验证了用于住宅建筑和双节点热力系统的二阶RC网络模型；文献[15]推导出了可通过二阶动力学近似的解析映射关系，以辅助识别综合热参数。这类模型具有清晰的物理含义且易于分析，但往往将复杂的建筑结构简化为一个虚拟节点，难以准确反映系统的实际特性。为提高精度，人们开发了包含多个热质体（如墙壁、窗户和家具）的高阶等效热参数模型。为解决传统RC模型难以区分内部热容组件多时间尺度热惯性的问题，文献[16]提出了RC-S高阶结构，将该类内部热质体分解为快速模式和慢速模式，从而显著提升了小时级制冷负荷估算的精度。文献[17][18]指出，三阶或更高阶的模型能在建模精度与计算成本之间实现更好的平衡。尽管这类模型在理论上较为严谨，但在实际应用中存在三个难题：过度依赖详细的结构信息，由于内部状态无法测量而导致可辨识性较差，以及缺乏统一的阶数选择理论依据。数据驱动的方法因较少依赖物理结构信息，已成为温控负荷建模的另一种重要技术途径。在数据驱动的模型中，线性自回归模型如ARMAX被广泛使用[19][20][21]，但其线性结构限制了其捕捉强非线性系统动态的能力。近年来，以人工神经网络[22][23]、支持向量机[24][25]和长短期记忆网络[26]为代表的深度学习模型，因其强大的拟合能力而受到广泛关注。具体而言，文献[19][20][21]运用线性自回归模型，通过实测数据训练和交叉验证，用于建筑和区域供热负荷的预测；文献[22][23]则利用前馈神经网络处理建筑能耗和暖通空调应用中的高维非线性映射问题，以实现制冷/制热负荷的预测和控制优化；文献[24]设计了带有特征和参数选择的支撑向量回归模型，以提高建筑能耗跨周期预测的精度；文献[25]通过自动超参数调优提升了建筑制冷/制热负荷预测的精度和稳定性；文献[26]则设计并比较了多种长短期记忆网络变体，以捕捉空调制冷负荷的长期和短期时间依赖关系，从而显著提高了多时间尺度下的预测精度和稳定性。不过，数据驱动模型的性能在很大程度上取决于训练数据的完整性和覆盖范围。此外，由于其黑箱特性，模型的可解释性较差，模型稳定性也难以评估，这限制了其在对安全性要求较高的电力系统决策场景中的应用。在建立基于物理的模型之后，还需要进行参数识别，以获取热阻和热容等关键参数。传统的离线识别方法主要依靠批量最小二乘法，例如文献[27][28]分别针对冰箱和住宅建筑提出了带约束的最小二乘策略。虽然批量最小二乘法计算简单，但它不太适用于因季节变化或运行条件差异导致的参数漂移，因此在线识别更具优势。在在线识别方法中，递归最小二乘法因其计算负担轻且实现简单而被广泛使用。文献[29]中基于递归最小二乘法的在线识别框架可实现二级参数更新。此外，当测量噪声较大且某些状态变量难以直接测量时，卡尔曼滤波及其非线性扩展形式，如扩展卡尔曼滤波和乌尔姆卡尔曼滤波，常被用于联合状态和参数的估计[30][31][32]。这些方法能够在一定程度上抑制噪声干扰，但其性能取决于对过程噪声和测量噪声统计特性的准确描述，且在类似的在线识别任务中，其计算成本通常高于递归最小二乘法。表1总结了本文与现有研究在模型阶数、参数识别方法及优化标准方面的对比结果。如表1所示，尽管在温控负荷建模和参数识别方面已取得显著进展，但现有研究采用的建模和识别方法仍存在局限性。大多数现有研究都是在固定的模型结构和固定的模型阶数下进行参数估计和预测验证。这种做法虽能降低建模和计算复杂性，但在面对不同类型的温控负荷、无法测量的物理变量以及传感器噪声等实际问题时，往往难以同时保证建模精度和在线更新的稳定性。具体问题体现在以下三个方面：(1)模型结构过度依赖物理结构信息。对于基于等效热参数模型表示的温控负荷模型，其数学结构与系统的空间布局和物理构造紧密相关。在构建模型之前，需要根据假设的物理结构来确定不同热质体之间是否存在热相互作用。然而，若对物理结构信息的假设不准确，可能会导致建模误差增加。(2)部分物理变量无法直接获取。二阶及更高阶的等效热参数模型包含一些无法测量的状态变量，如室内固体温度和墙体温度。在传统的参数识别方法中，必须为这些状态变量设定初始值，这在一定程度上会降低建模精度。尽管有些研究在基于等效热参数的模型中对这些无法测量的状态进行了等效处理[12][14][27]，但这些方法仍依赖于预先设定的等效热参数结构，无法测量的物理变量仍可能影响建模精度。