印度尼西亚学生在密码算术问题解决中的表现：拉什分析

《Thinking Skills and Creativity》：Indonesian Students' Performance in Cryptarithm Problem-Solving: Rasch Analysis

　　埃利扎尔·埃利扎尔|安瓦尔·安瓦尔|伊玛目·罗菲基|普古赫·达尔马万|尤米亚蒂|恩当·瓦希尤宁鲁姆 印度尼西亚西亚库拉大学数学教育系

摘要：密码算术问题求解有助于培养代数思维，促进学生认知发展，尤其是提升逻辑推理能力。本研究采用Rasch测量模型，对一种密码算术测试的效度与信度进行检验，旨在评估学生的密码算术问题求解能力，并探究性别及地区差异可能带来的项目功能差异。研究对象为印度尼西亚亚齐省四所高中的281名高中生，其中两所农村学校，两所城市学校。学生们完成了包含六道题目的密码算术测试，数据通过WINSTEPS和SPSS 25软件的Rasch分析方法进行处理。研究结果表明，这些测试题目具有有效的效度和信度，且不存在项目功能差异。在问题求解能力方面，大多数学生的水平处于中等，女性学生的表现优于男性学生；此外，城市学校的学生整体表现优于农村学校学生。这些发现为进一步探讨影响性别及地区间密码算术问题解题能力差异的潜在因素提供了依据。

引言：为应对现实世界中的挑战，学校应培养学生解决此类问题所需的技能。数学问题求解能力在数学学习及学生的日常生活中都至关重要。密码算术是一种数学问题求解形式，也被称为数学谜题或智力题。它是一种数值谜题，其中0到9的每个数字都由一个字母唯一表示（Inosov & Vlasák, 2025; Isuzugawa et al., 2021）。解题者的目标是要确定每个字母对应的具体数字，即为这些字母赋予符合方程要求的独特数值（Nozaki et al., 2018）。这类谜题遵循三条基本规则：①每个字母始终代表一个唯一的数字；②任何数字开头的字母不能表示0；③将字母替换为数字后，所得算术方程必须成立（Isuzugawa et al., 2021）。解决密码算术问题可采用多种策略，包括深度优先搜索、遗传算法（Rahnavard & Dastghaibyfard, 2009）、逻辑编程（Yang, 2020）以及启发式策略（Fontanari, 2014）。

研究表明，解决密码算术问题能通过要求学生进行分析和系统化思考，从而提升他们的逻辑推理、批判性思维及问题求解能力。在教学中融入谜题和游戏对于培养学生的数学思维与问题求解能力极为重要。这类活动能促使学生进行批判性思考、逻辑推理与创造性探索，进而加深他们对数学概念的理解（Mageed, 2024）。解决密码算术难题需要具备基本的算术知识，同时还需要创造力、强大的逻辑推理能力以及坚持不懈的精神（Szilagyi, 2016）。密码算术是通过用数字替代方程中的字母来设计的数学谜题，它能挑战学生识别规律并运用逻辑推导得出正确答案。与其它活动相比，这类谜题更能激发学生的想象力，因此是提升各阶段学习效果的有效工具（Danesi, 2019）。密码算术不仅能帮助学生提升算术技能，还能锻炼他们的思维能力。

从问题求解框架来看，密码算术与Krulik & Rudnick（1989）提出的框架更为契合，该框架包括阅读思考、探索规划、选择策略、寻找答案以及反思解决方案等环节。密码算术任务能帮助学生理解任务及其符号表示，探索可能的解决方法，决定采用何种方法，解决问题，最后再检查解决方案是否合理。从数学教育的角度而言，密码算术问题求解过程中的认知活动与代数思维（Schmittau, 2005）、模式识别（Chimoni & Pitta-Pantazi, 2017）以及逻辑推理（Nozaki et al., 2018）密切相关。不过，本研究主要聚焦于逻辑推理层面，因为这是在既定约束条件下系统确定数字与字母对应关系的核心过程。在此语境下，逻辑推理涉及识别符号间的关系、运用算术运算以及验证解决方案的一致性。这种聚焦方式有助于更精准地评估学生面对陌生数学问题时的推理过程。

与其他逻辑谜题如数独相比，密码算术的特性更适用于评估涉及符号表示的逻辑推理与问题求解能力。数独是一种源自日本的数字填充谜题，它由9×9的网格构成，该网格又被划分为九个3×3的子网格，部分格子已预先填入1到9的数字，目标是将剩余格子填满，使得每一行、每一列以及每一个3×3的子网格都包含1到9的所有数字各一次（Louis Lee et al., 2008）。数独主要要求在数字网格中满足位置约束，同时也需要通过系统的推理与演绎来确定解决方案（Simonis, 2005）。而密码算术则要求学生在确保算术运算有效的前提下建立数字与字母之间的对应关系。其难点在于要保持符号与数字之间的一一对应关系，这要求学生在解决这类问题时发挥批判性思维与逻辑推理能力。

