将数值流形方法与二阶锥规划相结合用于上界极限分析

《International Journal of Solids and Structures》：Integration of numerical manifold method with second order cone programming for upper bound limit analysis

　　李青|陈深深|张慧华|魏星

摘要：本文提出了一种新的上界极限分析数值框架，该框架将数值流形方法与二阶锥规划相结合。通过其对偶覆盖系统将数学覆盖与物理边界解耦，数值流形方法无需满足网格贴合要求，从而能够高效处理复杂几何形状。速度场是通过在数学贴片上使用权重函数与物理贴片上的局部速度近似值相结合构建的形状函数来离散化的，其中的自由度作为优化变量。塑性耗散功率以这种运动学上可行的速度场形式表示，上界极限分析问题被构建为一种非线性规划问题，同时需满足外部功率归一化约束以及不可压缩性条件，对于平面应力状态和平面应变状态，这些条件的处理方式有所不同。所得到的非光滑优化问题进一步被表示为欧几里得范数之和的最小化问题，进而转化为二阶锥规划问题，最终可通过原始-对偶内点算法求解，直接得到极限载荷乘数及相应的运动学上可行的速度场。通过多种基准算例验证了所提出的上界极限分析方法的优异性能，无论是在平面应力状态还是平面应变状态下，该方法都能有效避免体积锁定现象。

引言：评估结构的承载能力对于工程设计和结构安全而言至关重要。传统的弹性设计方法效率较低，因为其过于保守的假设忽略了材料的塑性行为。相比之下，弹塑性分析能够考虑局部塑性变形，充分利用材料的内在储备强度，并将塑性响应与整体承载能力直接关联起来。然而，常规的增量弹塑性分析依赖于一系列逐步的数值计算来确定极限载荷，这种方法计算成本高，且产生的大量中间数据对确定极限载荷帮助有限。基于上界定理（Drucker等人，1952年）或下界定理（Hill，1950年）的极限分析为确定极限载荷提供了一种直接的替代方法，它避免了繁琐的逐步流程，因此被广泛应用于各种实际工程中（Hua和Milani，2026年；Grillanda和Mallardo，2025年；Poulsen和Olesen，2024年）。尽管效果良好，但对于复杂结构而言，极限分析的解析解已不再可行。这一局限促使人们开发出将有限元方法、边界元方法以及无网格方法与数学规划相结合的数值方法，以构建有效的解决方案框架。具体而言，下界方法通过建立静态上可行的应力场来确定最大载荷乘数，而上界方法则通过定义运动学上可行的速度场来得到最小载荷乘数。不过，也有一些极限分析并未直接运用上述任一定理，其得到的解既不是上界也不是下界，仅仅是极限载荷的近似值。例如，Casciaro和Cascini（1982年）采用了指数惩罚函数法来消除屈服条件，并提出了极限分析的混合公式。为了解决极限分析中的无限维数学规划问题，Christiansen（1981年）提出了混合有限元近似法。在本文重点研究的上界定理框架下，当速度场得到相应近似时，极限分析就变成了一个优化问题。然而，由此产生的目标函数并非处处可微分，而大多数高效的优化算法都需要全局可微性。为了解决这个问题，直接迭代算法提供了一种简单有效的方法。另外，二阶锥规划也为解决不可微性问题提供了有力框架，使得可以使用高效的原-对偶内点求解器。在上界公式中使用低阶近似还会带来另一个问题，即由于不可压缩性条件，这在平面应变问题中常常会导致体积锁定现象（Ho等人，2025a年、2025b年）。因此，如何在克服这些问题的同时提高离散化灵活性，是推动极限分析方法进一步发展的动力。

