一种基于信息熵和矩阵范数的多目标直觉模糊双矩阵博弈求解方法：在运营管理中的应用

《Applied Mathematics and Computation》：A solution approach for multi-objective intuitionistic fuzzy bimatrix games using information entropy and matrix norms: An application in operations management

　　刘文婷|邹杜|李文中国湖北省武汉市430065，武汉科技大学数学与系统科学学院摘要本文提出了一种用于多目标直觉模糊双矩阵博弈的近似均衡解方法，该方法结合了信息熵和矩阵范数。首先，通过利用不同目标下各参与者直觉模糊收益矩阵的信息熵，为各目标赋予权重，从而将多目标博弈转化为单目标直觉模糊双矩阵博弈。随后，我们将矩阵范数扩展到直觉模糊环境，并定义了直觉模糊矩阵的1-范数和∞-范数等相关概念。进一步，我们为直觉模糊双矩阵博弈的博弈值以及均衡策略的最大值和最小值建立了边界定理。基于这些结果，提出了一个用于直觉模糊双矩阵博弈的近似解算法。最后，通过一个涉及两家全渠道零售企业的双目标竞争案例，验证了所提方法的可行性和有效性。引言博弈论为分析竞争或对抗情境中参与者之间的战略互动提供了数学框架。作为博弈论中的基础模型，矩阵博弈描述了两个具有有限策略的参与者之间的场景，其收益函数通常以矩阵形式表示。这类博弈主要分为两类：双玩家零和矩阵博弈和双矩阵博弈。目前，这一模型在经济学[1]、[2]、社会学[3]以及工程学[4]等多个领域都展现出广泛的适用性。然而，在实际的博弈场景中，由于信息不完整或认知限制，参与者往往难以准确量化收益。传统矩阵博弈假设收益值为确定性数值，在处理此类不确定性时存在显著局限。为更好地描述和管理不确定信息，Zadeh[5]提出的模糊集理论提供了一种有效的分析方法。Campos[6]率先将模糊集应用于矩阵博弈，从而推动了模糊矩阵博弈论的理论发展。这一工作随后激发了该领域更多相关问题的研究[7]、[8]、[9]。不过，由于模糊集使用单一隶属度来表达模糊概念的正负两方面，其在体现决策者在支持与反对之间的犹豫态度方面存在局限性。Atanassov[10]提出的直觉模糊集则分别描述了隶属度和非隶属度的程度，从而能够更准确地反映决策者在支持、反对及犹豫状态下的心理变化，这一表征方式更贴近实际决策过程中所遇到的模糊性本质。近年来，随着对直觉模糊矩阵博弈研究的深入，学者们广泛探讨了求解此类博弈均衡的方法。Li和Yang[11]基于包含价值指数和模糊度指数的梯形直觉模糊数的排序函数，将梯形直觉模糊双矩阵博弈的均衡计算转化为带参数的双线性规划问题求解。同时，Nan等人[12]提出了基于加权高度指数的三角形直觉模糊数排序函数，通过将该函数与直觉模糊不等式结合，将具有直觉模糊目标函数和三角形直觉模糊收益函数的双矩阵博弈转化为精确的双线性规划模型。An等人[13]引入了基于直觉模糊数加权平均面积的排序函数，利用其线性特性定义了直觉模糊双矩阵博弈的帕累托最优概念，并将具有直觉模糊收益函数的双矩阵博弈的解表述为带参数的双线性规划模型。Xing和Qiu[14]最初将具有三角形直觉模糊收益函数的双玩家零和矩阵博弈转化为直觉模糊线性规划问题，随后通过引入精度函数将其转化为确定性线性规划形式。从广义直觉模糊数的割集角度出发，Li和Tu[15]通过将问题转化为双目标区间规划模型来处理广义直觉模糊双矩阵博弈，最终通过应用区间序关系将其重新表述为多目标二次规划问题。此外，关于直觉模糊双矩阵博弈的相关研究还可参考[16]、[17]、[18]、[19]。随着社会挑战日益复杂以及决策框架的不断完善，直觉模糊信息在理论层面也衍生出了多种扩展形式，包括类型2区间值直觉模糊集[20]、语言直觉模糊数[21]以及语言区间值直觉模糊集[22]。总体而言，现有解决直觉模糊矩阵博弈均衡的方法主要依赖于将直觉模糊规划问题转化为确定性线性规划或带参数的双线性规划模型。然而，当参与者的策略数量增加时，相应规划模型中的约束条件和变量数量也会显著增加，从而导致计算复杂度大幅上升。为降低通过线性规划求解传统矩阵博弈均衡的计算复杂度，?zgi和?zkaya[23]首次将矩阵范数引入矩阵博弈。他们利用收益矩阵的1-范数和∞-范数，开发出一种估算博弈值上下界以及均衡策略各分量极值的方法，从而为双玩家零和矩阵博弈得出近似均衡解。这种方法后来被扩展到双矩阵博弈研究[24]中，该研究将原博弈分解为两个独立的零和矩阵博弈，并利用矩阵范数细化界限，以此为双方求解近似均衡。