从单晶到多晶：基于有限应变多相HFGMC微观力学方法

《International Journal of Solids and Structures》：From single crystals to polycrystals via the finite strain multi-phase HFGMC micromechanics

　　雅各布·阿布迪

摘要：目前，有限应变广义单元法（HFGMC）微观力学分析方法已被扩展并应用于通过了解随机取向的粘塑性单晶集合体的行为来预测多晶体的响应。为此，需要采用两种尺度分析方法，即局部（晶体学）分析和全局（宏观）分析。在局部分析中，需确定每个单晶集合体的第一切线张量；而在全局分析中，则需指定所施加的远场条件及加载类型，随后运用多相HFGMC微观力学分析，将已确定的各第一切线张量作为复合材料的构成要素。这种微观力学分析能够给出多晶颗粒间的瞬时场分布，以及多晶的有效切线张量，从而便于确定其宏观行为。文中给出了以双周期和三周期复合材料为模型的多晶体的应用实例，展示了多晶体的宏观响应、各单晶间的场分布，以及颗粒数量对其的影响。同时探讨了颗粒的初始屈服、滑移系的活动性、颗粒的累积塑性应变，与基于泰勒均匀应变假设的预测结果对比，以及纤维增强多晶体的行为表现。此外还介绍了双周期多晶体在受载过程中旋转角度的变化，以及三周期多晶体中的累积旋转角和净旋转角。

引言：多晶体是由随机取向的单晶集合体构成的。泰勒在1938年提出了基于均匀应变假设的多晶体首个本构关系。此后，希尔在1965年引入了自洽模型，该模型将每个颗粒视为未知有效介质中的夹杂物，通过设定该介质的参数，使得颗粒的平均响应能够再现多晶体的宏观行为。基于此方法的大量研究已见发表，关于其在多晶体应用及进一步扩展方面的最新综述可参考托梅和莱本索恩2020年的文章。泰勒模型与自洽模型都属于平均场方法，而有限应变快速傅里叶变换则可用于确定晶体塑性的完整场分布，相关研究可见艾森洛尔等人2013年的文章以及贝尔贝尼等人2025年的文章。在晶体塑性分析中应用有限元方法的相关研究，可参考拉贝等人2001年的文章以及罗特斯等人2010a年的文章。关于晶体塑性及其实现方法的综述文章，可查阅阿萨罗1983年的文章、阿萨罗与尼德尔曼的文章、罗特斯等人2010b年的文章，以及卢卡达基斯和帕帕埃夫西米乌布2024年的文章。在小应变广义单元法（GMC）微观力学分析框架下，莫加达姆等人于2015年和2016年对晶体塑性进行了建模。本文则采用了有限应变多相HFGMC微观力学分析方法，通过分析随机取向单晶集合体的本构行为来预测多晶体的响应。在这种微观力学方法中，多晶体被视为一种复合材料，被假定为具有周期性特征，即可以识别出重复的单元胞。该单元胞被细分为多个子单元，在每个子单元中，位移矢量的变化率会被展开为二阶勒让德多项式。这一展开式包含了所施加的远场变化率，以及一些未知系数，这些系数被称为微变量变化率。这些微变量是通过在每个子单元内以平均意义上施加平衡方程，并要求相邻子单元之间的位移变化率和牵引力保持连续性来确定的。最后，还需在相邻的重复单元胞之间施加周期性条件。HFGMC分析能够确定瞬时浓度张量，这些张量将子单元的变形梯度变化率与远场变形梯度变化率联系起来。随后，这些张量被用来推导出瞬时刚度张量，进而建立当前宏观应力张量变化率与远场变形之间的关系。该方法的详细内容见附录。有限应变HFGMC微观力学方法已被用于预测经历大变形的弹性、粘弹性、弹塑性及粘塑性复合材料的性能，相关内容可见阿布迪等人2013a年第8章。其近期应用包括复合材料的微屈曲现象（稳定性丧失，参见阿布迪和吉拉特2023年、2004年的文章以及阿布迪等人2024年的文章）、由于局域化导致的周期性丧失现象（佩尔奇科夫和阿布迪2020年的文章）、复合材料的损伤与失效现象（布雷曼等人2022年的文章）、损伤演化现象（N.佩尔奇科夫等人2023年、2025年的文章以及佩尔奇科夫等人2026年的文章），还有生物组织的微观分析（布雷曼等人2020年的文章）。关于预测结果的准确性，文中专门设置了相关讨论部分。本文中针对多晶体的HFGMC微观力学分析方法是基于全局与局部两尺度分析的。在全局或宏观尺度上，需指定加载速率及其类型，同时随机确定集合体中各单晶的取向。之后进行局部分析，将所施加的变形梯度变化率及取向信息通过坐标变换转换为每个单晶的晶体学尺度。在这一局部尺度上，结合单晶的本构关系，可确定每个单晶的第一切线张量，随后再通过张量变换将这些张量转换回全局尺度。在全局尺度上，利用已确定的切线张量数量作为复合材料的构成要素，运用HFGMC微观力学分析方法，从而根据有效的瞬时刚度张量得到当前的宏观响应。文中给出了双周期（二维）和三周期（三维）多晶体的应用实例，展示了宏观响应、颗粒数量与尺寸的影响、颗粒的初始屈服、滑移系的活动性、累积塑性应变、与泰勒预测结果的对比、预测得到的有效刚度与各向同性程度的接近程度，以及纤维增强多晶体的行为表现。对于双周期多晶体，文中展示了颗粒绕平面法线方向的旋转角度变化情况，包括那些处于稳定取向状态的颗粒角度。在三周期情况下，则分析了颗粒的净旋转角和累积旋转角。本文的结构如下：第2节推导单晶的本构关系，随后讨论有限应变HFGMC分析方法；第4节详细探讨HFGMC预测结果的准确性；第5节阐述全局-局部-全局尺度分析策略；第6节和第7节分别介绍双周期和三周期多晶体的应用案例；最后是结论部分。

