一种基于加权经验似然比的正态性检验方法

《Journal of Applied Statistics》：A weighted empirical likelihood ratio test for normality

　　

研究提出了一种基于矩约束的加权经验似然比（empirical likelihood ratio, ELR）正态性检验，旨在在对称短尾备择分布下实现较高检验功效。为实现这一目标，研究利用了正态分布的表征性质，该表征结合了对称性、渐近尾部特征以及经验法则（empirical rule）的思想，并通过基于观测加权的经验似然比提高对对称偏离的敏感性，同时保持稳健性。所得检验统计量能够较好控制I类错误率（Type I error rate），并且证明了总体检验统计量具有加权χ²极限分布。此外，加权ELR检验统计量在广泛固定备择下的发散性，为该检验的一致性提供了理论基础。蒙特卡罗（Monte Carlo, MC）模拟表明，在对称短尾备择下，所提出的检验程序优于所考察的传统检验。若干经验研究的结果进一步揭示了所提检验统计量在实践中的优越性、稳健性与适用性。

该文发表于《Journal of Applied Statistics》，研究主题是构建一种对对称短尾备择更敏感的正态性拟合优度检验。研究背景在于，经验似然（empirical likelihood, EL）方法兼具似然推断的灵活性与非参数方法对分布假设要求较弱的优势，已被广泛用于各类统计推断与拟合优度检验。围绕正态性检验，已有多种基于经验似然比（empirical likelihood ratio, ELR）的方法，且通常具有χ²极限分布、I类错误率控制较好、易于实现等优点。然而，既有基于矩的检验，包括经典矩检验与部分ELR型检验，在对称短尾分布下普遍存在功效不足的问题。尤其是对于偏度与峰度变化不显著、但整体分布形状已偏离正态的情形，传统方法往往缺乏足够识别能力。正因如此，研究人员有必要针对特定而重要的备择类型，开发在中心区域偏离检测上更高效的检验程序。

本文围绕这一问题，提出了加权经验似然比（weighted empirical likelihood ratio, WELR）正态性检验。研究人员从正态分布的若干关键特征出发，包括分布对称性、尾部渐近行为以及经验法则所体现的“多数观测集中于中心区域”这一结构信息，在经验似然框架中引入观测权重，使中心位置的有序标准化观测获得更大贡献。研究以Shan等人提出的ELR检验为基础，沿用其标准化与矩约束思路，但通过加权机制增强对对称短尾偏离的识别能力。理论上，研究建立了所提统计量在原假设下的渐近分布性质，证明其在固定备择下的一致性，并通过仿真验证其I类错误率控制能力；实证上，则通过大规模MC模拟与真实数据分析说明其功效优势、稳健性与实际应用价值。总体结论表明：WELR检验在对称短尾备择下优于所比较的传统检验及若干已有ELR类检验，并且在偏态数据与近似正态数据上也表现出良好的适用性，不会系统性破坏检验的可靠性。

在方法层面，研究主要采用以下关键技术。其一，对样本观测进行标准化，并采用Lin和Mudholkar的jackknife变换，使原假设下标准化变量服从自由度ν=n?2的t分布；其二，选取k∈{3,4,5,7}的矩约束构造经验似然比统计量，其中μ₃=μ₅=μ₇=0，μ₄由t分布矩给出；其三，依据经验法则按有序统计量位置赋予权重，对中心区间赋权2、两端尾部赋权1，并通过MC模拟在τ=0.125时获得较优权重划分；其四，利用拉格朗日乘子法求解加权经验似然，并以最大单矩约束似然比构造总体WELR统计量。仿真部分使用R软件完成，临界值与功效评估分别基于10万次或5000至10000次重复抽样；真实数据分析涉及baby boom数据、Supervisor Rating数据、Hooker数据及Snowfall数据。

