一种基于机器学习的计算框架，用于模拟微极性纳米流体叶片涂层过程中的布朗运动和热泳效应

《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：A machine learning-based computational framework for modeling Brownian and thermophoresis effects in micropolar nanofluid blade coating processes

　　祖尔菲卡尔·阿里|拉米·马哈茂德·哈费兹|贾法尔·哈斯奈因|穆罕默德·优素福·拉菲克巴基斯坦伊斯兰堡巴赫里亚大学计算机科学系

摘要
本研究提出了一种机器学习框架，用于模拟在布朗运动、热泳效应、磁场作用以及微旋转动力学影响下的微极性纳米流体的叶片涂层过程。通过润滑近似理论简化描述质量、动量、角动量、能量和浓度传输的控制方程，并利用射击法进行数值求解。所得数值数据集被用来训练、测试和验证基于Levenberg–Marquardt反传播算法的人工神经网络。所提出的机器学习模型可用于智能预测叶片涂层过程的各项特性，包括速度、温度、浓度、压力分布以及工程性能指标。通过回归分析、均方误差、均方根误差、平均绝对误差、平均绝对百分比误差以及百分比误差等指标来评估模型性能。研究结果表明，人工神经网络的预测结果与数值解高度吻合。经过训练的模型具有快速收敛性和高预测精度，非常适合用于高效模拟和优化涂层工艺。参数分析表明，增加磁场强度会降低压力，而增加粘性耗散则会改善温度分布。该框架为智能涂层过程的分析与预测提供了一种有效的基于人工智能的工具。

术语表
符号 描述 SI单位
x方向速度分量 [数学处理错误]
y方向速度分量 [数学处理错误]
笛卡尔坐标 压力
微旋转 温度
动态粘度 [数学处理错误]
纳米粒子浓度 [数学处理错误]
最小叶片间隙高度 叶片长度
最大叶片间隙高度 基底速度
体积流量 [数学处理错误]
网幅宽度 应用磁场强度
涡流粘度系数 [数学处理错误]
密度 [数学处理错误]
旋转变形粘度系数 [数学处理错误]
微惯性密度 热导率
电导率 [数学处理错误]
布朗扩散系数 [数学处理错误]
热泳扩散系数 [数学处理错误]
MFM 微极性流体 ANNA 人工神经网络
LMBP Levenberg–Marquardt反传播算法 MHDM磁流体力学
LAT 润滑近似理论 MSE均方误差 PC平面涂布机
EC指数型涂布机 MAPE平均绝对百分比误差 NN非牛顿流体
RMSER均方根误差 PE百分比误差 MAE平均绝对误差

1. 引言
由于在涂料和电子行业以及零售信息设备表面涂覆薄层方面的广泛应用，叶片涂层技术在涂料领域的重要性日益凸显。在生产和设计中使用的材料通常需要经过多种涂层工艺处理（Booth, 1970; Shim, 2013; Aziz and Ismail, 2015）。此外，这种技术还可用于制造防护屏障。叶片的形状决定了涂层方式，这种机制使得流体能够在叶片与基底之间流动，从而在基材上形成一层液体薄膜。经过涂层处理后，产品的质量、效果以及基底的使用寿命都可能得到显著提升。Landau和Levich（1988）通过对浸涂过程中压力分布和粘性力的深入分析，奠定了现代涂层技术的基础，为理解流体动力学原理在基底上形成薄液膜的过程提供了重要依据。Middleman（1977）最早进行了实验和理论研究，量化了用于叶片涂层应用的纳米流体的关键因素——压力、体积流量、施加负荷以及最终涂层厚度。这些试验数据为如何获得质量最高且均匀性最好的涂层提供了实用指导。在叶片涂层方法方面，Sajid等人（2019）研究了三级流体，并提出了相应的数学模型。该研究采用了润滑近似理论来简化控制方程，同时考虑了平面涂布机和指数型涂布机两种涂布方式。Bhatti等人（2021）则研究了固定叶片与移动基底之间的间隙中粘弹性Carreau流体流动的解析表达式。

随着对非牛顿流体特性的研究不断深入，这类具有独特性质的流体在各种工业应用中得到了广泛应用。由于其流量和涂层厚度可控，这类在恒定压力条件下工作的流体在涂料、印刷和绘画等三阶流体应用中至关重要。Kanwal等人（2020）使用了平面涂布机和指数型涂布机，结合润滑近似理论简化了控制方程，对微极性流体的叶片涂层过程进行了分析。Nazeer等人（2018）研究了直角三角形腔体中移动壁面對微极性流体流动的影响。Khaliq等人（2022）首次研究了微极性-卡森流体在叶片涂层过程中的传热现象，同时考虑了滑移条件和粘性耗散因素。

磁流体力学流动是流体研究的主要焦点。在低磁雷诺数条件下，磁流体力学流动的强度往往大于平流流动。人们通常采用低磁雷诺数近似来研究真实磁场中的各种流动问题。Javed等人（2024a）结合磁流体力学和滑移效应，利用非牛顿纳米流体对叶片涂层过程进行了分析。他们通过润滑近似理论简化控制方程，再运用四阶龙格-库塔法和牛顿-拉夫森法进行数值求解，研究了压力、压力梯度、速度以及温度分布等因素的影响。Hanif等人（2024）探讨了在叶片涂层过程中影响Sisko流体涂层厚度的各种因素。Hasnain等人（2025）研究了计算研究对于导电Oldroyd 4-常数流体在叶片涂层过程中滑移极限敏感度的影响。Khaliq等人（2025）则研究了在叶片涂层过程中考虑磁流体力学效应时，非牛顿流体薄层涂层的数值模拟方法。

