一种用于具有混合边界条件和非零源项的Brinkman问题的斜对称Nitsche增强型混合有限元方法

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：A skew-symmetric Nitsche-augmented mixed finite element method for the Brinkman problem with mixed boundary conditions and non-null source terms

　　克里斯蒂安·卡尔卡莫|弗朗兹·丘利|阿布纳·H·波萨

摘要
本文提出、分析并验证了一种新的斜对称Nitsche算法，用于具有混合狄利克雷-诺伊曼边界条件和非零源项的Brinkman问题。该算法基于一种扩展的公式化处理方式，将伪应力和速度视为未知量，并利用Nitsche项来施加诺伊曼边界条件。所提出的算法无需引入额外的未知量，其稳定性可通过能量范数来分析。这种新的扩展算法采用Raviart-Thomas元素来近似伪应力，同时使用拉格朗日有限元素来近似流体速度。在假设经典正则性条件下，证明了该算法的适定性以及最优收敛性。通过二维和三维的若干数值实验，展示了该算法的有效性。

引言
众所周知，斯托克斯方程用于描述自由流体区域的流动，而达西方程则用于描述多孔介质中的流动。Brinkman问题则综合了达西模型和斯托克斯模型，常被用来描述自由流体区域与多孔区域之间的流动过渡现象[1]、[2]、[3]。在研究自由流体/多孔介质耦合问题时（更多相关文献可参见[4]、[5]、[6]、[7]、[8]），著名的Beavers-Joseph-Saffman界面条件[9]可能会引发某些不稳定性。为了解决这些问题，[10]中提出了Brinkman模型，即在两种介质之间设置一层薄的过渡层。此外，该模型也可用于非稳态斯托克斯问题的向后欧拉时间离散化研究中。

近年来，人们越来越关注Brinkman问题中不同混合条件的处理方法。在此仅简要介绍一些现有的数值算法。对于具有混合齐次狄利克雷边界条件和非齐次诺伊曼边界条件的二维模型，[11]中引入了一种混合有限元公式化处理方法，通过将伪应力和速度视为未知量，从而规避了基于应力方法的混合形式所固有的对称性约束。另一项针对相同边界条件下的非齐次情况的研究[12]则提出了基于伪应力和速度的扩展混合变分公式化处理方法。由于狄利克雷边界条件在混合公式化处理中属于自然条件，因此借鉴[13]、[14]中的思路，作者对诺伊曼数据进行了均匀化处理，以便进行先验分析以及基于残差的后验误差分析。对于其他类型的边界条件，可参考[15]，该研究分析了具有狄利克雷压力边界条件以及速度的法向和切向分量的Brinkman问题。该工作引入了一种结合了泰勒-胡德元素与混合速度-压力公式化处理的对称Nitsche算法[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]。该方法的适定性由经典的Babu?ka-Brezzi理论加以保证。在[22]中，作者将虚拟单元法与对称Nitsche算法相结合，提出并分析了一种用于处理包含滑移边界条件的Brinkman问题的新方法。

通常，在处理混合边界条件时，传统的离散化方法是为了解决关键边界条件问题而引入拉格朗日乘子，例如参考[23]、[24]。另一种经典方法是通过对关键条件施加惩罚项，这一思路源自[25]。尽管简单，但惩罚方法存在不一致性，这在精度和/或针对惩罚参数的稳健性方面会产生实际影响（详细说明及数值实验可见[26]、[27]）。

Nitsche方法最初由[28]提出，它与稳定的混合方法密切相关，尤其是与[29]中的方法有关。这种关系在[30]中被阐明，并在[26]、[31]中得到了进一步详细阐述。在离散弱形式中的Nitsche项可被视为稳定项，其中拉格朗日乘子被原始变量的法向通量所替代。因此，Nitsche方法能够在不需要拉格朗日乘子的情况下，以高效且精确的方式在弱意义上强制满足关键边界条件。它也与扩展拉格朗日公式化处理方法密切相关（详情见[32]及其中的参考文献）。Nitsche方法有对称型、非对称型和斜对称型三种形式[19]、[26]、[33]、[34]。通常，Nitsche方法应用于原始公式化处理的问题中，其中关键边界条件直接作用于未知量上。不过，最近也有研究将对称Nitsche方法适配到混合公式化处理中，用于处理狄利克雷条件和Signorini条件[35]。Nitsche方法的斜对称变体最早由[36]提出，甚至可以带来无需惩罚项的方法[37]。由于其相对于Nitsche参数具有更高的稳健性[33]、[34]、[38]、[39]，以及在不可压缩流体问题中的重要性[40]、[41]，这一变体值得关注。这也是本文选择采用斜对称变体的原因。

本文提出了一种新方法，该方法基于斜对称Nitsche处理方式，用于处理Brinkman问题中的关键边界条件，采用扩展混合形式，将伪应力和速度视为未知量。所提出的算法实现简单，且不涉及额外的未知量。我们首先描述该方法，然后从能量范数的角度证明其稳定性以及最优的先验误差估计。此外，我们还通过二维和三维的数值实验，展示了该方法的精度、有效性及其实际应用价值。

