一种用于二维伪双曲方程的高效时空二次勒让德多小波方法

《Mathematics and Computers in Simulation》：An efficient space–time quadratic Legendre multiwavelet method for 2D pseudo-hyperbolic equation

　　莫·法希姆|萨特帕尔·辛格|J. 维戈-阿吉亚尔•本文提出了一种基于完全配置法的二次勒让德多小波方法，用于求解二维伪双曲方程。该方法通过通用阶数的二次勒让德多小波积分公式来离散化所有的空间和时间导数。所提出的方案能够高效地将控制方程转化为可求解的线性代数系统。严格的收敛性分析表明该方法的数值近似具有四阶精度。基准实验显示，与现有数值方法相比，该方法具有无条件稳定性且精度更高。

引言
在本文中，我们研究如下形式的二维伪双曲方程：p(x)utt(x,t)???(?q(x)?ut+q(x)?u)+r(x)ut=f(x,t)，其中x∈Ω，t>0，同时考虑以下初始条件和边界条件：u(x,t)=0，x∈?Ω；u(x,0)=h0(x)，ut(x,0)=h1(x)，x∈Ω，这里?Ω表示域Ω的边界。本文做出以下假设：
A1：源项和初始数据满足f∈L2(0,T;L2(Ω))，h0∈H01(Ω)，h1∈L2(Ω)。
A2：对于正常数p0、p1、q0、q1、r0和r1，光滑函数p、q和r满足以下条件：(i)p∈W1,∞(Ω)且0< />< />< />< />< />0，同时还需满足以下初始条件和边界条件：u(x,y,0)=h0(x,y)，ut(x,y,0)=h1(x,y)，u(x,0,t)=u(x,1,t)=u(0,y,t)=u(1,y,t)=0。我们开始对解进行近似。

收敛性分析
设uxxyytt(x,y,t)可以用QLM的形式表示为uxxyytt(x,y,t)=∑m1,m2,m3∑i1=1∞∑i2=1∞∑i3=1∞gi1,i2mψi1m1(x)ψi2m2(y)ψi3m3(t)。对方程(6.1)进行积分后，可以得到u(x,y,t)的解析表达式：u(x,y,t)=∑m1,m2,m3∑i1=1∞∑i2=1∞∑i3=1∞gi1,i2m(Ii1,2m1(x)?xIi1,2m1(1))(Ii2,2m2(y)?yIi2,2m2(1))Ii3,2m3(t)+B(x,y,t)，其中B(x,y,t)表示包含边界项的函数。

引理6.1
设u∈L2((0,1)×(0,1)×(0,1))，且对于所有(x,y,t)∈(0,1)×(0,1)×(0,1)，都有|uxxxxxyyyyyttttt(x,y,t)|
数值实验
在本节中，我们运用qlm方法求解了两个二维伪双曲方程的数值算例。为验证该方法的精度，我们使用了以下误差度量公式：mae=max1≤?3≤n3max1≤?2≤n2max1≤?1≤n1|e(?1,?2,?3)|，rmse=(1/n1n2n3∑?1=1/n1∑?2=1/n2∑?3=1/n3|e(?1,?2,?3)|2)1/2，l∞(l2)=max1≤?3≤n3(1/n1n2∑?1=1/n1∑?2=1/n2|e(?1,?2,?3)|2)1/2，l∞(h1)=max1≤?3≤n3(1/n1n2∑?1=1/n1∑?2=1/n2|e(?1,?2,?3)|2+|ex(?1,?2,?3)|2+|ey(?1,?2,?3)|2)1/2，其中mae和rmse分别是最大绝对误差的缩写。

结论
本文首次采用了qlm方法对伪双曲方程进行数值求解。qlm的基函数是结合前两个勒让德多项式以及小波的多分辨率框架构建的。我们利用柯西公式进行n重积分，从而得到了与qlm相关的积分算子。所提出的方法简单高效，因为时间和空间导数都是通过qlm及其积分来近似的。通过应用qlm基函数，…… 数值实验 在本节中，我们运用qlm方法求解了两个二维伪双曲方程的数值算例。为验证该方法的精度，我们使用了以下误差度量公式：mae=max1≤?3≤N3max1≤?2≤N2max1≤?1≤N1|E(?1,?2,?3)|，RMSE=(1/N1N2N3∑?1=1/N1∑?2=1/N2∑?3=1/N3|E(?1,?2,?3)|2)1/2，L∞(L2)=max1≤?3≤N3(1/N1N2∑?1=1/N1∑?2=1/N2|E(?1,?2,?3)|2)1/2，L∞(H1)=max1≤?3≤N3(1/N1N2∑?1=1/N1∑?2=1/N2|E(?1,?2,?3)|2+|Ex(?1,?2,?3)|2+|Ey(?1,?2,?3)|2)1/2，其中MAE和RMSE分别是最大绝对误差的缩写。 结论>
数值实验
在本节中，我们运用qlm方法求解了两个二维伪双曲方程的数值算例。为验证该方法的精度，我们使用了以下误差度量公式：mae=max1≤?3≤n3max1≤?2≤n2max1≤?1≤n1|e(?1,?2,?3)|，rmse=(1/n1n2n3∑?1=1/n1∑?2=1/n2∑?3=1/n3|e(?1,?2,?3)|2)1/2，l∞(l2)=max1≤?3≤n3(1/n1n2∑?1=1/n1∑?2=1/n2|e(?1,?2,?3)|2)1/2，l∞(h1)=max1≤?3≤n3(1/n1n2∑?1=1/n1∑?2=1/n2|e(?1,?2,?3)|2+|ex(?1,?2,?3)|2+|ey(?1,?2,?3)|2)1/2，其中mae和rmse分别是最大绝对误差的缩写。

结论
本文首次采用了qlm方法对伪双曲方程进行数值求解。qlm的基函数是结合前两个勒让德多项式以及小波的多分辨率框架构建的。我们利用柯西公式进行n重积分，从而得到了与qlm相关的积分算子。所提出的方法简单高效，因为时间和空间导数都是通过qlm及其积分来近似的。通过应用qlm基函数，……>