由于非牛顿流体动力学和涂层过程的复杂性，人工智能方法，尤其是人工神经网络，在叶片涂层和表面工程领域发挥着重要作用（Qureshi, 2026; Ali and Abid, 2025）。为了减少预测误差，人们通过调整神经元之间的连接权重来训练人工神经网络。其中，Levenberg–Marquardt反传播算法是一种非常有效的优化算法。由于其收敛速度快且能够处理大规模数据集，因此成为优化复杂模型的常用工具。Javed等人（2024b）运用机器学习技术，在考虑磁流体力学效应和滑移效应的框架下，对非等温叶片涂层过程进行了建模。Garalleh等人（2025）则使用包含磁流体力学和滑移效应的粘弹性纳米流体模型，研究了人工神经网络在叶片涂层过程中的应用。Ali和Abid（2025）探讨了利用机器学习模拟和分析叶片涂层过程中的磁流体力学非牛顿流体动力学的方法。为了描述纳米流体中复杂的非线性传输现象，人工智能和机器学习技术近年来受到了广泛关注。Ullah等人（2025）研究了在磁流体力学、多孔性以及热量影响作用下，普朗特三元纳米流体在三维拉伸表面上的流动情况。Arif等人（2025b）则利用Morlet小波神经网络，研究了在非线性拉伸表面上，磁流体力学Williamson纳米流体流动的交叉扩散效应。这些研究都表明，数据驱动技术在预测高度非线性的流动和传热特性方面具有很大潜力。还有许多研究探讨了磁流体力学和人工神经网络在流体流动以及传热应用中的影响（Qureshi, 2025; Qureshi and Alakhras, 2025; Qureshi et al., 2025c, 2025d; Qureshi et al., 2025c; Arif et al., 2025a, 2026; Aslam et al., 2025; Hasnain et al., 2026; Khan et al., 2026a; Khan et al., 2026b; Ayman-Mursaleen et al., 2026）。

叶片涂层技术在工业制造中被广泛用于在移动的基底上制备均匀的薄层涂层。最终涂层的质量在很大程度上取决于涂层材料在叶片与移动表面之间的狭窄间隙中的流动行为和热特性。目前已有模型用于描述具有微观结构效应的流体，但对于同时受到磁场、粘性耗散以及纳米粒子传输机制影响的叶片涂层流动的研究相对较少。在那些对热控制和粒子分布要求较高的先进涂层材料中，这些效应尤为重要。

开展本研究的动机在于需要建立一种更为完善的叶片涂层模型，以体现现代涂层技术中所面临的各类耦合传输现象。为此，传统的微极性流体模型被扩展，纳入了磁流体力学效应、粘性耗散以及Buongiorno纳米流体模型，后者能够考虑布朗运动和热泳扩散效应。所建立的数学模型能够更真实地描述涂层过程中的热量传递和纳米粒子传输现象。本文除了探讨数学建模问题外，还研究了将人工神经网络作为预测叶片涂层问题的工具的应用。通过数值求解控制方程来训练人工神经网络，这样就可以无需再次求解整个方程组，就能快速预测速度、温度、浓度以及微旋转特性，从而大大减少计算工作量，同时不会影响数值结果的准确性。与传统数值方法不同，传统方法在物理参数发生变化时需要不断重新求解控制方程，而所提出的LMBP-ANN模型则能从数值数据中学习输入参数与输出响应之间的非线性关系。经过训练后，该神经网络能够以较低的计算成本准确预测流动特性。正因如此，人工神经网络成为了工业涂层应用中实现过程控制、优化以及实时预测的实用工具。

本研究的创新之处在于，在统一框架下同时研究了在磁流体力学效应、粘性耗散、布朗扩散以及热泳作用共同影响下的微极性纳米流体叶片涂层流动现象，并建立了基于人工神经网络的预测模型。据作者所知，目前尚无关于叶片涂层流动的此类综合研究。所提出的框架不仅为涂层过程提供了物理层面的洞察，还为工程预测提供了高效的计算工具，对于智能制造和先进的涂层应用具有重要的意义。本文的其余部分结构如下：第1节介绍背景资料及相关文献综述；第2节给出叶片涂层问题的数学建模；第3节阐述LMBP-ANNs数值方法的实现原理；第4节分析所得数据，探讨各控制参数对流动、温度、浓度以及微旋转场的影响；第5节则总结主要结论并指出未来研究的方向。

本研究旨在回答以下问题：
1. 磁场如何影响微极性纳米流体在叶片涂层过程中的流动行为？
2. 微极性参数、布朗运动、热泳效应、普朗特数以及粘性耗散会对速度、温度、浓度和微旋转分布产生何种影响？
3. 这些物理参数如何影响涂层层内的热传递和纳米粒子传输？
4. 基于数值数据训练得到的神经网络能否准确预测涂层过程的流动和热特性？
5. 在本研究考虑的参数范围内，神经网络的预测结果与数值解的吻合程度如何？

2. 问题建模
在本研究中，我们采用二维模型来分析叶片涂层过程。相关假设如下：
?叶片与移动基底的几何结构会形成一个楔形区域，该区域会带动微极性纳米流体流动，这是一种非等温、不可压缩的流体。
?叶片位于坐标系的某一侧，其高度分别为 和 。
?有外部磁场垂直作用于基底上。
?如图1所示，基底在y=0处以均匀速度U沿x方向移动。

