编辑推荐：
摘要
确定既非局部也非全局的网络结构是一个受到广泛关注的研究领域。这些中间结构的研究主要涉及网络社区的检测，但也包括网络角色、核心与边缘结构等。在一项日益相关的研究方向上，持久同调（persistent homology）也被用于分析网络的形状，基于网络的
摘要
确定既非局部也非全局的网络结构是一个受到广泛关注的研究领域。这些中间结构的研究主要涉及网络社区的检测，但也包括网络角色、核心与边缘结构等。在一项日益相关的研究方向上，持久同调（persistent homology）也被用于分析网络的形状，基于网络的循环结构及其高维类似物。在这项工作中，研究人员将这两个视角结合起来，引入了一种基于持久同调的非参数网络划分方法。这种划分称为网络的持久性划分（persistence partition），通过持久性曲面（persistence surface）的概念定义，为每个节点分配一个相对于其在网络中位置的个人持久性度量。研究人员考察了这种划分与通过组合等价（combinatorial equivalence）定义的标准网络角色概念的一致性程度。然后比较了持久性划分与社区以及网络的核心-边缘结构的关系。分析基于真实和合成网络，并表明持久同调可以揭示传统方法未检测到的独特结构特征。
### 研究背景
网络节点划分是网络科学的核心问题，广泛应用于社区检测、角色分析和核心-边缘结构识别。传统方法多基于连通性、模块度或随机模型，但难以捕获网络中的“空洞”或“空隙”——即循环及其高维类似物所留下的拓扑结构。持久同调（persistent homology）已被用于分析这些形状特征，然而如何将其与节点划分结合仍是一个开放问题。为此，研究人员提出持久性曲面（persistence surface）概念，构建一种非参数的网络划分——持久性划分（persistence partition），旨在揭示传统方法无法检测的独特结构。该论文发表在《PLOS Complex Systems》。
### 研究内容与结论
研究人员定义并实现了持久性曲面算法（Persistence Surface Algorithm, PSA），通过比较每个节点的持久性曲面将节点划分为等价类（持久性单元）。理论分析表明，自同构等价（automorphic equivalence）总是比持久性等价更精细，且持久性划分与可逆划分（equitable partition）、潜在划分（latent partition）存在可比或不可比关系。在合成网络（度校正随机块模型DCSBM、随机块模型SBM、随机几何图RGG）和真实网络（Zachary Karate Club、纽约出租车网络）上的实验显示：持久性划分与社区结构部分相关（如SBM和Karate俱乐部中部分吻合），但在其他情境下显著不同（如RGG和出租车网络中单元跨越社区边界）；与核心-边缘结构相比，持久性划分更精细，倾向于对应角色或功能而非层次。这些结果表明，持久性划分是分析网络角色和局部拓扑的独特工具。
### 关键技术与方法
主要技术包括：（1）持久同调计算，使用Ripser软件（基于单纯复形和距离矩阵）获取各维度持久区间；（2）持久性曲面算法（PSA），对每个节点构建其不同半径ego-graph的持久曲线，并插值形成曲面，通过比较曲面 ledge 序列（即新持久区间出现的半径和死亡时间）定义节点等价类；（3）理论比较涉及自同构等价、可逆划分（基于图的coarsest equitable partition）和潜在等价（基于谱约简的对称性）；（4）合成网络生成：DCSBM（2个社区各50节点）、SBM（相同设置）、RGG（均匀采样在?2中）；真实网络样本：Gundangborn族谱网络（32人）、Zachary Karate Club（34人，来自文献[44]）、纽约出租车网络（265个街区，来自纽约市开放数据[47]）。
### 研究结果
**3.1 持久性等价与角色检测**
- 证明了自同构等价总是细化持久性等价（定理1）。
- 定义并证明了可逆等价和潜在等价也都被自同构等价细化（定理2、3），但持久性、可逆、潜在三种划分之间有时可比、有时不可比（例5、图6）。
- 结构等价（structural equivalence）比以上所有等价更严格（推论1）。
**3.2 合成网络的持久性划分**
- DCSBM网络中，持久性单元与嵌入社区的调整互信息（AMI）仅0.032，说明几乎无对应关系。
- SBM网络中AMI为0.37，中等相关但非强一致。
- RGG网络中，持久性单元跨越局部高模块性子图，分布全局（图7右），说明持久性划分侧重拓扑角色而非社区。
**3.3 两个真实网络的持久性划分**
- Zachary Karate Club：持久性划分产生12个单元，除1个混合单元外均归属于教练或校长社区（图8）；与核心-边缘结构（基于谱约简的7层）不可比，持久性划分更精细，能区分自同构/可逆/潜在划分中合并的节点。
- 纽约出租车网络：持久性单元（10个）散布于各行政区，不构成空间连续社区（图9），表明其反映交通功能角色而非地理社区。
### 讨论与结论
讨论部分指出，持久性划分与社区结构的关系尚不确定——有时相关（SBM、Karate俱乐部），有时不同（RGG、出租车网络）；与核心-边缘结构相比，持久性划分更精细且常对应角色。研究人员证明自同构等价始终细化持久性划分及新引入的可逆/潜在划分，但三者间的精确关系未知，有待后续研究。结论翻译如下：
“本文提出了持久性曲面的概念，可为图G=(V,E)的每个顶点v构造。通过按持久性曲面分组顶点，我们创建了图顶点的一个划分，其元素或单元构成图的持久性划分。目前尚不清楚网络的持久性划分如何与其在网络科学中通常研究的社区结构关联。二者有时相关（如SBM和Zachary Karate俱乐部示例），其他时候差异显著（如RGG示例和纽约出租车网络）。同样未知的是，持久性划分是否能更好地近似网络中的角色，或是确定网络核心-边缘结构的有用方法。关于网络顶点的其他划分，我们证明了自同构划分始终细化持久性划分以及本文引入的另外两种新划分——可逆划分和潜在划分。尽管持久性、可逆和潜在划分有时相互细化，其他情况下则不可比，但三者之间的精确关系仍属未知。这些新的网络划分与最新的算法划分方法（如算法概率方法、低秩、随机游走和深度学习网络嵌入方法）的比较同样不明确。全面比较超出本文范围，我们拟在后续论文中考察这些关系。目前，这些现代技术是否识别出与持久性划分类似的结构仍是一个开放问题。”