通过破解字母与数字的对应关系，学生能够通过识别数学规律并系统地缩小可能性范围来培养逻辑思维能力。同时，解决这类谜题也能提升学生的批判性思维能力，因为他们必须分析问题、评估各种可能的解决方案并得出合理的结论，而这些正是数学问题求解研究中所强调的能力（Quishpe et al., 2023）。此外，密码算术还能通过要求学生在结构化的推理框架内运用数学概念，从而培养系统化的问题求解能力。它为向学生介绍代数概念提供了一种有趣且富有吸引力的方式（Gomes & do Nascimento Salvador, 2025）。解决密码算术问题需要学生运用逻辑推理与模式识别能力，而这些正是代数思维的核心组成部分。这些技能有助于学生理解数学表达式的底层结构，从而实现从算术向代数的过渡（Napaphun, 2012）。这种反思过程不仅能提升他们的分析能力，还能增强他们应对复杂数学挑战的信心，进而提高他们的整体学术参与度。

为充分发挥这些优势，将密码算术纳入课程体系应作为更广泛的教学策略的一部分，该策略需结合多种批判性思维与问题求解活动。在教师培训及合适学习材料的支持下，这样的整合能够为学生提供一套全面且可迁移的认知技能，这些技能可应用于不同学科领域。在目前的印度尼西亚课程体系中，密码算术并未作为独立科目设置，只有少数学生接触过这一内容，主要是那些参加学校数学奥林匹克俱乐部或准备参加数学奥林匹克竞赛的学生。这说明仅有少量印度尼西亚学生有机会学习密码算术。因此，评估当前学生在密码算术方面的表现对于为课程设计者及政策制定者提供参考意见具有重要意义。

评估学生表现与测量密不可分。项目反应理论是重要的测量理论之一。该理论起源于20世纪20年代Louis Thurstone的开创性贡献，随后在20世纪40年代由Lawley、Mosier和Richardson进一步发展，而在20世纪50年代和60年代则由Alan Birnbaum、Frederic Lord和Georg Rasch做出了更为完善的完善。该理论的关键优势在于解决了经典测试理论的一个根本缺陷，即被测属性与用于测量它的具体测试项目之间存在持续的混淆现象（Van der Linden & van der Linden, 2016）。Rasch模型确保了测量单位在整个连续体上始终保持其意义，这一特点是经典测试理论通常无法保证的（Bond, 2001）。Rasch分析的一大优势在于它能够生成不变量测量结果，表明测量尺度在不同人群和不同情境下仍保持一致性。这一特性对于进行有意义的比较非常重要，比如评估一个人相较于另一个人的发展程度更高多少（Bond, 2001; Xie, 2023）。Rasch分析已被广泛应用于教育学、心理学等多个学科，用于构建和验证测量尺度。在教育研究领域，当需要精确区分学习者的能力时，这一方法的效用尤为突出（Farlie et al., 2021）。在数学教育领域，Rasch模型已被广泛用于检验数学评估工具，从1983年到2023年，相关学术研究数量大幅增加，这体现了该模型在这一领域的日益重要性（Zafrullah et al., 2023）。它能够帮助在统一的分布图上对测试项目及个体得分进行分类，这对于理解测试项目与学生能力之间的关系十分重要（Zafrullah et al., 2023）。此前有研究指出，Rasch分析是识别学习差距以及评估八年级数学题目难度的有效工具，它能够凸显出学生的表现差异以及他们在处理复杂问题时的薄弱环节（Re?o, 2024）。因此，运用Rasch分析对于完善课程体系具有重大意义。

尽管Rasch分析在数学教育中的应用日益增多，但其在评估密码算术这类非常规问题求解任务方面的应用仍然较为有限。目前关于密码算术的大多数研究都集中在解题策略或计算方法上，而非对学生能力的测量。此外，那些研究数学问题求解的课题往往依赖经典测试理论，而该理论无法充分体现项目与个体之间的互动关系或测量不变性。因此，本研究运用Rasch分析至关重要，它能够提供区间级测量结果，评估项目功能，同时确保该评估工具在不同学生群体中的使用效果一致。