图1. 流动几何结构。
?采用润滑近似理论，假设其中一个维度（H0）远远小于另一个维度L，即在该区域的内侧有H0L?1，因此可以认为v?u且?/?x??/?y。

根据Eringen（1964, 1972；Kanwal et al., 2020）提出的微极性流体理论，质量、线动量、角动量以及能量的守恒方程可表示为：
(1) divV=0，
(2) ρDVDt=??P+κ?×q+(μ+κ)?2V+J×B，
(3) ρjDqDt=κ(?×V?2q)?γ(?×?×q)+(α+β+γ)?(?·q)，
(4) (ρC)fDTDt=τ.?V+ξ?2T+(ρC)p[DTT1?T·?T+DB?T·?C]，
(5) DCDt=div[DB?C+DTT1?T]，
其中DDt=??t+V·?。

在方程(3)中，α、β和γ分别代表旋转变形粘度系数，κ为涡流粘度系数，j则表示微惯性密度。根据Eringen的微极性流体理论，这些参数用于描述微观元素的旋转行为（Eringen, 1964, 1972）。

我们用ρ表示流体的密度，Cp表示比热容，ξ表示热导率，μ表示动力粘度，(ρC)f表示基体流体的比热容，(ρC)p表示纳米粒子的比热容。需要注意的是，当α=γ=β=0且q=κ=0时，方程(2)就会简化为经典的纳维-斯托克斯方程。此外，如果κ=0，那么q和V之间就不存在关联，此时微旋转现象也就无法影响流体流动。根据Eringen（1964，1972）的研究，α、β和γ必须满足以下条件：(6) 2μ+κ≥0，κ≥0，3α+β+γ≥0，γ≥|β|。为便于研究，该流动为二维、稳态、层流且不可压缩。微观元素的旋转运动通过微极流体模型来描述。(7) V=[u(x,y),v(x,y),0]，(8) q=[0,0,q(x,y)]。在低磁雷诺数假设下，与外加磁场B0相比，感应磁场可忽略不计。根据欧姆定律，有J×B=σ(V×B)，其中σ表示电导率。相应的洛伦兹力J×B在动量方程中起到阻力作用。(9) B=[0,B0,0]。将方程(7)和(9)代入方程(1)–(5)后，可得以下无量纲方程：(10) ?u/?x + ?v/?y = 0，(11) ρ[u?u/?x + v?u/?y] + ?p/?x + κ?q/?y = (μ+κ)(?2u/?x2 + ?2u/?y2)?σB02u，(12) ρ[u?v/?x + v?v/?y] + ?p/?y + κ?q/?x = (μ+κ)(?2v/?x2 + ?2v/?y2)，(13) ρj[u?q/?x + v?q/?y] + 2κq = κ(?v/?x ? ?u/?y) + γ(?2q/?x2 + ?2q/?y2)，(14) (ρC)f[u?T/?x + v?T/?y] = ξ(?2T/?x2 + ?2T/?y2) + 2(μ+κ)[(?u/?x)2+(?v/?y)2] + (ρC)p[DB(?T/?x?C/?x + ?T/?y?C/?y) + DTT1{(?T/?x)2+(?T/?y)2}]+(μ+κ)(?v/?x + ?u/?y)2，(15) [u?C/?x + v?C/?y] = DB(?2C/?x2 + ?2C/?y2) + DTT1(?2T/?x2 + ?2T/?y2)。表面边界条件如下：(Kanwal等人，2020；Hasnain等人，2025；Hasnain等人，2026)。(16) 当y=0时，u=U，T=T1，C=C1，q=0，at y=0；当y=h(x)时，u=0，T=T0，C=C0，q=0，at y=h(x)。微极纳米流体与移动基底以及静止叶片表面的物理相互作用由方程(16)中的边界条件体现。在底部壁面y=0处，若基底以均匀速度U移动，则满足无滑移条件，即u=U。基底的温度和纳米颗粒浓度分别设为T1和C1。在顶部叶片表面y=h(x)处，叶片静止，此时温度和浓度分别保持在T0和C0。微观元素处于强固定状态或无法旋转，这一条件体现在两个固体边界上均满足q=0，即悬浮的微观结构会附着在固体表面上，无法在壁上自由旋转。接下来引入无量纲变量：(17) δ=H0/L，k=H1/H0，v=v/δU，j=j/H02，q=H0q/U，x=x/L，y=y/H0，p=H02UμL/p，u=u/U，θ=(T?T0)/(T1?T0)，?=(C?C0)/(C1?C0)。将方程(17)代入方程(10)、(11)、(12)、(13)、(14)、(15)、(16)后，可得以下无量纲形式：(18) Reδ(uux+vuy)+px+Nqy=(1+N)(δ2uxx+uyy)?Ha2u，(19) Reδ3(uvx+vvy)+py+Nδ2qx=(1+N)(δ?vxx+δ2vyy)，(20) Reδj(uqx+vqy)+2Nq=N(δ2vx?uy)+ε(δ2qxx+qyy)，(21) ReδPr(uθx+vθy)=(δ2θxx+θyy)+Nb(δ2θx?x+θy?y)+Nt[δ2(θx)2+(θy)2]+Br(1+N)[2δ2ux2+2δ2vy2+(uy+δ2vx)2]，(22) δ(u?x+v?y)=δ2?xx+?yy+NtNb(δ2θxx+θyy)。