具有之字形运动学特性的能量嵌入型神经网络力学模型，用于异质层合复合材料的弯曲变形及振动谱的顺序提取

《Engineering Analysis with Boundary Elements》：Energy-embedded neural network mechanics with zigzag kinematics for bending and sequential extraction of vibration spectra in heterogeneous laminated composites

　　Tram-Ngoc Bui|Duy-Khuong Ly|Tan Nguyen|Thai-Vin Nguyen|T. Nguyen-Thoi

摘要
本研究提出了混合神经-变分框架，将基于能量的物理信息神经网络架构与之字形运动学公式相结合，涵盖了Murakami的几何之字形概念以及一种基于材料的改进版本。尽管强形式物理信息神经网络具有很大潜力，但由于特征值问题、高阶偏微分方程的非唯一性、高阶模式的收敛性问题，以及残差加权的成本高昂和敏感性，它们在实际应用中存在诸多困难。为克服这些障碍，我们提出了一种变分框架，在该框架中，总势能函数负责指导神经网络的训练，而Murakami的几何之字形模型以及改进的基于材料的之字形模型则有助于更好地描述层间剪切行为。通过有效引入瑞利商，可以直接提取基频，同时避免基于残差的特征值求解方法所带来的问题。这种基于能量的设计减少了對高阶残差的依赖，降低了超参数的敏感性，并形成了一个简洁且符合物理规律的损失函数结构。在弯曲问题中，该方法能够重建层状局部应力及层间剪切力，从而便于在不同之字形运动学模型之间进行准确比较，证明了该方法的可行性和高效性。基准测试表明，所提出的方法能够准确捕捉层合板的弯曲响应和振动特征，其结果与高精度数值模型高度一致，为层合异质复合材料的神经变分力学研究提供了有效途径。

引言
数据驱动的机器学习技术越来越多地被应用于计算力学中复杂系统的建模与优化，包括板壳分析[1][2]。通过从大量异构数据集中学习有效的特征表示，现代模型能够具备预测能力并实现高效推理，从而助力结构分析和设计优化[3][4]。在弯曲和振动问题中，这类模型能够高效预测位移、应力、屈曲指标以及模态特性；在反问题研究中，它们则可用于材料参数识别、载荷重建以及基于稀疏测量的损伤诊断[5][6]。尽管效率很高，但传统的数据驱动模型难以保持完全的物理一致性，因此人们开始开发物理信息框架，将物理知识融入其中以提高模型的泛化能力和外推能力[7]。

物理信息神经网络通过将物理定律直接嵌入深度神经网络的架构和损失函数中，有效解决了纯数据驱动模型的泛化限制问题[8]。物理信息神经网络引入了一种通过将控制微分方程纳入训练损失函数中来求解正问题和反问题的方法，这种损失函数通常被称为“强形式损失”[9]。然而，当应用于复杂的工程力学问题时，尤其是那些涉及复杂超参数调整、收敛问题、高阶导数、高度耦合的系统或特征值分析的问题时，强形式物理信息神经网络存在若干固有缺陷[10]。除了强形式物理信息神经网络之外，基于变分原理的能量基方法——最著名的是用于静态/稳态问题的深度里兹方法和用于模态分析的瑞利商——将控制方程转化为最小化总势能函数的形式。这种转变使得训练过程以最小势能原理为基础，同时将所需的微分阶数降低到一阶应变，从而减少了高阶残差带来的数值噪声并提高了稳定性。目标函数简化为单一损失函数（可通过惩罚项或增广拉格朗日量来处理关键边界条件，而自然条件则采用弱约束方式），这有助于简化超参数调整过程，并实现相当高的精度。变分框架非常适合处理不稳定性和特征值问题：可以通过第二变分的正定性丧失来检测屈曲现象，而基频则可直接通过最小化瑞利商得到（高阶模式则可通过去缩放或弱正交性方法获得）[12]。在板壳应用中，这种方法能够可靠地恢复位移和层状应力，且无需面对残差加权或高阶偏微分方程微分带来的问题。例如，Samaniego等人[13]使用了基于能量的物理信息神经网络来研究Kirchhoff板的静态弯曲问题。Zhuang等人[14]提出了一种基于深度自编码器的能量方法，将该方法与无监督特征学习相结合，运用最小势能原理对Kirchhoff板的弯曲、振动和屈曲问题进行分析。Sukumar和Srivastava[15]则提出了一种基于距离场的方法，利用R函数和广义重心坐标在物理信息神经网络中精确施加狄利克雷、诺伊曼和罗宾边界条件。Wang和Thai[16]开发了一种融合经典层合板理论及基于能量的损失函数的物理信息神经网络框架，用于预测层合复合板的弯曲行为，并通过解析解和有限元解进行了验证。不过，这些研究大多针对在Kirchhoff假设下的单层或薄各向同性板，因此未能考虑横向剪切变形，而这种变形对于准确模拟厚度较大的板层或层间材料性质不同的层合复合材料至关重要。此外，在涉及特征值分析的振动问题中，这些方法往往只能预测基频，由于强形式残差基物理信息神经网络的局限性，其在处理高阶模式时会出现收敛问题和非唯一性结果。

