基于粒子驱动的等几何拓扑优化方法，用于考虑空气动力载荷的柔性机翼大变形设计

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Particles-driven isogeometric topology optimization for large-deformation designs of compliant airfoils considering aerodynamic loads

　　朱嘉毅|张晓|高亮|高杰摘要现代飞机设计不断追求极致的轻量化与更优的空气动力性能，这使得机翼的柔性显著增强。在这种背景下，由有限变形引起的结构几何非线性给柔性机翼设计带来了严峻挑战：传统有限元方法在较大位移下容易出现网格严重畸变，而常规优化方法则受到空气动力形状与内部结构拓扑之间几何不匹配的限制。为应对这些挑战，本文提出了一种新的拓扑优化框架，旨在设计在给定空气动力载荷及大变形条件下的柔性机翼内部结构。首先，利用等几何面板法建立了一种高效的势流空气动力评估模型。该方法通过使用相同的非均匀有理B样条基函数来离散化几何形状和势场，从而在无需生成体积网格的情况下实现几何一致性的空气动力载荷评估与高效计算。其次，引入了结合粒子迁移机制的拉格朗日-欧拉描述方法来表示内部结构拓扑。在优化迭代过程中，外部空气动力轮廓被视为承受固定空气动力载荷的非设计区域；这种基于粒子的表示方式有效避免了因结构网格畸变而产生的数值发散问题，即使在强空气动力压力作用下导致弯曲-扭转变形时也能保持数值稳定性。第三，建立了考虑结构几何非线性的内部配置优化数学模型。通过建立欧拉背景网格与拉格朗日物质粒子之间的双向映射，进行物理场评估与灵敏度分析，引导物质向高应变能区域迁移，进而迭代重构出最优的内部布局。最后，通过数值算例验证了所提设计框架的有效性。结果表明，优化后的内部结构不仅能够准确反映结构非线性效应，还在抵抗复杂弯曲-扭转变形方面表现出更优异的性能。引言现代高性能、长续航飞机通常采用细长机翼结构以实现最大的空气动力效率。这一关键的柔性特性使得机翼在空气动力载荷作用下极易发生较大的几何非线性变形[1]。与传统刚性机翼的小变形假设不同，大变形不仅会实时改变机翼的空气动力形状和攻角分布，还会导致结构切向刚度出现显著波动，进而可能引发屈曲或颤振等灾难性不稳定风险[2]。更重要的是，在大变形条件下，空气动力载荷具有显著的动态依赖性，即载荷方向会随着结构变形而变化，这使得基于线性理论的分析方法完全失效[3,4]。因此，如何准确捕捉和量化由细长机翼结构引起的这种几何非线性行为，是确保飞机在极端条件下保持结构安全与机械稳定性的核心前提[5]。为了提升机翼内部结构在空气动力环境下的轻量化设计与承载性能，拓扑优化已被广泛应用于现代航空航天工程中。拓扑优化是一种数学方法，旨在通过确定材料的最佳空间分布，在给定的设计范围内最大化结构性能[6]。随着航空航天领域对轻量化与高性能需求的不断增加，拓扑优化技术已发展出多种主流方法：从早期基于微观结构演变的均匀化方法，到基于单位材料密度的连续体模型；从能够明确追踪结构边界的水平集方法（LSM），到近年来基于显式几何描述的新兴移动可变形组件（MMC）方法。上述方法各具优势，共同推动了机翼结构设计的跨越式发展，涵盖了从宏观布局到微观细节设计的整个范畴。Tatar等人[7]指出，拓扑优化方法在航空航天结构设计中起着至关重要的作用，该领域正在从隐式方法向显式及多尺度方法发展[8]。在早期探索中，Bends?e等人[9]首创了均匀化方法，通过优化微孔的大小和方向来宏观上获得最佳密度分布；Suzuki等人[10]将其扩展到形状与拓扑优化领域，为机翼肋条和加强板设计提供了概念模型。此后，由于计算效率高且易于与有限元方法结合，基于密度的方法成为了主流。Maute等人[11]基于机翼气动弹性约束进行了结构概念优化。James[12]构建了机翼气动-结构协同优化框架，Wang等人[13]也提出了基于空气动力驱动的柔性机翼优化策略。Bombardieri等人[14]研究了一种结合CFD与有限元方法的高精度气动-结构耦合优化方法，解决了考虑双重非线性效应下大型柔性机翼的最佳形状设计问题。尽管拓扑优化在机翼结构设计方面取得了显著进展，但当应用于细长机翼的内部构件，如柔性机翼肋条或薄壁机翼盒时，结构有限变形引起的几何非线性效应给优化过程带来了前所未有的挑战。关于非线性特征评估的准确性，Patil等人[15]指出，大挠度变形会实时改变机翼的空气动力形状和局部攻角，使得载荷呈现强烈的动态特性[16]，从而导致传统线性气动弹性理论失效。为了真实反映极端条件下的结构响应，Hoang[17]强调，必须依靠高精度的非线性求解器来确保结构大变形计算的绝对精确性[18]。然而，将强非线性行为纳入优化框架会导致严重的数值问题。Chen等人[19]研究表明，结构非线性响应的灵敏度分析涉及大量高度非线性的伴随方程的推导[20]，这需要极高的计算成本。在拓扑演化过程中，Buhl等人[21]还指出，在非线性大载荷作用下，低密度区域容易出现严重的网格畸变甚至单元翻转，从而导致有限元解中出现非物理性的数值发散。Bruns等人[22]深入探讨了这一固有的数值困境。由大结构变形引起的病态刚度矩阵会极大降低算法的数值稳定性，容易导致迭代振荡。为解决上述问题，Yoon等人[23]提出了一种基于弹性连接的单元连接参数化方法，解决了非线性大变形拓扑优化中低密度元素导致的刚度矩阵数值不稳定问题。Jansen等人[24]提出了一种基于二阶伴随微分的高效且稳健的拓扑优化方法，解决了在大变形非线性条件下，细长结构对随机几何缺陷的稳定性下降问题。因此，如何在考虑结构几何非线性的同时，有效克服网格畸变并保持柔性内部构件拓扑演化过程中的算法稳健性，已成为一个核心瓶颈。