采用SAFE-PML方法研究嵌入无限多孔弹性介质中的波导中导波的模态特性

《International Journal of Solids and Structures》：Modal properties of guided waves in waveguides embedded in an infinite poroelastic media using SAFE-PML method

　　张鸿燕|王林峰|左鹏|李健|金浩然|刘阳

摘要：在无限多孔弹性介质中传播的弹性波能够提供关于几何形状和物理特性的重要信息，因此成为无损检测、结构健康监测以及地球物理勘探领域的重要研究课题。虽然解析方法可以进行理论分析，但仅适用于简单几何结构。等效方法虽能处理复杂结构，却忽略了孔隙流体与固体骨架之间的相互作用，从而导致丢失多孔弹性介质的重要物理信息。为克服这些难题，本文提出了一种半解析有限元法与完美匹配层技术相结合的方法，用于计算嵌入在无限多孔弹性介质中的流体或固体中的导波传播特性。该SAFE-PML方法被应用于两个典型案例：充满流体的钻孔以及嵌入在无限多孔弹性地层中的钢管。与解析方法和等效方法相比，所提出的方法能够分析嵌入在无限多孔弹性介质中且横截面任意的流体或固体中的导波色散特性，同时不会丢失重要的物理信息。

引言：多孔弹性介质在地球物理勘探和工程建设等领域极为常见，应用场景包括声波测井、埋设管道以及吸音材料等方面（Sharma, 2004; Duan and Kirby, 2019; Liu and Zhang, 2023）。对于嵌入在无限多孔弹性介质中的这类构件的评估与监测具有非常重要的意义。在众多的无损检测技术中，导波法在长距离和大范围检测方面具有显著优势（Benmeddour et al., 2011; Cao et al., 2024）。要有效运用导波法，就需要准确的理论模型来捕捉关键的波传播机制。在嵌入式波导中，存在三种类型的波：困波模式、泄漏模式以及辐射模式（Banerjee and Kundu, 2007; Nguyen et al., 2015）。困波模式的形成需要非常严格的条件，只有当周围介质中的波速超过核心介质中的波速时才会出现。泄漏模式沿轴向传播，同时部分能量会泄漏到周围介质中。辐射模式则主要在周围介质中共振，通常不适用于长距离无损检测。因此，在研究嵌入式波导中的导波传播特性时，泄漏模式是重点研究对象。通过研究泄漏模式，我们可以选择最优模式以提高检测效率。在地球物理勘探中，对嵌入在无限多孔弹性介质中的钻孔中的导波传播进行建模，是评估周围多孔弹性地层性质的重要步骤。早期的研究通过将多孔弹性介质简化为纯弹性固体来简化计算过程（Cheng and Toks?z, 1981）。后来，Biot多孔弹性理论的引入使得对多孔弹性介质中波传播的描述更具物理一致性（Biot, 1956a; Biot, 1956b; Biot, 1962）。Rosenbaum（1974）基于Biot理论研究了嵌入在多孔弹性地层中的钻孔中的波传播现象。Vashishth和Khurana（2005）推导出了各向异性流体饱和多孔材料中圆柱波传播的克里斯托费尔方程，并得到了空钻孔和充满流体的钻孔对应的面波频率方程。Singh和Tomar（2008）推导出了嵌入在无限多孔弹性地层中的圆柱形钻孔中面波传播的频率方程，并研究了钻孔半径和钻孔流体粘度对色散曲线的影响。然而，由于受典型应用场景的限制，相关研究大多在圆柱坐标系下开展。在圆柱坐标系下研究不规则钻孔中的波传播往往需要复杂的解析推导和大量的代码开发。Randall（1991）使用边界积分公式计算了均匀非圆形钻孔中导波的色散曲线。Tadeu和Santos（2001）利用边界有限元方法分析了非圆形充满流体的钻孔中的波场。?im?ek和Sinha（2008）提出了一种扰动模型，用于求解非圆形充满流体的钻孔中弯曲模式的色散特性。不过，这些研究通常仅限于特定几何形状，如椭圆形横截面，缺乏针对任意形状的统一框架。在工程建设领域，大多数研究也将多孔弹性介质简化为纯弹性固体，而关于嵌入式波导的研究则主要集中在浸没在流体中的固体或嵌入在其他固体中的固体上。全局矩阵法和传递矩阵法已被用于建模嵌入式波导，但其应用仅限于板、杆和圆柱管等简单几何形状（Wang and Rokhlin, 2001; Lowe, 1995; Huber, 2023）。由于其能够在处理复杂几何结构方面表现优异，半解析有限元法已被广泛用于导波分析（Mazzotti et al., 2012）。对于不规则的嵌入式波导，结合吸收条件的SAFE方法发挥着重要作用。为分析浸没在无限流体中的固体波导，Fan等人（2008）使用外部吸收区域来模拟周围流体。Jia等人（2011）将SAFE方法与无限单元法相结合，用于研究嵌入在无限介质中的单层或多层空心圆柱体中的波传播现象。Mazzotti等人（2019）提出了一种将SAFE方法与二维半边界元素法相结合的方法，用于计算与其内壁或外壁接触的各向同性和粘弹性薄壁波导的色散特性。近年来，完美匹配层技术也被用于对无限介质进行建模。PML不仅仅是一种阻尼技术，它还通过严格的坐标变换将波动方程的实坐标扩展到复坐标中。与其他吸收条件相比，PML能够在不产生反射的情况下衰减所有类型的波，同时还具有能得到线性特征值问题的优点（Bécache et al., 2003; Morvaridi and Brun, 2016）。Nguyen等人（2015）将SAFE方法与PML相结合（SAFE-PML），用于对具有任意横截面的嵌入式波导进行建模，并强调了PML参数对特征值的影响。Zuo和Fan在2017年，以及Zuo等人在2017年，基于SAFE-PML方法开发了一种数值工具，用于对具有任意横截面的浸没和嵌入式弹性固体波导进行模态分析。Matuszyk（2017）提出了一种结合高阶SAFE-PML技术的方法，可高效求解嵌入在无限介质中的空心圆柱体周围周向传播的泄漏模式的色散曲线。SAFE-PML方法能够有效模拟无限波导中的导波传播，但目前的研究仅限于流体和固体情况。有研究表明，将多孔弹性介质简化为纯弹性固体会导致大量关键信息的丢失（Kim and Lee, 2010; Ridengaoqier et al., 2021）。尽管SAFE-PML方法已被广泛应用于无限流体和固体介质中，但由于存在额外的流体-固体耦合机制，其在多孔弹性介质中的直接应用仍受到限制。多孔弹性介质涉及到固体骨架的位移以及流体与固体之间的相对位移。此外，快纵波、慢纵波和横波都存在频率依赖性，这给SAFE-PML方法的应用带来了挑战。为解决这一限制，本文建立了SAFE-PML框架，用于对无限多孔弹性介质进行建模，并分析嵌入在无限多孔弹性介质中且横截面任意的流体或固体中的波传播特性。在这项工作中，控制方程是在PML拉伸坐标系中直接建立的，从而使PML能够应用于无限多孔弹性介质。基于沿传播方向的谐波假设，推导出了PML拉伸坐标系中的多孔弹性波动方程的SAFE-PML方程，并介绍了使用商业有限元软件求解这些方程的方法。文章通过地球物理勘探和工程建设领域的两个典型案例，即充满流体的钻孔以及嵌入在多孔弹性介质中的钢管，展示了所提方法的实际应用价值。在声波测井中，该方法可用于分析具有任意横截面的钻孔；在嵌入式管道的无损检测中，该方法克服了等效模型的局限性，提供了更详细的理论指导。