章节节选：

单晶的本构方程：单晶是具有明确晶面和晶向的高度各向异性的弹塑性材料。对于面心立方结构的晶体，如铜和银，有12个滑移系作用于4个晶面上。本节给出了粘塑性单晶的控制方程，这些方程将变形梯度张量F表示为弹性部分Fe与塑性部分Fp的乘积，前者代表可逆的旋转和畸变，而后者则代表……

有限应变HFGMC微观力学：在有限应变HFGMC微观力学分析框架下，多相复合材料的微观结构被假设为在空间中呈周期性分布，且可基于全局初始坐标（X1,X2,X3）来描述，见图2(a)。图2(b)显示了周期性复合材料的重复单元胞（RUC），该单元胞是相对于局部初始坐标（Y1,Y2,Y3）定义的。复合材料的平行六面体形RUC被划分为Nα、Nβ和Nγ个子单元，分别位于Y1、Y2和Y3方向上……

有限应变HFGMC微观力学的验证：如前所述，HFGMC是一种二次正交体素型微观力学方法，目前正对其有限应变版本的多种应用场景下的有效性进行验证。在阿布迪和平德拉2004年的研究中，通过将有限应变HFGMC预测的多晶体在大变形下的响应结果与有限元分析及解析解进行比较，对其进行了验证。这些由霍根在1995年建立的解析解，可用于计算多孔复合材料在轴对称加载条件下的响应……

用有限应变HFGMC对多晶体进行微观力学建模：如前所述，多晶体的建模是基于将众多随机取向的单晶组合在一起。目前我们考虑两种情况：第一种情况是将多晶体理想化为X2?X3平面上的双周期复合材料，其中各单晶相围绕X1轴以角度θ随机旋转。参照图2，这种情况下子单元的数量为NβNγ。另一种情况则是一般的三维情形，此时多晶体为……

应用：视为双周期复合材料的多晶体：当采用有限应变HFGMC对晶体材料进行微观力学分析时，可以得到相应的分析结果。每个单晶组分都具有表2中所给出的材料特性，并且具有随机选取的旋转角度θ。在X2方向施加单轴应力载荷时，会在局部尺度上生成相应相R的切线张量Rtan。重复单元胞被设为正方形形状（H = L），并被进一步离散化……

应用：视为三周期复合材料的多晶体：本节中，多晶体是通过三周期HFGMC微观力学方法进行建模的。如图2(a)所示，子单元被设为立方体，这些立方体内部填充着随机取向的单晶，而这些单晶的取向则由三个欧拉角?、θ、ψ来确定。此时的颗粒实际上是由多个立方体子单元构成的立方体结构。显然，这种微观力学分析在计算机运行时间和内存需求方面要求更高。接下来将详细介绍……

结论：如前所述，有限应变HFGMC微观力学方法已被用于预测各类复合材料的响应，包括损伤演化、稳定性丧失、周期性丧失，以及作为多相材料处理的生物组织的响应。本文进一步扩展了这一微观力学方法，使其能够用于预测被视为由随机取向单晶组分构成的复合材料的多晶体的行为。这一扩展……

CRediT作者贡献说明：雅各布·阿布迪：研究工作。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。

致谢：作者感谢拉米·埃利亚西先生在制作本文图表方面所提供的帮助，同时也要感谢拉米·哈吉-阿里教授在多次富有成果的讨论中所给予的帮助。