为有效解决由强几何非线性引起的网格畸变、高计算成本以及灵敏度分析问题，将非均匀有理B样条与空气动力面板方法深度集成，已成为细长机翼拓扑优化的关键途径。Samareh[25]指出，NURBS凭借其高精度与全局连续性，实现了空气动力表面与结构参数的高度统一，为摆脱流体网格依赖奠定了基础。作为势流的高效空气动力载荷评估工具，面板方法仅需对表面进行离散化，且具有极高的计算效率，非常适合在初步结构设计阶段用于空气动力载荷估算。Bazilevs等人[26]将NURBS等几何分析方法与面板方法相结合，完全隔绝了流体域与固体域之间的网格依赖关系，消除了大挠度变形下流体网格畸变的风险。Dababneh[27]证实，这种组合方式能够以极低的计算成本实时响应柔性机翼的非线性变形，并高精度地获取后续的空气动力载荷。近年来，这一框架在解决灵敏度推导问题及提升稳健性方面取得了显著进展。Martín等人[28]将NURBS演化方法与非稳态表面面板方法相结合，构建了一个降阶框架，大大简化了非线性系统伴随方程的推导过程，显著提高了灵敏度分析的效率。然而，仅仅在机翼外形表面上引入NURBS与空气动力面板方法，仍无法消除结构内部拓扑演化过程中的网格依赖性与数值限制。基于传统有限元方法的拓扑优化在处理大变形问题时，仍受制于几何模型与分析模型分离这一根本矛盾，这容易导致网格畸变与精度损失。为打破这一局限，Hughes等人[29]提出了等几何分析方法（IGA），该方法直接使用CAD系统中的NURBS基函数作为求解偏微分方程的形函数，实现了几何建模与结构分析的数学统一。随后，Seo等人[30]首次将IGA应用于连续体的拓扑演化，证明了该方法能够生成绝对平滑的边界，避免出现棋盘格现象。Gao等人[31]证实，IGA在提升优化数值精度及消除网格依赖性方面具有显著优势。尽管IGA表现良好，但在面对极端大变形与复杂拓扑重构时，固定参数空间中的控制点仍会限制材料演化的自由度。为此，最新研究提出了等几何粒子流方法，该方法将等几何框架与无网格粒子方法深度整合[32]。后来，Li等人[33]提出了一种结合物质点方法的混合拉格朗日-欧拉拓扑优化方法，解决了复杂结构多分辨率设计中高计算成本与人为棋盘格现象的问题。Lin等人[34]进一步发展了粒子流拓扑优化方法（PFTO），该方法结合了拉格朗日-欧拉描述与等几何物质点方法（I-MPM），以物理位置与材料消耗作为设计变量。这种方法能够从根本上解决极端非线性变形下因网格畸变导致的解发散问题。此外，Yin等人[35]指出，将粒子流驱动的高阶参数化融入等几何框架，可显著加速大规模多尺度结构的优化计算速度。尽管等几何分析方法与基于粒子的方法在提升数值计算稳健性方面取得了显著进展，但在空气动力载荷作用下的最优结构配置设计仍是一个活跃的研究领域[[36], [37], [38]]。为直观展示该领域的研究进展及方法分类，图1系统梳理了现有机翼拓扑优化研究中的各类重点方向。首先，图1(a)汇总了早期专注于静态顺应机构设计的研究成果。在这一阶段，Santer等人[39]开发了一种用于自适应、顺应型飞机机翼前缘的拓扑优化框架，强调了顺应机构的集成设计。随后，Zhang等人[40]与Kou等人[41]则致力于基于顺应机构的变形机翼的设计、数值分析及实验验证工作；不过，这些研究主要关注几何运动学特性，而非多学科层面的承载行为。为进一步考虑结构非线性问题，一些研究者将大变形效应纳入分析之中，如图1(b)所示。Walker等人[42]在开展机翼拓扑优化时明确考虑了结构非线性因素；与此同时，Wang等人[43]提出了一种利用移动质量来控制变形机翼变形的方法。Xie等人[44]对经历大变形的高展弦比机翼进行了气动弹性优化设计，而Liu等人[45]则研究了变形机翼用波纹状、顺应型复合蒙皮的变形与失效行为。此外，Bhattacharyya等人[46]利用拓扑优化设计了一种双稳态机翼，该机翼在大幅结构变形下能展现出定制化的突然屈曲响应。类似地，Kambayashi等人[47]采用基于水平集方法的新型非线性拓扑优化方法，解决了大变形分析中因虚拟弱材料而产生的数值不稳定问题，进而成功设计并数值验证了一种高变形自适应襟翼的内部机制。相反，另一类研究虽然考虑了与气流环境相关的因素，但仍依赖于小变形假设，如图1(c)所示。Dong等人[48]对承受空气动力压力的多层复合材料飞机机翼前缘结构进行了结构拓扑优化。此外，Jensen等人[49]、Oktay等人[50]以及Kambampati等人[51]则运用先进的数值方法，在真实的空气动力载荷作用下对大型机翼盒和机身结构进行了优化设计。与此同时，Kambayashi等人[52]进一步研究了变形结构与内部弹性机制的同步多目标灵敏度驱动优化设计。这些研究极大推动了航空结构多学科优化领域的发展。本研究提出了一种针对在给定空气动力载荷和大变形条件下工作的柔性机翼内部结构布局的拓扑优化框架。在空气动力方面，该方法采用基于NURBS的面板法进行空气动力估算。通过单向的空气动力-结构载荷传递，该方法能够在保持高计算效率的同时，为结构提供精确的空气动力载荷边界条件。在结构方面，该框架充分考虑了几何非线性效应，从而能够准确描述大变形情况下内部载荷传递路径的变化。本文的其余部分安排如下：第2节首先介绍多组件14肋机翼结构的参数化NURBS建模，为后续分析奠定几何基础；接着阐述等几何解模型，开发出一种高效的基于NURBS基函数的势流空气动力面板法用于表面压力计算；同时解释I-MPM方法的拉格朗日-欧拉公式及几何非线性分析理论，以避免数值发散问题。第3节描述了工程拓扑优化问题，建立了从双向网格到粒子的映射关系，并严格推导了在固定空气动力输入条件下的结构几何非线性灵敏度。第4节介绍了优化算法的具体数值实现步骤。第5节通过一系列数值算例验证了非线性力学求解器的有效性，展示了在单向映射空气动力作用下机翼内部肋骨结构的拓扑演变过程。最后，第6节总结了本文的核心贡献与研究成果。