相比之下，本文避免了在模型结构层面引入这些无法测量的状态。(3)固定阶数的等效热参数模型无法捕捉异质性的热力学特性。大多数现有的等效热参数模型都采用固定的模型阶数，这一阶数通常由其固有的热力学特性决定。然而，对于不同的温控负荷，各个热质体的热力学特性以及相关的传热路径存在显著差异。因此，固定阶数的模型无法适应这种多样性，从而导致建模精度下降。为解决上述问题，本文提出了一种自适应最优阶数非线性自回归含外生变量建模方法，该方法将非线性自回归含外生变量模型与基于自适应遗忘因子递归最小二乘法的在线参数识别，以及基于帕累托前沿的多准则模型阶数选择相结合。与现有方法相比，本文的主要贡献如下：(1)提出了一种不依赖于物理结构信息的温控负荷通用建模框架。与传统依赖系统详细空间布局和物理结构的等效热参数模型不同，本文从温控负荷的输入输出特性出发，推导出统一的非线性自回归含外生变量模型，从而无需明确的物理结构信息即可对系统的热力学动态进行建模。(2)构建了一种所有物理变量均可测量的温控负荷模型，并给出了相应的参数识别方法。与传统二阶或更高阶的等效热参数模型不同，本文采用非线性自回归含外生变量模型来描述温控负荷的电能消耗与室内空气温度之间的关系，从而无需为固体温度和墙体温度等无法测量的状态变量设定初始值，显著提升了建模精度。在参数识别阶段，采用自适应遗忘因子递归最小二乘法以确保实时计算性能。(3)提出了一个用于温控负荷模型阶数及相应参数的自适应优化机制。为解决传统方法中固定模型阶数选择的局限性，本文提出了自适应最优阶数非线性自回归含外生变量建模方法。该方法首先构建一组候选的模型阶数，然后针对该组中的每一种阶数组合，通过自适应遗忘因子递归最小二乘法进行在线参数识别，形成对应的阶数-参数组合。在此基础上，构建了一个包含预测误差、计算效率及模型复杂度在内的多维度性能空间，进而通过帕累托优化选出最优的模型阶数组合，实现模型阶数和参数的多准则优化。为进一步阐明传统等效热参数建模方法与所提出的自适应最优阶数非线性自回归含外生变量建模方法之间的差异，图1对比了这两种方法的框架。传统等效热参数方法是基于物理热网络构建的，因此依赖于结构信息，且涉及无法测量的物理变量。而所提出的方法则是直接根据可测量的室外温度、室内温度和功率输入建立统一的回归模型，并自适应地识别模型参数和最优阶数。因此，图1清晰地展示了这两种方法在建模基础、变量可测量性以及结构确定方式上的本质区别。模型推导本节首先将连续的热力学特性离散化，建立线性自回归含外生变量模型，随后通过引入两类非线性项，将其扩展为非线性自回归含外生变量模型，从而更准确地捕捉温控负荷的非线性动态特性。基于自适应最优阶数的参数识别第2节已经建立了非线性自回归含外生变量模型，但模型的阶数na、nb,out、nb,P及其对应参数仍然未知。为解决这一问题，本节在第2节建立的模型基础上，结合在线参数识别和自适应阶数选择机制，形成了所提出的自适应最优阶数非线性自回归含外生变量建模方法。具体而言，首先构建一组候选的阶数组合。对于每一组候选的阶数组合，案例研究为验证所提出的自适应最优阶数非线性自回归含外生变量建模方法的有效性，本文选取了办公环境中的空调系统和冰箱系统作为研究对象。所收集的测量数据来自江苏的一家办公室，包括2021年夏季的空调系统数据以及2025年夏季的射频系统数据。该空调系统的额定输入功率为1.6千瓦，能效比为3.63。而射频系统则是一级能效等级的冰箱，其每24小时的能耗为0.27千瓦时。

结论：为了解决TCLs的自适应建模问题，本文提出了一种无需物理结构信息的AO-NARX建模方法。基于已建立的离散时间NARX模型和候选阶数集合，利用AFF-RLS算法进行在线参数识别。随后通过结合预测误差、单步更新时间以及模型复杂度等评估标准，采用帕累托优化来实现自适应阶数选择。

CRediT作者贡献声明：
宋晓瑞：撰写——初稿、验证、软件、方法论、形式分析。
包玉清：撰写——审阅与编辑、监督、项目管理、概念设计。
姚帅：撰写——审阅与编辑、监督。
胡文燕：撰写——审阅与编辑。

利益冲突声明：作者们声明自己不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。