具有可调收敛速率的L1增益控制用于脉冲正系统：极点配置的几何约束方法

《Applied Mathematics and Computation》：L1-gain control with adjustable convergence rate for impulsive positive systems: A geometric constraint approach to pole configuration

　　王学珍|马大中
中国沈阳东北大学信息科学与工程学院，邮编110004

摘要
本文研究了基于收敛速率约束的脉冲正系统的L1增益控制问题。主要贡献在于提出了一种新的L1增益性能分析框架，该框架将系统的收敛速率约束转化为开左半s平面中特定带形区域内的极点配置约束（见图1）。为确保闭环系统矩阵特征值精确位于指定带形区域内，同时保证脉冲正系统的正定性、渐近稳定性及L1增益性能，本文引入了两个辅助系统，并构建了一个共正利亚普诺夫函数，从而得出新的L1增益控制准则。该准则可表述为一组可求解的线性规划不等式。与传统稳定性方法主要要求闭环系统矩阵特征值位于开左半s平面不同，所提出的L1增益控制准则对特征值分布施加了严格的几何约束，能够更精准地调控系统收敛速率。具体而言，通过灵活调整带形区域的边界，可得到相应的控制器参数，使得闭环脉冲正系统以不同的速率收敛到平衡状态，同时保持稳定性和L1增益性能。数值仿真验证了该方法的有效性。

引言
脉冲正系统是一类典型的混合系统，具有连续时间动态特性和离散时间动态特性[1]。前者描述系统状态通过连续动态过程演变，后者则体现系统状态在某些离散时刻的突变。脉冲正系统的另一个特点是其状态始终非负[2]。由于这种固有的正性质和混合特性，脉冲正系统被广泛用于建模各种复杂的实际现象，包括生理药代动力学过程、动态投资组合管理、交通信号控制、智能电网以及综合害虫管理[3][4][5][6][7]。然而，在实际应用中，脉冲正系统不可避免地在开放环境中运行，并会受到外部干扰的影响。仅仅保证脉冲正系统的稳定性[8][9][10][11][12][13][14]已无法满足实际需求；赋予系统强大的抗干扰能力已成为这类系统控制设计中日益重要的核心目标[15]。此外，由于脉冲正系统的状态向量与输出向量始终在其对应的非负象限内变化，其1范数在代数上可直接等于各分量的之和。这一代数特性使得L1增益能够与脉冲正系统的内在非负性质实现更深层次的结构匹配。因此，相比传统的L2增益，L1增益能更恰当地量化这类系统对抗外部干扰的扰动抑制能力。

近年来，关于脉冲正系统L1增益特性的研究显著增加。许多现有工作通过构建共正利亚普诺夫函数，研究了在L1增益性能下的稳定性分析与控制器设计[16][17][18][19][20]。针对不确定的脉冲正系统，有研究探讨了在L1增益性能下的鲁棒稳定性分析与控制器设计[16]，并推导出了保持系统正定性的可行条件。另有研究针对具有区间不确定性和时间延迟的脉冲正系统，进行了L1增益分析与控制研究[17]。在[18]中，采用更为通用的离散型共正利亚普诺夫函数框架，研究了具有时变延迟的脉冲正系统的稳定性与L1增益特性，其中脉冲作用时的影响被更隐含地纳入分析之中。还有研究考虑了在L1增益性能下脉冲正系统的鲁棒有限时间控制问题[19]，而[20]则进一步研究了所有子系统均不稳定的正切换脉冲系统的指数稳定性与L1增益性能。

除了这些直接的L1增益分析与控制成果之外，还有一些密切相关的研究进一步丰富了脉冲正系统及混合系统的研究内容。在[21]中，针对同时存在稳定模式与不稳定模式的正切换系统，提出了一种模式依赖的脉冲控制方案，并建立了具有L1增益的全局指数稳定性的充分条件。在[22]中，将无冲激转移控制引入切换脉冲正系统，从而能够同时实现系统的正定性、平滑的控制过渡以及L1增益性能。从鲁棒性分析的角度出发，Briat[23]利用缩放小增益论证，为不确定的脉冲正系统推导出了L1×l1到L1×l1的性能条件，并将这些结果应用于具有恒定延迟的脉冲系统与切换系统的区间观测问题。此外，对于T-S模糊脉冲正系统，有研究通过引入辅助函数来调节脉冲时刻共正利亚普诺夫函数的变化，进而提出了保证指数稳定性与有限混合L1增益的有限线性规划条件[24]。

尽管上述研究[16][17][18][19][20][21][22][23][24]极大推动了脉冲正系统L1增益分析与控制的发展，但仍存在一些局限性。现有大多数研究主要致力于建立能够保证系统正定性、渐近稳定性及扰动抑制性能的准则。通常，这些准则仅要求闭环系统的极点位于开左半s平面，这已足以确保系统状态最终趋于收敛。然而，这样的要求并未提供通过设计参数来明确规定或调控收敛速率的机制。在许多工程应用中，设计者往往对闭环脉冲正系统的收敛速率有不同的要求：有些场景需要更快的收敛速度，而有些则希望收敛过程更加平滑。因此，有必要提供一种能够根据设计要求明确调控收敛速率的机制，以便在瞬态响应速度、控制力度与系统鲁棒性之间实现合理的平衡。

