一种基于节点的自支撑拓扑优化方法，通过组合近似重分析实现加速

《Engineering Analysis with Boundary Elements》：A node-based self-supporting topology optimization method accelerated by combined approximation reanalysis

　　

郭道真|王海华|王虎

中国湖南省长沙市湖南大学车辆先进设计制造国家重点实验室，邮编410082

摘要

拓扑优化与增材制造相结合，可有效设计出轻质且高性能的结构。然而，在增材制造中加入悬垂约束往往会大幅增加计算成本。为解决这一问题，本文提出了一种基于节点的自支撑拓扑优化框架，并通过组合近似重分析技术加速计算过程。该框架包含三项创新要点：首先，将基于节点的平滑有限元方法引入拓扑优化中，以节点作为设计变量可减少对网格的依赖，同时便于确定几何支撑的精确空间坐标；其次，针对非结构化网格开发了一种改进的基于节点的增材制造过滤器，该过滤器采用自适应空间分箱策略，能够快速将搜索维度与实际的增材制造参数关联起来，从而快速识别支撑结构；最后，为应对增材制造过滤器带来的强非线性问题，严格限制了优化器的步长，而通过结合组合近似重分析技术，可在不牺牲精度的前提下显著提升计算速度。总体而言，这些策略提升了结构设计过程的适用性及计算效率。通过多种数值算例及实际增材制造测试，充分证明了该框架的可靠性与工程应用价值。

引言

拓扑优化旨在在预定的设计范围内找到最有效的材料布局，它已成为一种用于设计具有优异机械性能且重量极轻的结构的强大工具。拓扑优化源于均匀化方法，经过不断发展，现已形成多种技术，被广泛应用于多个领域。尽管取得了巨大成功，但依然存在一个重大挑战：由于拓扑优化的设计自由度较高，往往会产生结构上最优但几何形状极为复杂的结构，而这些结构很难或根本无法通过传统方法制造。

增材制造为解决这一难题提供了有效方案。增材制造采用逐层沉积的原理，具有极高的设计自由度，且几何约束相对较少。其独特的加工能力使其非常适合制造由拓扑优化得到的复杂几何结构，因此有许多研究致力于探索两者之间的协同作用，包括畸变补偿、晶格结构设计、热残余应力控制以及最佳构建方向等。不过，增材制造工艺也存在一些固有限制，其中一个关键问题是在熔融或半熔融状态下的沉积过程中，需要临时支撑结构来防止悬垂部分的几何结构坍塌。虽然添加临时支撑是一种常见的解决方法，但它会导致材料消耗增加、建造时间延长、后处理工作繁琐，进而提高整体成本。

因此，将悬垂角度约束直接纳入优化过程，以实现自支撑结构，是非常理想的。实验表明，对于大多数增材制造材料而言，可行的最大悬垂角度为40-50度。为此，人们提出了多种将这一约束纳入拓扑优化的方法，包括水平集法、支撑体积最小化法、显式几何控制法以及RAMP法等。其中，Langelaar提出的空间增材制造过滤器因其仅基于元素相对位置的特点而具有较高的实用性，但它存在两个主要缺陷：其一，由于依赖结构化网格，其所能实现的悬垂角度仅为45度；其二，设计变量之间存在较强的耦合关系，为确保收敛往往需要极其小的密度更新幅度，这严重降低了计算效率。

为克服传统基于元素的拓扑优化方法在几何处理和网格依赖方面的缺陷，基于平滑技术的评估方法以及与边界相关的数值方法受到了广泛关注。平滑有限元方法最初是为了提高标准有限元的积分精度而开发的，它通过在不同的离散子域上应用梯度平滑技术，来解决元素畸变和体积锁定等问题。这一坚实的理论基础后来发展出了多种高效的应用形式，在结构拓扑优化领域展现出出色的性能。例如，基于边缘的平滑公式可以有效抑制棋盘效应等数值不稳定现象，而最近的进展则进一步拓展了平滑有限元方法的应用范围，使其能够用于处理复杂的非线性材料行为，如基于三维塑性的拓扑优化。与此同时，与边界相关的方法也得到了不断发展，用以进一步降低空间离散化的难度。比如，边界元素方法可以与水平集框架相结合，用于解决弹性动力学问题，而通过泰勒展开策略，则可提升该方法在宽频段拓扑优化中的应用效果。除了边界元素方法之外，缩放边界有限元方法也在结构拓扑优化中得到了广泛应用，它能够实现对二维和三维动态响应的自适应评估，还能通过基于自适应八叉树等算法实现几何边界的平滑处理。