表1列出了这些无量纲参数的定义。表1 无量纲参数参数定义物理意义δ H0/L长宽比（膜厚与叶片长度之比）Re ρUH0μ惯性力与粘性力的比值ε γμH02微旋转扩散参数N κμ微极耦合参数Pr μCpξ动量扩散率与热扩散率的比值Br μU2ξ(T1?T0)布林克曼数，反映粘性耗散效应Ha σB02H02μ哈特曼数，反映磁场效应Nb(ρCp)pDB(C1?C0)ξ布朗运动参数Nt(ρCp)pDT(T1?T0)ξT1热泳参数2.1 润滑近似理论在叶片边缘与移动基底之间的间隙区域，该间隙远小于叶片的特征长度。此时特征长宽比定义为(23) δ=H0/L?1，因此可采用润滑近似理论简化控制方程。(24) ?/?y=O(1)，?/?x=O(δ)，所以所有乘以δ、δ2、δ3、δ?的项都属于高阶项。此外，对于薄膜涂层流动，Reδ?1，惯性项可忽略。因此，如uxx、qxx、θxx、?xx这类轴向扩散项以及对流项也可忽略。(25) px+Nqy=(1+N)uyy?Ha2u，(26) py=0，(27) εqyy?2Nq?Nuy=0，(28) θyy+Nbθy?y+Nt(θy)+Br(1+N)(uy)2，(29) ?yy+NtNbθyy=0。针对该问题，经过变换后的边界条件如下：(30) 当at y=0时，u=1，q=0，θ=1，?=1；当at y=h(x)时，u=0，q=0，θ=0，?=0。体积流量Q*的量纲形式为(31) Q*W=∫0h(x)udy。表观摩擦系数和努塞尔数的量纲形式分别为(32) Cf=(μ+κ)ρU2(?u/?y)y=0，(33) Nu=xqwξ(T1?T0)，ξ(?T/?y)y=0。其中h(x)=K?Kx+x表示平面涂层模型的公式，h(x)=K1?x则表示指数型涂层模型的公式。3. 问题求解3.1 数值解方程(25)、(27-29)所描述的耦合系统属于非线性系统，且需满足计算域不同位置设定的边界条件。由于这些方程较为复杂，不存在解析解，因此采用数值方法中的射击法来求解该问题。该方法将边界值问题转化为等价的初值问题，通过迭代确定未知的初始条件，从而满足所有边界条件。为便于数值计算，引入流函数如下：(34) v=?ψx，u=ψy。将方程(34)代入方程(25)、(27-29)后可得(35) (1+N)?3ψ/?y3+N?q/?y?Ha2?ψ/?y=?p/?x。根据方程(26)，压力在y方向上不会发生变化，因此压力仅是x方向的函数，即p=p(x)。对方程(35)求导后得到(36) (1+N)??ψ/?y?+N?2q/?y2?Ha2?2ψ/?y2=0，(37) ε?2q/?y2?2Nq?N?2ψ/?y2=0，(38) ?2θ/?y2+Br(1+N)(?2ψ/?y2)2+Nb(?θ/?y??/?y)+Nt(?θ/?y)2=0。因此，方程(29)、(36 - 38)适用的边界条件为：(39) 当at y=0时，ψy=1，ψ=0，q=0，θ=1，?=1；当at y=h(x)时，ψy=0，ψ=H，q=0，θ=0，?=0。压力的边界条件为：(40) p(1)=0=p(0)。由于入口和出口边界处于大气环境中，根据方程(40)中的边界条件，计算域两端的表压为零。从0到1区间内，可通过积分压力梯度来确定压力分布。此时无量纲膜厚、表观摩擦系数和努塞尔数的定义如下：(41) QW=UH=λ=∫0hψydy，(42) Cf=ψyy(0)，(43) Nu=?θ′(0)，(44) p=∫01dpdxdx。载荷Π的计算方式如(Hasnain等人，2025，2026)所示：(45) Π=∫01p(x)dx。为确定λ的值，可借助方程(39)求解流函数ψ，再将ψ代入方程(35)、(36 - 38)即可得到dpdx、q、θ、?的值。通过引入压力梯度项即可确定压力值。最终，载荷Π可通过方程(45)计算得出。为确保p(1)=0，需采用根查找技术调整λ的值。方程(29)以及(35)、(36 - 38)所描述的非线性常微分方程组，是通过射击法进行数值求解的。首先通过引入合适的初始缺失条件，将边界值问题转化为等价的初值问题组，然后使用四阶龙格-库塔算法对所得方程组进行积分，同时通过根查找方法不断调整未知的初始条件，直至满足y=h(x)处的所有边界条件。迭代过程的收敛标准设定为10??，当计算得到的结果与预设边界条件之间的残差小于该阈值时，计算即终止。为保证数值计算的稳定性和准确性，还尝试了不同网格尺寸下的计算，结果均未出现显著差异。表2显示，随着网格分辨率的提高，数值结果收敛速度明显加快。在401到501个网格点范围内，表观摩擦系数和努塞尔数的变化幅度极小（小于0.001%）。因此，为在保证计算效率的同时提升数值精度，后续所有计算均采用401个网格点的分辨率。此外，还将本研究的数值解与Kanwal等人（2020）在类似限制条件下的研究结果进行了对比，两者吻合度极高，进一步证明了所采用数值方法的准确性与可靠性。经过收敛处理的数值解被用于构建人工神经网络训练、验证和测试所需的数据集。本研究考虑的物理参数及计算范围汇总于表3。表2 本数值方案的网格无关性研究。