基于这一思考，本文研究了受收敛速率约束的脉冲正系统的L1增益控制问题。与传统的脉冲正系统L1增益控制方法不同，所提出的方法将收敛速率要求转化为对闭环系统极点分布的几何约束。具体而言，在开左半s平面中定义一个带形区域[25][33]，要求脉冲正系统闭环系统矩阵的极点实部位于该带形区域内。这样一来，就可以通过调整带形区域的边界参数来明确调控闭环脉冲正系统的收敛速率。为在将闭环系统矩阵的特征值精确置于指定带形区域的同时，保证系统的正定性、渐近稳定性及L1增益性能，本文引入了两个辅助系统，并构建了一个共正利亚普诺夫函数。最终，得出了一个新的L1增益控制准则，该准则可表述为一组可求解的线性规划不等式。本文的创新点如下：
1）为脉冲正系统提出了一种新的L1增益性能分析框架，该框架将收敛速率约束转化为对闭环系统极点分布区域的严格几何约束。通过引入辅助系统并构建共正利亚普诺夫函数，得出了新的L1增益控制准则，该准则表现为一组可求解的线性规划不等式。
2）在开左半s平面中定义了一个可调节的带形区域（见图1），该区域明确限制了系统极点的实部范围，从而从上下两方面精确控制收敛速率。
3）新的L1增益控制准则允许灵活调整带形区域边界，从而获得相应的控制器参数。这使得闭环脉冲正系统能够以不同的速率收敛到平衡状态，同时有效保证系统的渐近稳定性与L1增益性能。

本文的其余结构如下：第2节介绍相关预备知识与定义；第3节给出脉冲正系统L1增益控制的新定理；第4节进行数值仿真；第5节总结全文。

符号说明：
N：正整数集。
YT：矩阵Y的转置。
R+n：n维正欧几里得空间。
ξ∈Rn的1范数：∥ξ∥=∑i=1n|ξi|。
Y?0(?0, ?0, ?0)：矩阵Y的所有元素均为正数（分别为负数、非负数、非正数）。
Reλ(·)或Imλ(·)：矩阵特征值的实部或虚部。
l?0(?0, ?0, ?0)：向量l的所有元素均为正数（分别为负数、非负数、非正数）。
min{l}或max{l}：向量l的最小值或最大值。
向量1n=[1,…,1︸n]T。

章节要点
预备知识与定义
首先介绍了L1范数与L1[0, ∞)空间。定义∥ω(·)∥L1=∫0∞∥ω(t)∥dt，其中∥ω(t)∥=∑i=1l|ωi(t)|。L1[0,∞)定义为{ω(t)∈Rl|∥ω(t)∥L1<∞}，其中ω(t)是在[0, ∞)上可测的函数。

考虑存在外部干扰的脉冲正系统，其动力学方程为：{ξ˙(t)=Aξ(t)+Bu(t)+Haω(t),t≠tm,m∈N,ξ(tm)=(I+J)ξ(tm?),t=tm,z(t)=Mξ(t)+Hbω(t)}，其中A为Metzler矩阵（见下文定义2），(I+J)?0，M?0，Ha?0，Hb?0；A、J、M、Ha和Hb均为具有适当维数的常数矩阵；ξ(t)∈Rn为系统状态，u(t)∈Rr为可控输入，ω(t)∈...

主要结果
通过构建共正利亚普诺夫函数并引入具有带形区域边界参数的辅助系统，本文建立了具有可调收敛速率的脉冲正系统L1增益控制准则。

定理1
给定正标量θ、ρ、υ，非负标量α、β且满足α＞β≥0，以及向量ψ?∈R+n，若存在向量η∈R+n、γ∈Rn，使得ψ?TBTηA+Bψ?γT+?I?0，(AT+(lnυκ(υ)+β)I)η+γ?0，(?AT+(lnυκ(υ)?α)I)η?γ?0，(JT+(1?υ)I)η?0，(AT+lnυκ(υ)I)η+MT1p+γ?0，HaTη+HbT1p??(υ)θ1n?0，其中κ(υ)={κ0,υ≥1κ1,υ∈(0,1)}，?(υ)={e(1?κ1κ0)}...

仿真结果
示例1
本节通过数值仿真验证了新的L1增益控制准则（即定理1）。系统(3)的参数如下：A=[?2211?1010?0.8]，B=diag(0.3?0.25?0.5)，I+J=diag(1.3?1.1?1.05)，Ha=diag(0.1?0.5?0.2)，Hb=I，ωi(t)=e?5t|sin(2πt)|，i=1,2,3，M=[100212001]。系统的初始状态为[3?4?6]T。如图2所示，系统(3)的开环系统状态是不稳定的。

给定参数υ=...

结论
本文提出了一种适用于存在外部干扰的脉冲正系统的具有可调收敛速率的L1增益控制准则，即L1增益准则下的区间稳定化方法。该准则将收敛速率约束转化为对闭环脉冲正系统极点分布区域的严格几何约束。通过引入两个辅助系统并构建共正利亚普诺夫函数，该准则得以建立，且可表述为一组可求解的线性规划不等式。

CRediT作者贡献声明
王学珍：概念构思、方法设计、初稿撰写。
马大中：问题研究、结果可视化、软件实现。

利益冲突声明
作者声明不存在任何利益冲突。