在所有这些先进的数值方法中，基于节点的平滑有限元方法作为平滑有限元方法的一个分支，为本文的研究提供了非常理想的数学基础。该方法通过在基于节点的域上应用梯度平滑技术，使得其在非结构化的单纯形网格（三角形或四面体）上具有很高的适应性。尤为重要的是，由于系统方程是在节点处构建的，这些节点可直接作为拓扑优化中的设计变量。这种基于节点的方法能够显著减少设计变量的总数（因为单纯形网格中的节点数量远少于元素数量），从而简化设计空间，便于在任意非结构化网格上对支撑关系进行精确的几何分析。

尽管具有这样的几何灵活性，但空间增材制造过滤器会增强设计变量之间的层间耦合，这就迫使优化器的移动步长大幅减小，进而增加迭代次数和计算成本。为解决这一问题，组合近似重分析方法显得十分合适。该方法通过将刚度矩阵投影到降维子空间中，显著降低了计算复杂度。这一强大的策略为后续的拓扑优化框架中的各种高级重分析技术奠定了基础，包括通用近似算法、用于热传导问题的多网格辅助方法、用于动态响应的在线更新技术，以及用于大规模结构的自适应投影降维技术等。由于自支撑增材制造过滤器严格限制了每次迭代中的密度更新幅度，因此全局刚度矩阵的变动也非常小。这一特性使得组合近似方法能够在保持极高精度的同时实现高效计算，从而有效应对由悬垂约束带来的巨大计算负担。

为系统地解决上述问题，本文提出了一种统一的NSTO框架，主要包括三项创新内容。首先，该框架将基于节点的平滑有限元方法融入拓扑优化中，以节点伪密度作为设计变量，这不仅减少了设计变量的数量，降低了网格依赖性，还便于确定节点坐标，从而实现对支撑关系的精确几何分析。其次，为非结构化单纯形网格开发了一种改进的基于节点的增材制造过滤器，该过滤器采用自适应空间分箱策略来快速识别支撑节点，分箱大小根据层厚和悬垂角度来确定，这使得搜索效率远高于穷举搜索。第三，将组合近似重分析方法嵌入优化流程中。由于增材制造过滤器限制了优化器的移动步长，MMA优化器在每次迭代中的刚度矩阵变化都非常小，这使得组合近似方法能够在较低的计算成本下获得高精度的结果。

本文的其余部分结构如下：第2节介绍数学模型，第3节给出数值算例，第4节总结研究成果。

章节节选

数学模型

本节详细介绍了所提出的基于节点的自支撑拓扑优化框架的数学模型及算法实现方式。该框架采用逐步构建的方式，形成一个统一且高效的优化模型。首先，2.1节介绍了基于节点的平滑有限元方法这一基础结构分析框架，该方法以节点伪密度作为设计变量，以此来确保

算例分析

为全面评估所提出的NSTO框架的性能与效率，本节给出了多组数值算例。首先，3.1节将NSTO方法的基准性能与传统的基于元素的拓扑优化方法进行了对比，随后分析了基于节点的增材制造过滤器在二维和三维自支撑结构设计中的实际应用可行性。最后，3.2节系统研究了组合近似重分析参数对优化结果的影响

结论

本文成功建立了一种高效、可靠且高度整合的基于节点的平滑有限元方法拓扑优化框架。通过将基于节点的设计变量、自适应空间分箱策略以及组合近似重分析方法有机结合，该框架有效地弥合了高性能结构设计与增材制造实际限制之间的差距。通过合理定义设计变量

CRediT作者贡献说明

郭道真：撰写——审阅与编辑、可视化、验证、软件、资源、方法论、研究、形式分析、概念构思。王海华：撰写——审阅与编辑、可视化、验证、形式分析。王虎：监督、资源协调、项目管理、资金筹集。