问题陈述：如图1(a)所示，我们考虑一个沿x3轴具有恒定横截面的无限长均匀波导Ω1。Ω1可以是固体或流体，它嵌入在无限多孔弹性介质Ω2中。SAFE方法使用谐波eikx3-ωt来描述沿传播方向x3的波形，从而将三维波问题简化为x1、x2平面上的二维问题（Treyssède et al., 2014）。因此，我们只需在SAFE-PML方程的x1和x2方向上引入有限厚度的PML即可。

多孔弹性介质中的波传播：多孔弹性介质中的波传播是在Biot理论框架下描述的，其中总应力张量τij和孔隙流体压力pf的表达式为（Biot, 1956a; Biot, 1956b）：
τij=H-2Geδij+2Geij-αMξ，
pf=-αMe+Mξ。
相关的物理量定义如下：ui表示固体骨架的位移，w表示孔隙流体相对于固体骨架的位移，eij=12?ui?xj+?uj?xi，e=?·u，ξ=-?·w，δij表示克罗内克符号。

参数：M、H、G和α。

SAFE-PML方法的应用：在本节中，我们应用SAFE-PML方法来计算嵌入在无限多孔弹性介质中的流体或固体中的弹性波的色散特性。多孔弹性介质的参数如（Karpfinger et al., 2010）所示。我们展示了钻孔声学和工程建设领域的两个典型案例：充满流体的钻孔以及嵌入在无限多孔弹性介质中的钢管。

讨论：在多孔弹性介质中考虑流体-固体耦合会引入额外的运动变量和应力分量，这大大增加了控制方程的数学复杂性。通过结合SAFE方法处理任意横截面的能力与PML模拟导波衰减的能力，再借助商业有限元软件求解特征值问题，SAFE-PML方法在处理导波问题方面表现出色。

结论：在本研究中，我们提出了一种数值方法，用于模拟嵌入在无限多孔弹性介质中的流体或固体中的导波传播现象。该方法将SAFE方法与PML技术相结合，能够分析嵌入在无限多孔弹性介质中的具有任意横截面的流体和固体中的各种导波模式。所提方法的优点在于，它为PML拉伸坐标系中的多孔弹性波动方程提供了基于商业有限元软件的实施流程。

作者贡献说明：张鸿燕：写作——审阅与编辑，写作——初稿，软件，方法论，研究。王林峰：写作——审阅与编辑，研究。左鹏：写作——审阅与编辑，方法论。李健：监督。金浩然：写作——审阅与编辑。刘阳：写作——审阅与编辑，监督。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。

致谢：本研究部分得到了中国国家自然科学基金项目（合同编号12474459）的支持，部分得到了天津市自然科学基金项目（合同编号25JCJQJC00370）的支持。