网格点数CfNu努塞尔数的相对变化百分比101?1.25384?3.65172----201?1.25431?3.655480.103301?1.25447?3.655960.013401?1.25450?3.656000.001501?1.25450?3.656000.000表3 仿真中使用的物理参数及计算范围。参数范围参数范围K(2 - 6)Ha(0.5 – 2)N(0 – 1)ε(0.01 – 0.05)Br(10 – 20)Nb,Nt(0.2 – 0.8)3.2 人工神经网络在本研究中，采用LMBP-ANN来训练用于叶片涂层问题分析的人工神经网络。控制方程的数值解被用来生成用于网络训练和测试的数据。选择LMBP-ANN是因为它在处理非线性相互作用方面表现优异，且广泛应用于各种工程领域的函数预测和近似计算中。该算法能够在训练过程中通过基于梯度的优化方法和最小二乘法有效调整网络权重和偏置参数。在流动、温度和浓度场都由高度耦合的非线性方程控制的背景下，这一特性尤为重要。训练好的网络可用于预测不同物理参数条件下系统的行为。通常情况下，对于中等规模的网络，LMBP-ANN能够给出可靠的预测结果，但网络规模越大、数据集越复杂，其收敛时间也会相应增加，计算难度也会提升。不过对于本文研究的数据集，该算法仍能给出准确的预测结果，与同类数值解的吻合度很高。本研究采用数值分析结合人工神经网络建模的方法（Panda等人，2023a，2023b，2024；Baithalu等人，2024；Razzaq等人，2026；Habib等人，2025；Nasir等人，2025；Zheng等人，2025）来分析叶片涂层过程。首先需要对控制方程及其相关边界条件进行数学建模，将其转化为一阶常微分方程组，再通过射击法进行数值求解。通过射击法计算得到的数值结果可用于构建神经网络所需的训练数据集。该数据集包含了速度、温度、浓度场的信息，以及在不同控制物理参数下微旋转的变化情况。随后利用LMBP-ANN来训练网络，确定最优的权重和偏置参数。训练完成后，该网络可用来预测本研究探讨的各类参数范围内的涂层流场行为。人工神经网络的优势在于：•不存在网格依赖性；•经过训练后，该方法能有效处理复杂的非线性方程，还能降低数值计算的稳定性问题；•与传统数值方法相比，它能通过减少离散化误差，具备更高的泛化能力和稳定性。此外，还将人工神经网络的结果与射击法得到的数值解进行对比，以此评估所提模型的预测能力。两组结果的良好吻合度证明了该神经网络能够有效反映叶片涂层过程的流动和传输特性。通过射击法得到的数值数据集被用于构建人工神经网络。如图2所示，该神经网络包含输入层、隐藏层和输出层，隐藏层共有15个神经元。数值计算共得到了802个数据点，这些数据都被用于构建网络。数据集被分为三部分：15%用于测试，15%用于验证，70%用于训练。表4列出了用于LMBP-ANN训练的本研究相关物理参数。这样的架构使得可以先训练网络，再用独立数据对其性能进行评估。训练完成后，会将网络预测结果与对应的数值结果进行比较，以此判断网络在反映叶片涂层流的速度、温度、浓度及微旋转特性方面的能力，这些特性都是本研究需要考虑的物理因素。(46) Sigmoid=1/1+e^?x，g(x)=x，(47) MSE=1/N∑i=1N(yi?y?i)2，(48) R2=1?∑iN(yi?y?i)2/∑iN(yi?y?i)2，其中y?=1/N∑i=1Nyi。下载：下载高分辨率图像（1MB）下载：下载全尺寸图像图2 所提出的用于叶片涂层过程建模的LMB-ANN计算框架。表4 用于构建数值数据集及训练LMBP-ANN模型的物理参数、基准值和输出变量。输入参数物理值输出值Ha,N,ε,Br,Nb,Nt,K0.5, 0.01, 0.05, 5, 0.3, 0.3, 2.0u,q,θ,?3.2.1 性能评估指标为定量评估所提出的LMBP-ANN模型的预测能力，还计算了RMSE、MAE、MAPE和百分比误差PE等统计性能指标。这些指标有助于全面衡量神经网络预测结果与数值解之间的差异。(49) RMSE=1/N∑i=1N(yi?y?i)2，(50) MAE=1/N∑i=1N|yi?y?i|，(51) MAPE=100/N∑i=1N|yi?y?i|/yi，(52) PE=|yi?y?i|/yi×100，其中N表示数据样本的总数，yi为真实值，y?i为神经网络预测值，y?i为真实值的平均值。4. 结果与讨论在人工智能领域，监督机器学习涉及一种利用已知输出的数据集构建预测模型的算法与方法体系。这类模型通常通过高效的训练算法学习，比如人工神经网络，这类算法会运用优化方法来最小化误差函数。在此类问题中，解决方案通常包含两个步骤：第一步是介绍如何构建LMB-ANN所需的数据集，第二步则是说明如何应用LMBP-ANN。本研究对非等温条件下使用微极纳米流体的叶片涂层过程进行了详细分析，并采用了人工智能辅助建模技术。通过概率电流方程和欧拉-康托维奇方程，研究了几何结构变化、流体性质以及外部力量对流场、压力分布和温度场的影响。分析中涉及的关键参数包括微旋转参数ε、哈特曼数Ha、耦合数N以及归一化的涂层厚度参数K。