在本节最后，我们将介绍本文中使用的符号；在此之前，先说明本文的结构。第2节将介绍所研究的模型问题以及本研究所采用的扩展公式化处理方式。第3节介绍斜对称Nitsche算法，第4节则阐述其稳定性与误差分析。第5节通过二维和三维的若干示例测试案例，对算法进行数值验证。

在整篇论文中，我们采用了关于索伯列夫空间、内积和范数的标准简化术语（例如参见[18]）。具体而言，如果O是Rn中的开子集，n∈{2,3}，那么L2(O)表示在O上具有勒贝格平方可积性的函数所构成的巴拿赫空间。按照惯例，Wk,p(O)，其中1≤p≤∞且k≥0，表示具有范数‖?‖Wk,p(O)的索伯列夫空间；而对于标量、向量或张量值函数，Hk(O)=Wk,2(O)则表示具有半范数|?|k,O以及范数‖?‖Wk,2(O)=‖?‖k,O的希尔伯特空间。设?τ?(τij)和?σ?(σij)为二阶张量，它们在Rn×n中的矩阵表示分别记为τij和σij，我们定义???τ:σ?∑i,j=1nτijσij,trτ?∑i=1nτii，而τt?(τji)。最后，符号C表示一个正常的通用常数，其数值在每次出现时可能有所不同，且与网格尺寸无关。

模型问题
设Ω?Rn，n∈{2,3}，为一个具有利普希茨连续边界?Γ?ΓD∪ΓN的开有界域，其中ΓD≠0?和ΓN≠0?是Γ的两个不相交子集。此外，在本文中，我们将考虑以下希尔伯特空间：?HΓD1(Ω)?{v∈H1(Ω)n:v=0onΓD}，???HΓN1(Ω)?{v∈H1(Ω)n:v=0onΓN}，H001/2(ΓN)?v|ΓN:v∈HΓD1(Ω)，H001/2(ΓD)?v|ΓD:v∈HΓN1(Ω)，??H?H(div;Ω)?τ∈L2(Ω)n×n:??τ∈L2(Ω)n，?V?τ∈H(div;Ω):τn=0onΓN，?Q?H1(Ω)n。另外，我们用?H00?1/2(ΓN)?(H001/2(ΓN))′表示Lions-Magenes空间H001/2(ΓN)的拓扑对偶空间。

斜对称Nitsche算法
我们分别在H和Q空间中引入以下有限元子空间：?Hh,k?τh∈H:τh|T∈RTk(T)tn，?T∈Th，?Qh,k?vh∈C(Ωˉ)n:vh|T∈Pk+1(T)n，?T∈Th，其中k≥0，RTk(T)表示度数为k的Raviart-Thomas空间，而Pk则表示次数不超过k的多项式空间。这里{Th}h>0是一组形状规则的划分方式，用于将Ωˉ划分为元素T，当n=2时这些元素为三角形，当n=3时为四面体，其直径为hT，而?h?maxT∈ThhT。此外，设E表示一条边。

误差分析
我们首先证明离散公式化处理的一致性，然后根据能量范数(3.4)推导出最优的先验误差估计。

引理4
假设(Sigma,u)∈H×Q是方程(2.2)的解，而(Sigmah,Uh)∈Hh×Qh是离散算法(3.1)的解。那么对于所有(Thetah,Vh)∈Hh,k×Qh,k，都有AN((Sigma?Sigmah,U?Uh),(Thetah,Vh))=0。

证明
该结论可直接从方程(3.1)、分部积分以及(Sigma,u)∈H×Q满足方程(2.2)这一事实中得出。□

为了估计伪应力误差，需要使用全局和局部的Raviart-Thomas方法。

数值示例
本节旨在通过一系列计算示例来展示所提方法的性能。所有示例都是在使用开源软件FEniCS[52]并结合线性求解器MUMPS[53]的情况下实现的。为了得到预期的收敛阶数，我们按照常规定义收敛率，即收敛率=log(?(z)/?′(z))log(h/h′)，其中?(z)表示变量z∈σ,u,p的误差，而?(z)、?′(z)则表示在两个连续点上计算出的误差。

结论
在本文中，我们针对具有狄利克雷-诺伊曼条件的Brinkman问题，提出并分析了一种新的斜对称Nitsche方法。该方法基于伪应力-速度扩展混合公式化处理方式，结合了Raviart-Thomas元素和拉格朗日元素，并通过一致的惩罚项来确保关键边界条件的满足。研究表明，在标准的正则性假设下，该算法具有适定性且一致性良好。同时，该算法还充分利用了CRediT作者贡献度量的插值特性。

作者贡献声明
克里斯蒂安·卡尔卡莫：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，研究，形式分析。弗朗兹·丘利：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，指导，研究，形式分析。阿布纳·H·波萨：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，研究，形式分析，概念构建。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究工作的已知财务利益或个人关系。

致谢
第三位作者的部分研究工作得到了智利圣康塞普西翁天主教大学研究处的支持，相关项目编号为DIREG 01/2025。