凸b-度量空间中的α-η-ψ压缩：不动点结果与应用

《Mathematics》：α-η-ψ Contractions in Convex b-Metric Spaces: Fixed Point Results and Applications

　　

本研究在完备凸b-度量空间中引入了一类新型的α-η-ψ压缩。研究人员利用广义压缩框架，建立了不动点的存在性与唯一性结果。作为应用，研究人员探讨了非线性积分方程、延迟神经网络和优化问题的可解性。数值算例展示了理论结果的应用性和有效性。

# 论文解读：凸b-度量空间中的α-η-ψ压缩——不动点结果与应用

## 研究背景与问题

不动点理论是非线性分析的重要工具，在积分方程、微分方程、优化问题和动态系统研究中具有核心地位。自1922年Banach压缩原理提出以来，该原理成为度量不动点理论中建立存在性与唯一性结果的基石。为扩展其适用性，研究者引入了多种度量结构的推广。其中，Czerwik提出了b-度量空间（b-metric space）的概念，通过放宽标准三角不等式，为非线分析提供了更广泛的框架。随后，受Takahashi思想启发，研究者进一步加入凸性条件，形成了凸b-度量空间（convex b-metric space），这为非线性算子理论带来了新应用。许多具有自然距离函数的空间仅满足松弛三角不等式，因此并非度量空间，导致凸度量空间中的不动点结果无法直接应用。凸b-度量空间克服了这一局限，为非线性问题研究提供了适宜框架。

与此同时，容许性（admissibility）技术和非线性比较函数已成为广义不动点理论中的有力工具。Hussain等人在α-完备度量空间中建立了不动点结果，表明容许性条件显著扩展了可得到不动点结果的映射类。Salimi等人引入修正的α-η-ψ压缩映射，并证明了若干不动点定理及在积分方程中的应用。Karap?nar等人进一步扩展了这些思想，引入α-η-Meir–Keeler压缩映射并建立了相应结果。这些进展随后被扩展到与混合压缩条件和容许性概念相结合的广义b-度量空间中。

近年来，凸b-度量空间中的不动点理论受到广泛关注。Chen等人建立了凸b-度量空间中的若干不动点定理，并应用于非线性问题和迭代逼近方法。Rathee等人研究了凸b-度量空间中的Ciri?压缩和几乎压缩，在广义压缩条件下获得了存在性与唯一性结果。Gazal等人研究了凸b-度量空间中Ciri?压缩的存在性、逼近和稳定性。这些贡献展示了凸b-度量结构在将经典不动点理论扩展到更一般非线性环境中的强大能力。然而，现有工作大多处理单一类型压缩，未充分探索混合压缩与凸b-度量空间几何性质之间的相互作用。此外，不动点理论在神经网络稳定性、优化问题和积分方程中的应用已有广泛研究，但广义压缩原理、凸b-度量结构和混合容许性标准在很大程度上被独立研究。因此，需要一种统一框架来整合这些概念并将它们应用于更广泛的非线性问题。为此，本研究在完备凸b-度量空间中引入了一类新的α-η-ψ压缩，将Salimi等人的修正α-η-ψ压缩方法扩展到凸b-度量空间，同时融入了凸几何项和混合广义压缩。研究人员证明了在适当条件下不动点的存在性与唯一性，并通过非线性积分方程、延迟神经网络和优化问题的应用展示了理论结果的有效性。论文发表在《Mathematics》上。

## 主要关键技术方法

研究人员在完备凸b-度量空间中，基于以下关键概念和方法开展研究：首先，定义凸b-度量空间，其中b-度量满足带常数s≥1的松弛三角不等式，凸结构由映射ω:[0,1]×X×X→X给出，满足连续性和凸性条件。其次，引入三角α-η容许映射（triangular α-η admissible mapping），该概念源自Karap?nar等人的三角α-容许映射，并扩展至α-η设定。核心是定义α-η-ψ压缩（α-η-ψ contraction），其中ψ是连续非减函数且满足ψ(t)=0当且仅当t=0，压缩条件包含凸几何项M_?(?,ζ)，统一了Banach型、Kannan型、Chatterjea型及凸几何项。证明不动点存在性与唯一性时，使用Picard迭代构造序列，借助容许性条件保持α和η性质，通过比较函数和b-度量不等式推导序列的柯西性、收敛性及不动点性质。应用部分针对非线性Volterra积分方程、延迟神经网络和优化问题，将相应算子嵌入凸b-度量空间并验证定理条件。数值实例支持理论结果。样本队列来源：均为数学构造而非生物样本，无特定队列。

## 研究结果

### 3. 固定点结果——α-η-ψ压缩

本节为论文核心。首先给出α-η-ψ压缩映射的定义（定义7）：设X为完备凸b-度量空间，常数s≥1，α,η:X→[0,∞)和ψ:[0,∞)→[0,∞)为给定函数，ψ连续非减且ψ(t)=0?t=0。映射?:X→X称为α-η-ψ压缩，若对所有?,ζ∈X，有α(?,ζ)η(?,ζ)d(??,?ζ) ≤ ψ(M_?(?,ζ))，其中M_?(?,ζ)包含d(?,ζ), d(?,??), d(ζ,?ζ), (d(?,?ζ)+d(ζ,??))/(2s)以及凸几何项(ω_1/2(?,ζ), ω_1/2(??,?ζ))。