数值流形方法作为有限元方法的一种推广，最初由Shi提出（Shi，1991年），其特点在于拥有由数学覆盖和物理覆盖组成的对偶覆盖系统。数学覆盖由一组数学贴片构成，只需覆盖问题区域，无需考虑几何边界，这一特性大大减少了网格生成的工作量，从而简化了预处理过程（Ma等人，2009年；An等人，2013年；Ghasemzadeh等人，2014年；Zhang等人，2018年）。每个数学贴片与物理域的交集会形成一个或多个物理贴片，物理覆盖则是由所有物理贴片构成的集合。每个物理贴片相关的自由度可以独立定义，这为描述场的变化提供了更大灵活性。此外，这一独特特性还使得只需提高物理贴片上局部近似函数的阶数，就能提升解的精度，而无需改变原有的覆盖系统（Kamalodini等人，2024年；Liu等人，2020年；Wu等人，2020年；Yang等人，2020年）。正因为具有这些优势，数值流形方法吸引了众多研究者的兴趣，并在多个应用领域取得了显著进展（Liu等人，2018年；Guo等人，2024年；Li等人，2025年；Zhang等人，2018年、2026年）。与此同时，基于能量方法的其他无需网格的极限分析方法也相继出现（Iannuzzo和Montanino，2024年；Montanino和Iannuzzo，2024年）。鉴于这些发展，人们或许会认为数值流形方法早已被应用于结构极限分析。然而，尽管它具有诸多优势，但将其应用于极限分析的研究仍然相对较少。

为填补这一研究空白，本研究首先在数值流形方法框架内建立了一种稳健且实用的上界极限分析方法。数学覆盖与物理边界的独立性使得数值流形方法能够大幅减少复杂几何形状的预处理工作量，无需生成严格符合物理边界的网格。本研究的一个关键创新在于在物理贴片上使用高阶局部近似，这大大提升了自由度，使得速度场的表示更加精确。塑性耗散功率以离散化的速度场形式表示，而外部功率和基本边界条件则作为线性等式约束施加。对于平面应变状态，不可压缩性要求也被作为线性等式约束纳入公式中。从数学上讲，上界极限分析被构建为在这些约束条件下最小化塑性耗散功率的问题，通过引入辅助变量，该问题还可进一步转化为标准的二阶锥规划问题。最终，可通过原始-对偶内点求解器高效求解该优化问题，直接得到上界极限载荷乘数及相应的运动学上可行的速度场。由于采用了高阶近似，所提出的方法能够有效处理平面应力状态和平面应变状态的问题，成功避免了体积锁定现象。通过一系列数值算例证明了所提方法的准确性、稳健性以及无锁定性能，其结果与现有的解析解和数值解高度吻合。

上界定理的数学描述：在塑性分析框架中，极限载荷指的是在假设材料完全塑性的前提下，结构在发生不受限制的塑性流动之前所能承受的最大载荷。准确确定这一临界载荷对于评估工程结构的最终承载能力至关重要。设想有一个占据区域Ω的刚体-完全塑性体，其边界为Γ=Γu∪Γt。在边界Γt上施加的牵引力为λti，其中ti为……

数值流形方法简介：数值流形方法采用由数学覆盖和物理覆盖组成的对偶覆盖系统。数学覆盖由数学贴片构成，只需覆盖问题区域，无需考虑几何复杂性，这大大简化了预处理工作。物理覆盖则是通过数学覆盖与物理域的相互作用而生成的。以下是对离散化过程的简要概述（Liu等人，2018年；Li等人，2025年）。为简化图1(a)所示物理域的建模，本研究采用了……

数值算例：为验证所提方法的准确性和稳健性，本章给出了若干用于上界极限分析的基准算例。所有问题均在平面应力或平面应变条件下，依据冯·米塞斯屈服准则进行研究。这些算例经过精心挑选，既能检验计算精度，又能体现所提方法在处理复杂结构时的简便性。由于数学覆盖不依赖于物理边界，仅需……

结论：本文提出了一种创新的数值框架，将该框架中的数值流形方法与二阶锥规划相结合，用于上界极限分析。基于理论推导和数值算例，主要结论如下：(1) 数值流形方法的对偶覆盖系统实现了数学覆盖与物理域边界的完全解耦，这一特性无需进行符合边界的离散化处理，进而……

CRediT作者贡献声明：李青：撰写——初稿、软件、方法论。陈深深：撰写——审阅与编辑、资金获取、概念构思。张慧华：方法论、概念构思。魏星：方法论、概念构思。

未引用参考文献：Ho等人，2021年；Le等人，2017年；ApS，2023年；Zhang等人，2026年。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文工作的已知财务利益或个人关系。

致谢：衷心感谢国家自然科学基金（12172131、12162014）以及江西省重大学科学术技术带头人培养计划（20225BCJ22010）的财政支持。