随着微旋转参数ε的增大，所需的驱动压力也会相应上升，这是因为流体在叶片作用下会产生微小的结构抗剪切效应。当这种内部旋转效应增强时，流体的行为就会类似于具有更高有效粘度的流体。在实际应用中，这就意味着需要更大的动力来维持流体的稳定流动，确保涂层能够连续、无缝地形成。仿真结果表明，磁场强度在维持稳定流场方面起着重要作用，因为洛伦兹力能够降低压力及压力梯度。在需要最小化回流或流动不稳定的高速涂层应用中，这一方法十分有用。它通过量化以热能形式表现出的粘性耗散量来控制热效应，而这些热能源自机械功。基底附近较高的温度梯度会影响流体粘度，进而影响流体的干燥或固化过程，不过这种影响也可能带来好处。在聚合物薄膜或生物医学表面等应用中，温度分布也会影响涂层的均匀性以及工艺的控制效果。文中对比了PC和EC两种几何结构，说明了叶片形状对流动结构的影响，尤其在NN流体状态下更为明显，因为指数型涂层器能提升薄膜的均匀性，并更好地控制压力积累。这些趋势可通过压力和压力梯度图呈现。实验结果验证了本研究中采用的扩展方法，且在不存在浓度、粘性耗散和磁效应的情况下，与Kanwal等人（2020年）的研究结果一致。图3展示了基准条件下的对比情况，压力曲线与图4(a–b)中的已知数值解高度吻合，从而证明了现有人工智能模型的有效性。在较宽的哈特曼数Ha和耦合参数N范围内，该模型都能稳定输出结果，表明其在预测复杂的磁流体动力学流动模式方面具有可靠性。下载：高分辨率图像（270KB）下载：全尺寸图像图3. 本研究与Kanwal等人（2020年）研究的对比。下载：高分辨率图像（281KB）下载：全尺寸图像图4. (a-b). 不同Ha和N值下的3D人工智能模拟。图5(a–b)展示了基于LMBP方法的神经网络自适应训练过程及其收敛性分析。每次训练周期结束后，都会将反向传播得到的数值与原始网络生成的数值进行对比。每次迭代开始时都会生成新的权重矩阵，并伴随权重更新，这类更新可能通过增量学习或局部最优条件计算实现。训练集、测试集和验证集的均方误差分别用红色、绿色和蓝色线条表示。我们的研究结果表明，利用现有数据可以快速且精准地训练神经网络。所开发的两种人工神经网络模型的训练状态如图6(a–b)所示，其中展示了微极性纳米流体模型对应的建议模型，以及它们的验证结果、梯度系数和Mu值。此外，在梯度系数、Mu值及验证性能的不同取值范围内，PC和EC对应的LMBP-ANN模型均表现出良好的准确性、收敛性和精确度。下载：高分辨率图像（342KB）下载：全尺寸图像图5. (a-b). PC和EC的均方误差结果。下载：高分辨率图像（422KB）下载：全尺寸图像图6. (a-b). PC和EC的Mu梯度。误差直方图以图形方式展示了预测误差，即人工神经网络输出值与对应目标值之间的差异。直方图中的每个条形代表特定误差范围内的出现频率。如果误差集中在零附近，说明网络能够准确还原目标数据，具备良好的预测能力；反之，如果误差分布较广或存在较大误差值，则可能意味着某些情况下的预测精度较低。图7(a–b)中的误差直方图显示，大多数预测误差都集中在零附近，进一步证明了所训练的人工神经网络模型在近似数值解方面的稳健性和可靠性。下载：高分辨率图像（439KB）下载：全尺寸图像图7. (a-b). PC和EC的误差统计值。从LMBP-ANN的角度来看，回归结果的重要性在于系统计算的准确性和一致性。模型问题的回归结果如图8(a–b)所示。适应度函数的作用是帮助神经网络找到最优且高质量的解决方案。图9(a–b)展示了如何运用适应度函数，通过LMBP-ANN技术确定案例I和案例II所需的模型。下载：高分辨率图像（610KB）下载：全尺寸图像图8. (a-b). PC和EC的回归分析。下载：高分辨率图像（578KB）下载：全尺寸图像图9. (a-b). PC和EC的适应度函数。图10(a–d)展示了重要物理参数对压力分布的影响，这些参数包括微旋转参数ε、耦合参数N、哈特曼数Ha以及标准化膜厚K。如图10(a)所示，当微旋转参数ε增大时，整个区域内的压力明显上升，这是因为微极性纳米流体的非线性流变特性使得其抵抗剪切变形的能力随ε增加而增强，因此需要更大的压力来维持流动，尤其是在叶片间隙等剪切强度较高的区域。由于该流体属于NN类型，其粘度增加会导致内部阻力上升，进而使压力升高。图10(b)展示了哈特曼数Ha所代表的磁效应对压力分布的影响，较强的磁场会产生阻碍流体运动的洛伦兹力，这种力能够降低剪切应力、稳定流动并抑制速度波动，因此随着Ha的增加，压力水平下降，峰值压力位置也会向叶片尖端靠近。在磁辅助加工过程中，这些效应有助于提升涂层平滑度并减少流动不稳定性。从图10(c)可以看出，随着耦合参数N的增大，整个区域的压力明显上升，这是因为随着N的增加，微极性流体的非线性流变特性使其更强烈地抵抗剪切变形，因此需要更大的压力梯度才能让流体在狭窄的叶片间隙中持续流动。如图10(d)所示，涂层厚度参数K的变化会引发压力场的显著变化，由于K增大导致流动区域扩大，压力重新分布，最大压力点会逐渐向叶片方向移动，这说明较厚的涂层需要在叶片附近形成更集中的压力，而这可能会影响膜的平整度以及基底上的载荷分布。