等几何表面源模型
为解决航空环境作用下机翼内部结构的拓扑优化问题，本文构建了一个系统的等几何计算与数值设计框架。整个数值实现过程如图2所示，主要分为三个逐步进行的计算模块：首先是基于NURBS的模型构建模块，其次是等几何源面板法模块，最后是非线性求解模块。

弹性机翼的耦合设计
本章提出了一种用于设计具有非线性几何形状的弹性结构及其空气动力结构的耦合拓扑优化框架。该模型通过建立从设计变量粒子到几何控制点，再到数值积分点的闭环映射机制，实现了设计域内物质的自发演化与拓扑重构。在初始化阶段，设计域内的物质由……表示。

数值实现
所提出的弹性机翼耦合设计方法的核心在于建立拉格朗日粒子与欧拉网格之间的高效动态交互系统，以此应对柔性机翼在空气动力载荷作用下的大变形问题。随后，通过经典的MMA方法求解优化问题，并通过设计变量的迭代演化不断优化结构性能。

数值算例
本节通过数值算例验证了所提出的考虑结构几何非线性的机翼结构空气动力拓扑优化方法的有效性。内容主要分为两部分：第一部分侧重于验证几何非线性有限元分析的准确性，通过对比分析确保在大变形情况下结构响应计算的可靠性；第二部分则应用该……

结论
为应对在给定空气动力载荷和大变形条件下柔性机翼的航空结构设计难题，本文提出了一种基于粒子的新型等几何拓扑优化框架。该框架通过等几何映射机制实现了几何建模与航空结构分析的统一表示，从而确保了空气动力载荷与非线性灵敏度信息在各个环节之间的连续传递。

作者贡献说明
朱嘉怡：原文撰写、验证、方法论、研究分析、正式分析、数据整理、概念构思。张晓：资源协调、正式分析、数据整理。高亮：监督指导、项目管理、方法论、资金获取。高杰：文章审阅与编辑、监督指导、方法论、研究分析、资金获取、正式分析、概念构思。