2. The weighted empirical likelihood ratio based test development
在检验构造部分，研究首先考虑来自未知连续分布的独立同分布样本X₁,X₂,…,X_n，目标是检验复合原假设H₀：存在μ,σ²使得X_i～N(μ,σ²)，对立假设为样本不服从任意参数下的正态分布。研究人员在H₀下对样本进行标准化，并采用Shan等人使用的jackknife变换。由此得到的标准化变量Z₁,…,Z_n在H₀下服从自由度ν=n?2的t分布。由于t分布高阶矩有明确形式，研究据此给出k阶原点矩，并沿用已有研究中表现较优的矩约束集合k∈{3,4,5,7}。随后，研究将标准化观测排序为Z₍₁₎≤Z₍₂₎≤?≤Z_(n)，依据经验法则定义权重：尾部观测权重为1，中部观测权重为2，其中t=?τn?。该设计的核心思想是，对称非正态分布往往在中心部分比尾部更能体现偏离信息，因此通过提升中心观测的贡献可增强检验功效。当w_i≡1时，该方法退化为经典EL统计量。基于这些设定，研究构造加权经验似然函数，并在概率和为1及矩约束成立的条件下进行极大化，利用拉格朗日乘子法求得最优p_i，再定义每个矩约束下的似然比统计量(?2LLR)_k，最后以WELR=max_{k∈{3,4,5,7}}(?2LLR)_k作为总体检验统计量。为提高在(0,1)上对称短尾分布下的功效，研究还通过广泛MC实验比较不同τ取值，结果显示τ=0.125时功效最佳。

3. Properties of the proposed testing procedure
这一部分系统考察了所提检验的三项核心性质：原假设下渐近行为、备择下的一致性以及I类错误率控制能力。研究设计兼顾理论证明与数值验证，使WELR不仅具有方法创新性，也具备统计推断的严格基础。

3.1. Asymptotic behavior under H₀
在原假设下，研究首先讨论未加权特例w_i=1，此时统计量退化为已有ELR正态性检验，并可依据Wilks定理（Wilks’ theorem）得到单个矩约束统计量(?2LLR)_k在大样本下服从自由度为1的χ²分布。随后，研究推广至加权情形。定理3.1指出，在权重满足有界且远离0的常规条件下，对任意固定k∈{3,4,5,7}，经过适当缩放的加权经验似然比统计量渐近服从标准χ²₁分布。因此，未经缩放的单个统计量具有尺度化χ²极限分布。由于总体统计量定义为多个相关矩约束统计量的最大值，WELR最终收敛于加权χ²型极限分布，其形式可表示为max_k∈GZ_k²，其中向量(Z₃,Z₄,Z₅,Z₇)^?服从协方差矩阵为Σ的渐近正态分布。该结果说明，引入观测权重后，经验似然方法的核心渐近性质仍然得以保留。

3.2. Stochastic behavior under H₁ -- consistency of the WELR test
在一致性方面，定理3.2证明：若真实分布F具有至14阶有限矩，且在k∈{3,4,5,7}中至少有一个矩与正态分布对应矩不同，则在权重满足常规正则条件时，WELR检验是一致的，即当样本量n→∞时，拒绝原假设的概率趋于1。研究同时进行了MC模拟，以样本量10至1000考察固定备择下的功效演化。备择分布覆盖四类共16种情形，包括定义于(0,1)和(?∞,∞)上的对称短尾分布，以及定义于(0,∞)和(?∞,∞)上的偏态分布。结果表明，随着样本量增大，所提统计量在所有固定备择下的拒绝概率均上升并趋近于1，图示结果为理论一致性提供了直接数值支持。尤其是研究所关注的8种对称短尾备择，均显示出良好的功效增长趋势。

3.3. Type I error rate control
在I类错误率控制方面，研究考察了n=30、50、80、100等实践中常见样本量，并在α=0.01、0.05、0.10三个显著性水平下，通过10万次重复模拟建立尺寸校正临界值，再以标准正态及若干位置尺度变换后的正态分布样本评估经验拒绝率。结果表明，各情形下WELR的经验I类错误率均接近名义显著性水平，且95%置信区间表现合理。这说明该检验在有限样本模拟中能够保持良好的尺寸控制，不会因中心加权而明显夸大错误拒绝概率，为后续功效比较与真实数据应用提供了可靠前提。