下载：高分辨率图像（912KB）下载：全尺寸图像图10. (a-d). 不同参数值下的压力分布变化。图11(a–d)展示了压力梯度随ε、Ha、N和K变化的规律。从图11(a)可以看出，随着ε的增加，压力梯度上升，这说明NN特性会导致流体对剪切的抵抗增强，因此为了保持涂层均匀，就需要更大的压力，因为此时流体的有效粘度增加，且靠近叶片和基底的剪切层会变厚。图11(b)显示，提高Ha值会降低压力梯度，因为较强的磁场能够减弱流动阻力及所需的驱动压力，还能使速度分布更加平坦，抑制湍流并减少壁面剪切力。从图11(c)可以看出，随着耦合参数的增大，整个区域的压力梯度都会上升，因为更高的耦合参数会加强微极性流体中线动量与微旋转效应之间的相互作用，这使得流体更难以被剪切变形，因此需要更大的压力梯度才能在狭窄的叶片间隙中维持稳定流动。下载：高分辨率图像（580KB）下载：全尺寸图像图11. (a-c). 不同参数值下的压力梯度变化。图12展示了Br对温度的影响，由于Br增大导致剪切阻力上升，进而引起粘性耗散增加，从而使流体温度升高。从图13(a)和(b)可以看出，增大布朗运动参数Nb和热泳参数Nt会显著改变整个区域内的浓度分布，随着Nb的增大，纳米粒子的随机运动加剧，促进了质量扩散，使得边界层内的浓度降低；同样，较大的Nt也会促使粒子从温度较高的区域向较低区域迁移，进一步改变浓度分布。布朗扩散和热泳作用的共同作用使得纳米粒子在涂层过程中的分散程度对温度梯度极为敏感。图14(a–d)展示了涂层厚度比K对PC和EC涂层流线的影响，随着K的增大，流线会变得更为分散并发生偏移，这说明流动状况有所改善，但过大的K值会导致流动反转或回流，尤其是在EC结构中，这可能会引发涂层缺陷或膜层不均匀问题。图15(a–h)展示了努塞尔数对Br、Nb和Nt变化的敏感性，其中Br的影响最为显著，而Nb和Nt的影响则相对较弱，等高线分布表明这些参数之间存在相互作用，共同影响涂层过程的热传递特性。为了进一步评估所提出的人工神经网络模型的预测精度和可靠性，研究人员通过将人工神经网络的预测结果与相应的数值解进行比较，进行了全面的统计误差分析，采用了RMSE、MAE、MAPE、PE和R2等多种指标来衡量两种方法之间的吻合程度，这些指标能够全面评估人工神经网络在再现PC和EC几何结构下的压力分布、压力梯度、壁面摩擦系数以及努塞尔数方面的能力，相关结果汇总在表5中。表5. 压力、压力梯度、壁面摩擦系数和努塞尔数的数值解与人工神经网络解之间的统计误差分析。几何结构变量RMSE MAE MAPE %误差 %R2PCp(x)9.3211?×?10?56.9834?×?10?50.043%0.032%1PCdpdx1.3238?×?10?41.0302?×?10?40.045%0.018%1PCCf1.0652?×?10?47.3774?×?10?50.012%0.006%1PCNu1.9080?×?10?41.3276?×?10?40.005%0.004%1ECp(x)4.3600?×?10?52.7900?×?10?50.022%0.013%1ECdpdx6.5724?×?10?54.0025?×?10?50.016%0.007%1ECCf4.5638?×?10?53.3577?×?10?50.004%0.003%1ECNu6.8253?×?10?54.8882?×?10?50.002%0.001%1虽然统计指标能够整体反映人工神经网络的表现，但还需考察该模型在预测实际工程量方面的准确性，因此研究人员针对不同的哈特曼参数值，直接比较了数值解与人工神经网络解在Cf和Nu指标上的预测结果，相关结果也在表5中给出，同时列出了百分比误差，以体现所提出人工神经网络框架的稳健性和预测能力。从表6可以看出，对于这两种涂层几何结构，人工神经网络的预测结果与数值解高度一致，无论磁参数取何值，壁面摩擦系数和努塞尔数的百分比误差都极小，这一高度一致性表明，经过训练的人工神经网络成功捕捉到了控制参数与工程响应之间的非线性关系，因此该模型可以作为高效的替代工具，用于预测叶片涂层过程中的壁面剪切应力与热传递特性，同时大幅降低计算成本。为了验证所提出的数值方法的准确性，本研究还将当前结果与Kanwal等人（2020年）针对微极性叶片涂层流动的极限情况所发表的结果进行了对比，虽然其他参数均与参考研究保持一致，但对比是在不同的耦合参数N值下进行的，表6中的结果显示，数值方法的实现具有很高的可靠性，两者吻合度非常好。表6. 不同哈特曼参数值下Cf和Nu的数值解与人工神经网络解的对比。