以往已有研究从多个角度探讨过密码算术（Inosov & Vlasák, 2025; Isuzugawa et al., 2021; Minhaz & Singh, 2014; Szilagyi, 2016），但这些研究大多侧重于解决密码算术问题的策略或方法，而非学生的表现结果。此外，印度尼西亚的现有研究（Ariska & Azim, 2025; Pradani et al., 2025）往往样本量较小，这限制了研究结果的稳健性与普遍适用性。据我们所知，尽管Rasch分析在分析方面具有诸多优势，但在印度尼西亚背景下，针对数学表现或密码算术问题求解能力的研究很少运用这一模型。为弥补这些不足，本研究通过运用Rasch分析来评估印度尼西亚学生解决密码算术问题的表现，旨在提供更为可靠且全面的评估结果。本研究利用Rasch分析来评价印度尼西亚学生解决密码算术问题的能力，目的是验证该密码算术测试在印度尼西亚背景下的有效性，同时确定密码算术题目的难度以及学生与之相关的 problem-solving能力水平。希望这项研究能为未来关于印度尼西亚学生密码算术问题求解能力水平的研究奠定基础，同时为教师和学生的成长提供有价值的参考信息。此外，本研究的结果也可能对具有类似情况的其它国家有所帮助。

除了总体测量效度之外，还有必要考察测试项目在不同学生群体中的功能是否一致。差异项目功能分析能够帮助研究者通过检测不同群体（如性别或地理位置）的个体回答题目正确的概率是否存在差异，从而识别测试项目中可能存在的偏差（Walker, 2011）。以往的数学教育研究已经发现，性别和教育背景会带来问题求解能力的差异（Borgonovi et al., 2023; Wüstenberg et al., 2014），其中包括城市学生与农村学生之间的差异（Gon?alves et al., 2025）。这些差异可能会影响学生处理密码算术这类陌生任务的方式。因此，研究差异项目功能对于确保评估工具在各个子群体中的公平性与效度至关重要。

本研究旨在回答以下研究问题：
RQ1：从印度尼西亚亚齐省的高中生样本中收集到的数据在多大程度上符合Rasch模型？
RQ2：印度尼西亚亚齐省不同性别及地区的高中生在密码算术问题求解能力上存在怎样的差异？
RQ3：是否有某些测试项目在男女生之间的功能存在差异？
RQ4：是否有某些测试项目在农村学生与城市学生之间的功能存在差异？

方法部分：本研究采用了横断面定量研究设计，研究对象为印度尼西亚亚齐省的四所高中学生。研究采用了分层抽样设计，将各所学校分为城市组和农村组，以此更全面地评估学生解决密码算术问题的能力。亚齐省的首府班达亚齐被归类为城市地区（44所学校），而邻近的亚齐大区则被划分为农村地区（30所学校）。本研究利用从密码算术测试中获得的定量数据，通过Rasch模型来验证测量结果的准确性，评估数据与模型的契合度。研究目的是考察印度尼西亚亚齐省高中生解决密码算术问题的能力。同时，还对数据进行了分析，以识别出因学生性别或所在地区差异而表现出的不同测试项目。相关分析结果将在后续章节中呈现。

讨论
前一章节呈现的结果回应了本研究提出的四个研究问题。结果表明，在印度尼西亚的背景下，用于亚齐地区的密码算术测试具有有效性和可靠性，这一结论可通过Rasch参数在不同性别和地区中得到证实。在测试开发过程中，尤其是使用Rasch分析时，测量工具的有效性和可靠性至关重要。Rasch分析为评估题目与模型的契合度提供了框架。

结论
本研究运用Rasch测量模型，探讨了密码算术测试作为评估印度尼西亚亚齐省高中生解决问题能力的工具的有效性和可靠性。针对第一个研究问题，结果显示数据与Rasch模型契合良好。所有题目契合度统计指标均处于可接受范围，该测试工具具备较强的结构有效性。可靠性指标显示，题目可靠性较高，而个体可靠性则处于中等水平。

局限性
尽管本研究为了解学生解决密码算术问题的能力提供了有益的见解，但仍存在一些局限性。首先，该测试仅包含六个题目。虽然Rasch分析表明其具有可接受的可靠性和有效性，但较少的题目数量可能限制对不同技能范围的覆盖，也会降低对学生各种能力水平的测量精度。未来的研究应考虑增加题目数量，以便更全面地反映不同情况。

作者贡献说明
Elizar Elizar：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，方法论，资金获取，正式分析，概念构建。Anwar Anwar：概念构建。Imam Rofiki：资源协调，项目管理，数据整理，概念构建。Puguh Darmawan：写作——审稿与编辑，资源协调，概念构建。Yumiati：写作——审稿与编辑，资源协调，概念构建。Endang Wahyuningrum：写作——审稿与编辑，资源协调，概念构建。

致谢
作者们感谢西阿胡阿拉大学通过“印度尼西亚合作研究计划”（合同编号：25/UN11.L1/PG.01.03/14034-PTNBH/2025）为这项研究提供资金支持。同时，也感谢所有参与本研究的学校。