4. Monte Carlo power simulation study
功效比较是全文最核心的实证结果之一。研究采用R统计软件，将所提WELR与12种竞争性正态性检验进行比较，涵盖经验分布函数（empirical distribution function, EDF）类检验、经典回归相关检验、传统综合矩检验以及近期提出的ELR型检验。备择分布专门聚焦于研究目标最明确的两类：定义在(0,1)上的对称短尾分布，以及定义在(?∞,∞)上的对称短尾分布。前者包括U(0,1)、中心众数三角分布、不同参数的Beta分布、不同参数的logit-normal分布和截断正态分布；后者包括若干区间上的均匀分布、三角分布以及不同中心位置的截断正态分布。研究在n=30、50、80、100下分别生成5000个样本，并基于尺寸校正临界值估计功效。结果显示，在(0,1)上的对称短尾备择下，WELR几乎一致优于所有竞争方法，明显超过包括SEELR在内的已有ELR型检验。经典JB、b₁、RJB和DP等矩检验表现最弱，而WELR、HNELR、DB和PIELR属于表现最优的一组。在(?∞,∞)上的对称短尾备择下，WELR同样保持主导优势。平均功效排序进一步表明，在所考察的对称短尾分布集合中，WELR可视为总体上最有力的检验程序。

5. Real data applications
真实数据分析部分通过三项经验研究检验WELR的实际适用性、稳健性与判别能力。第一项研究使用Brisbane一家医院24小时内44名新生儿的出生间隔数据。由于原始出生间隔通常接近指数分布，研究首先施加逆指数变换，使数据近似服从均匀分布，并用均匀性检验确认变换后数据与U(0,1)一致。随后采用bootstrap式重抽样程序，多次随机删除部分观测，考察余下样本上的检验功效。结果表明，WELR在这一近似均匀、即典型对称短尾(0,1)数据结构下优于所有比较检验，支持其在目标备择下的实用优势。

第二项研究选取Supervisor Rating数据和Hooker数据，这两组数据均表现出左偏特征，图形分析与SW、CVM、AD、DB等检验均表明其偏离正态分布。研究进一步对每组数据进行重抽样，随机剔除一个观测并重复10000次，考察WELR的拒绝表现。结果显示，WELR对Supervisor Rating数据和Hooker数据均拒绝H₀，对应功效分别为0.9336和1.0000。该结果表明，虽然WELR是为对称短尾备择而设计，但在偏态非正态数据上仍具有良好的识别能力，体现出一定的稳健性与适用广度。

第三项研究采用已知与正态分布相符的Snowfall数据，共63个年度降雪量观测。直方图与Q-Q图均显示该数据与正态分布吻合，且SW、CVM、AD、DB检验均未拒绝原假设。研究对其进行bootstrap重抽样，随机删除3个观测并重复10000次，WELR同样未拒绝正态性原假设。这一结果说明，WELR不仅能在非正态情形下保持检出能力，也不会在近似正态数据上表现出过度拒绝，从而进一步支持其检验可靠性。

讨论部分表明，本文的主要贡献在于将观测加权机制引入基于矩约束的经验似然正态性检验，通过强化中心区域信息的利用，改善了既有ELR方法在对称短尾备择下功效不足的缺陷。研究从理论上证明了统计量在原假设下的极限分布与在固定备择下的一致性，并通过模拟和真实数据分析反复验证了其尺寸稳定性、功效优势及实践可行性。论文同时指出，尽管加权观测策略取得了良好结果，但不存在对所有分布情形都一致最优的单一检验，因此未来仍可继续从矩加权、正态分布新表征以及EL方法扩展等方向推进研究，以期构建在更广泛对称分布下都具高功效的正态性检验。

研究结论部分可译为：通过利用加权经验似然（weighted empirical likelihood, WEL）方法，并结合正态分布的关键表征特征——包括对称性、尾部行为以及经验法则——本研究提出了一种简单而有力的正态性检验。该检验旨在在对称短尾备择下获得较高功效。通过引入基于观测的加权似然比，所提出的统计量提高了对正态性对称偏离的敏感性，从而在此类情形下优先保证检验功效。与其他基于ELR的正态性检验类似，所提WELR统计量能够较好控制I类错误率。研究还证明了Wilks定理对该WELR统计量成立。因此，在原假设下，对于所提WELR统计量中的每一个(?2LLR)_k，其极限渐近分布均为标准χ²分布。由此，未经缩放的(?2LLR)_k具有尺度化χ²₁极限分布，而总体统计量WELR收敛于加权χ²分布。此外，WELR统计量在广泛固定备择下的发散性，为所提检验一致性奠定了理论基础。真实数据上的应用进一步揭示了该检验程序在实践中的优越性、适用性与稳健性。未来研究可进一步严格考察现有ELR正态性检验在H₀下的渐近性质及其在特定H₁下的一致性，也可探索矩加权技术，以在拟合优度检验中进一步提升基于矩的ELR统计量在某些备择下的功效。