几何结构HaCf 数值解Cf 人工神经网络解误差百分比Nu 数值解Nu 人工神经网络解误差百分比PC0.5?0.76452?0.764520.00054%?2.4689?2.46890.00029%PC1.0?0.96350?0.963490.00032%?2.9048?2.90480.00018%PC1.5?1.25450?1.254500.00002%?3.6560?3.65600.00018%PC2.0?1.60150?1.601500.00029%?4.6851?4.68510.00057%EC0.5?0.78450?0.784510.00076%?2.5179?2.51790.00002%EC1.0?0.97837?0.978370.00068%?2.9375?2.93750.00003%EC1.5?1.26390?1.263900.00045%?3.6629?3.66290.00007%EC2.0?1.60680?1.606800.00003%?4.6637?4.66370.00003%如表7所示，当前的数值结果与已发表的数据高度吻合，EC的最大偏差小于0.28%，而PC的百分比误差则低于0.47%，在牛顿极限情况N下，PC和EC的误差分别仅为0.0035%和0.0020%。这些细微差异增强了后续人工神经网络预测和参数分析的可靠性，同时也证明了所采用的基于射击法的数值方法的精确性与稳定性。表7. 本研究得到的涂层厚度结果与Kanwal等人（2020年）针对不同耦合参数N所得结果的比较。几何结构|本研究λ值|Kanwal等人（2020年）λ值|误差百分比PC0.00|0.666644|0.666667|0.0035PC0.40|0.665289|0.666500|0.1817PC0.80|0.664228|0.666472|0.3367PC1.50|0.663354|0.666463|0.4665EC0.00|0.642844|0.642857|0.0020EC0.40|0.641661|0.642670|0.1570EC0.80|0.640719|0.642316|0.2486EC1.50|0.639936|0.641639|0.26545. 结论性意见该计算框架提出了一种利用布朗运动、热泳效应和磁效应来构建人工神经网络模型，用于模拟纳米流体叶片涂层过程的方法。通过润滑理论简化标准化方程，再利用射击法得到数值解。将纳米流体的微极性模型与人工神经网络相结合，在全球范围内应用具有巨大潜力。该模型的应用范围不仅限于叶片涂层，还包括导线涂层、电缆涂层、聚合物薄膜生产、生物医学装置涂层、太阳能电池制造、电池电极制备以及柔性电子产品等领域。合适的薄膜涂层十分重要。将微极性模型与人工神经网络优化技术结合，为流体动力学研究、工程应用以及智能制造带来了诸多机遇。此外，人工神经网络模型与射击法得到的数值解高度吻合。定量验证显示，压力、压力梯度、皮肤摩擦系数以及努塞尔数的均方根误差在4.36×10?5到1.91×10?4之间，百分比误差低于0.05%，R2值为1.0。敏感性分析表明，布林克曼数是对传热性能影响最大的参数，而布朗运动和热泳参数的影响则相对较小。这些结果证实了所提出的人工神经网络框架能够在研究参数范围内准确再现数值结果。•本研究表明，基于人工神经网络的方法能够在准确模拟非线性流体流动系统行为的同时，大幅降低计算量。数值解与人工神经网络结果的高度一致性，体现了该框架描述多种几何结构下复杂传输过程的能力。因此，对于工程应用中流体流动和传热过程的预测与优化而言，人工神经网络是一种实用且有效的工具。•压力和压力梯度是标准化涂层厚度K的减函数。从物理意义上讲，当K增大时，涂层厚度增加，从而需要更小的压力来维持流体流动。•热泳扩散和布朗运动能够改变浓度和温度分布，进而提升传热效果。•哈特曼数和微极性参数是调控涂层厚度的关键因素，它们有助于提升涂层性能和工艺效率。•敏感性分析表明，布林克曼数在很大程度上决定了传热特性，而涂层的整体热响应则受到布林克曼数、纳布数和努特数的共同影响。•人工神经网络模型能够精确再现数值解，其均方根误差在10?5到10?4之间，百分比误差低于0.05%，压力、压力梯度、皮肤摩擦系数以及努塞尔数的R2值均为1.0。•布林克曼数增大会导致温度分布发生变化。较大的材料参数会增加流动阻力，而较高的布林克曼数则能提升粘性耗散作用，这种效应会在叶片涂层过程中提高温度。•本研究的结论与Kanwal等人（2020年）的现有研究结果一致，进一步证明了该模型的有效性。5.1. 未来工作本研究的结果在工业涂层领域具有广泛应用前景，包括聚合物薄膜制造、电线电缆涂层、印刷技术、表面处理工艺以及生物医学涂层系统等，在这些领域中，精确控制流体流动和传热对产品质量至关重要。从计算角度来看，所开发的人工神经网络框架可作为快速替代模型，用于工艺监控和优化。未来的工作将重点通过实验数据或计算流体力学生成的数据库来验证该模型，引入不确定性量化方法以评估预测的可靠性，并将该框架拓展为物理信息神经网络。若能进一步纳入其他物理效应，如变化的材料属性、不均匀的涂层几何结构以及多目标优化策略，将进一步提升智能涂层工艺设计的实用性。资金支持作者们在本项研究、文章撰写及发表过程中未获得任何资金支持。CRediT作者贡献说明祖尔菲卡尔·阿里：方法论、软件、初稿撰写。拉米·马哈茂德·哈费兹：数据整理、正式分析、资源获取、可视化处理。贾法尔·哈斯奈因：概念设计、监督指导、结果验证、文章审阅与编辑。穆罕默德·优素福·拉菲克：概念设计、研究分析、结果验证、可视化处理、文章审阅与编辑。