定理1：在完备凸b-度量空间（常数s≥1）中，若存在?₀∈X使得α(?₀,??₀)≥1且η(?₀,??₀)≥1；?是三角α-η容许的；?是α-η-ψ压缩；对由?_n+1=??_n定义的序列，若?_n→?且α(?_n,?)^?≥1等条件（原文条件(iv)为：对由?_n+1=??_n定义的序列，若对所有n有α(?_n,?_n+1)≥1且η(?_n,?_n+1)≥1，且?_n→?，则存在子序列使得α(?_nk,?)≥1且η(?_nk,?)≥1），则?存在不动点；若进一步对所有不动点?,ζ有α(?,ζ)≥1且η(?,ζ)≥1，则不动点唯一。证明通过构造迭代序列?_n+1=??_n，利用容许性推得α(?_n,?_n+1)≥1且η(?_n,?_n+1)≥1，进而通过压缩条件和凸b-度量性质证明d(?_n,?_n+1)递减趋于0，序列为柯西列，由完备性收敛至?^*。再利用条件(iv)得到α(?_nk,?^*)≥1等，利用压缩条件和b-度量不等式推导??^*=?^*。唯一性由附加条件得到。

随后给出四个推论，分别对应Banach型（d(??,?ζ)≤λd(?,ζ)）、Kannan型（d(??,?ζ)≤λ(d(?,??)+d(ζ,?ζ))）、Chatterjea型（d(??,?ζ)≤λ(d(?,?ζ)+d(ζ,??))）以及混合型（包含凸几何项）作为特例，并给出具体示例（例3、例4）验证定理条件。这些示例表明α-η-ψ压缩框架确实包含多种经典和广义压缩原理。

### 4. 应用

#### 4.1. 非线性积分方程的应用

研究人员将定理1应用于非线性Volterra积分方程。定理2在空间Ω=C([0,T],[0,M])上（视为完备凸b-度量空间，b-度量d(u,v)=sup_t∈[0,T](u(t)-v(t))²，凸结构ω_τ(u,v)=τu+(1-τ)v），考虑Volterra积分算子?u(t)=f(t)+∫₀^tK(t,s,u(s))ds。在假设条件（核函数K满足Lipschitz条件、存在常数λ<1等）下，通过构造α和η函数（如α(u,v)=e^d(u,v)等），验证?满足定理1的所有条件，从而证明算子存在唯一不动点，即积分方程的唯一解。例5给出具体数值实例支持。

#### 4.2. 延迟神经网络的应用

定理3将定理1应用于延迟神经网络模型。考虑系统：x_i′(t)=-a_ix_i(t)+∑_j=1ⁿb_ijf_j(x_j(t-τ_j))+∫_-∞^tk_ij(t-s)g_j(x_j(s))ds+I_i(t)。在完备凸b-度量空间Ω=C([-τ,0],Rⁿ)上定义映射?。假设条件包括激活函数f_j,g_j单调连续且Lipschitz、核函数连续非负且积分有界、存在常数λ<1等。通过构造α,η,ψ，验证?是三角α-η容许且为α-η-ψ压缩，从而得到神经网络存在唯一连续解。例6给出两神经元延迟神经网络实例，验证所有假设，得到唯一解存在区间。

#### 4.3. 优化的应用

例7和例8展示定理1在优化问题中的应用。考虑凸b-度量空间中的优化问题，定义算子??=?-?Ψ(?)（或类似形式），其中Ψ为目标函数。通过选择适当的α,η,ψ，验证?满足定理1条件，得到唯一不动点即为Ψ的唯一全局极小点。例7中Ψ(?)=?²，例8中Ψ(?)=?²+1，均通过检验压缩条件得到唯一解?=0为全局极小点。

## 总结与结论

论文在完备凸b-度量空间中提出了α-η-ψ压缩类，建立了不动点存在性与唯一性定理。该框架统一并扩展了Banach、Kannan、Chatterjea等经典压缩原理，并融入了凸b-度量空间的几何结构。通过非线性积分方程、延迟神经网络及优化问题的应用，展示了理论结果的实用性和有效性。数值算例进一步证实了所提结果的可行性。这些工作推进了广义度量空间中的非线性分析。未来研究可聚焦于将这些结果扩展到更一般的空间并探索更多优化中的应用。

结论部分（翻译）：本研究在完备凸b-度量空间中提出了一类α-η-ψ压缩，并在广义压缩框架下建立了不动点的存在性与唯一性结果。通过非线性积分方程、延迟神经网络和优化问题的应用，以及额外的数值算例，展示了理论结果的有效性。这些结果推动了广义度量空间中非线性分析的发展。进一步的研究工作可集中于将这些发现扩展到更一般的空间，并探索更多优化中的应用。