在[24]的研究基础上，?zgi等人[25]将扩展后的矩阵范数方法与Shapley迭代法相结合，提出了一种用于计算随机矩阵博弈近似解的高效算法，并对其在大规模场景下的收敛性质和可扩展性进行了系统分析。最近，?zgi等人[26]进一步将矩阵范数方法推广到具有三角形模糊收益函数的零和矩阵博弈。他们通过引入模糊数的排序函数来定义模糊矩阵范数，从而为模糊博弈值和均衡结果建立了区间估计。不过，将矩阵范数方法应用于求解直觉模糊双矩阵博弈的近似均衡这一问题尚未得到研究。在实际中，博弈问题往往包含多个目标，这些目标在优化方向上可能存在冲突（例如最大化收益与最小化成本），并且在度量尺度上也存在差异（例如绝对指标与相对指标）。鉴于参与者对这些目标重要性的评价各不相同，学者们从不同角度提出了多种目标聚合方法，相关内容可见[27]、[28]、[29]、[30]、[31]。Nishizaki和Sakawa[27]采用加权系数法和最小分量法对多个目标进行聚合，同时通过设定模糊目标达成水平来考虑参与者的偏好，从而将多目标模糊双矩阵博弈的均衡计算转化为数学规划问题。与此同时，Bigdeli和Hassanpour[28]研究了具有三角形模糊收益函数的多目标零和矩阵博弈。他们通过运用α-割将模糊收益转化为区间值收益，进而将原博弈分解为一组多目标区间值子博弈以便求解。对于多领导者和多追随者的双层博弈，Ji等人[29]开发了一种模糊鲁棒加权方法，提出了模糊鲁棒加权纳什均衡的概念，并将求解此类均衡的问题转化为带权重约束的数学规划问题。此外，他们还通过供应链领域的多目标双层竞争博弈验证了所提方法的有效性。在另一项相关研究中，Li等人[30]通过考虑各目标对参与者的相对重要性，将多目标模糊双矩阵博弈转化为模糊双矩阵博弈，从而将寻找模糊帕累托-纳什均衡的问题转化为带参数的双线性规划问题进行求解。另外，Li等人[31]采用熵权法将精确的多目标双矩阵博弈转化为单目标博弈，并引入基于模拟退火的自适应差分进化算法用于求解。在本研究的基础上，结合[24]、[26]、[30]、[31]的先前研究成果，本文融入信息熵和直觉模糊矩阵范数，开发了用于求解多目标直觉模糊双矩阵博弈的近似方法。其目的是实现无偏的权重分配，并有效降低获取均衡解的计算复杂度。本文结构如下：第2节回顾了直觉模糊数的基本理论，包括其定义、运算规则和排序函数，以及直觉模糊双矩阵博弈及其均衡的基本概念。第3节计算直觉模糊矩阵的熵值和离散度指数，为多目标博弈场景中各参与者的多个目标赋予权重，从而将多目标博弈转化为单目标直觉模糊双矩阵博弈。第4节重点讨论求解直觉模糊双矩阵博弈均衡的近似方法。通过引入直觉模糊矩阵范数概念，我们为博弈值以及均衡策略的最大值和最小值建立了边界定理，从而有助于高效地近似求解均衡解。第5节通过在全渠道运营管理中的应用，证明了所提出的近似均衡方法的可行性和有效性。第6节总结了本文内容，并指出了未来研究的可能方向。章节片段1型直觉模糊数的定义与运算本节首先回顾1型直觉模糊数的定义、其α-割以及相应的运算规则。随后，介绍了基于λ加权平均面积的直觉模糊数排序函数，并验证了其线性性质。最后，给出了直觉模糊双矩阵博弈及其纳什均衡的定义。更多细节可见[11]、[13]、[32]、[33]。定义2.1（参见[32]、[33]）设a￣1,a1l,a1r,a￣1,a￣2,a2l,a2r,a￣2∈R多目标直觉模糊双矩阵博弈中的权重确定为消除不同目标下收益矩阵在维度与范围上的差异，本节首先对多目标直觉模糊双矩阵博弈进行标准化处理。随后，利用直觉模糊数的λ加权平均面积排序函数，将标准化后的博弈转化为精确的多目标双矩阵博弈。此外，借助收益矩阵中所蕴含的信息量，计算出不同情况下各参与者的熵值。直觉模糊双矩阵博弈中均衡值的计算本节首先利用λ加权平均面积排序函数，定义了非负直觉模糊矩阵的1-范数、∞-范数、1ˉ-范数和∞￣-范数。随后，通过将直觉模糊双矩阵博弈中收益矩阵的范数与诱导矩阵的范数相结合，建立了直觉模糊博弈值的界限定理。此外，还利用直觉模糊博弈值与直觉模糊之间的关系……两家全渠道零售企业的双目标竞争问题在数字经济背景下，零售企业通常采用全渠道运营模式，需要同时管理线上和线下渠道。在资源和管理预算有限的条件下，企业力求实现两大渠道的总销售额最大化。由于市场环境和消费者行为存在不确定性及模糊性，管理者对不同渠道策略组合所带来的收益的评估往往涉及三种类型……结论本文研究了多目标直觉模糊双矩阵博弈的近似均衡解。通过引入信息熵来客观地为参与者的目标赋权，我们解决了传统多目标矩阵博弈中常用的主观赋权方法的局限性。此外，基于直觉模糊矩阵范数，我们为博弈值以及均衡策略的最大值和最小值建立了界限，从而为……CRediT作者贡献说明刘文婷：撰写——初稿。邹杜：概念设计。李文：撰写——审阅与编辑。利益冲突声明作者声明不存在与本研究相关的利益冲突。