虽然物理信息神经网络在模拟层合复合结构方面展现出巨大潜力，但在处理特征值问题、高阶偏微分方程以及复杂的层间行为时仍面临诸多挑战[17]。具体而言，将诸如之字形运动学理论之类的先进运动学理论整合到基于变分的能量基物理信息神经网络框架中，目前仍是一项较少研究的领域[16][18][19]。

将之字形理论融入框架有助于减少运动学表达式中的自由度数量，进而提高计算效率[20][21]。传统的层状模型由于自由度数量随层数呈线性增长，导致训练成本上升[22]。相比之下，之字形理论通过引入一种紧凑的之字形函数来近似描述层间的位移不连续性，从而保持固定的自由度数量，这类函数包括Murakami的公式[23]以及Tessler的之字形理论[TZZ][24]。在传统的有限元框架中，这些之字形运动学理论已通过多种公式得到成功应用，比如用于层合板层状应力恢复的混合有限元方法[25]，以及用于层合梁的弯曲和自由振动分析的C0连续型改进之字形元素[26]。然而，尽管在离散元方法方面取得了这些进展，但尚未有人尝试将此类基于材料的之字形运动学理论嵌入到无网格神经变分框架中。这样的简化使得物理信息神经网络能够在基于变分的能量损失函数框架中运行，且需要优化的参数更少，有助于避免过拟合问题并解决收敛难题。因此，这种方法简化了神经网络训练过程，提升了工程应用中复杂多层结构的可扩展性，尤其适用于对资源效率要求较高的场景。

在本研究中，我们提出了一种混合神经-变分框架，将该框架将基于能量的物理信息神经网络与先进的之字形运动学理论相结合，用于模拟层合板的弯曲和振动行为。我们通过最小化总势能函数，并借助基于瑞利商的训练循环以及弱正交性技术来提取振动谱，从而实现这一目标。这种设计保持了固定且与层数无关的运动学未知量集合，提升了框架的可扩展性，可应用于厚薄不一的层合板、具有强各向异性且层叠结构复杂的板材，以及具有混合边界条件的场景。通过与三维模型、高精度有限元模型以及解析参考结果的对比，验证表明，该框架在整体响应（位移和基频）方面与这些模型高度一致，同时在层状应力重建方面的精度也有所提升。这些结果证明，所提出的方法为复杂层合复合材料的可扩展神经力学研究提供了一条无网格解决方案。

为明确区分本研究与以往基于能量的物理信息神经网络及之字形板建模研究之间的差异，本研究的主要创新点与贡献如下。首先，在将基于能量的物理信息神经网络与改进的之字形运动学理论相结合方面，与那些仅限于Kirchhoff理论或针对薄各向同性板的低阶剪切变形理论的现有物理信息神经网络不同，本框架直接将Murakami和Tessler提出的先进之字形函数嵌入到神经变分空间中。这使得模型能够精准捕捉厚层多层复合材料中的严重横向剪切变形，同时保持固定且计算效率较高的七个自由度，且这一数量不受层数的影响。其次，在基于自动求导的横向剪切应力恢复方面，传统的层状有限元模型由于采用有限差分近似，会导致平面内的应力梯度出现噪声和不连续现象，而本研究的物理信息神经网络则利用自动求导功能，从而生成全局平滑且可解析求导的场，使得能够直接且精确地整合三维平衡方程，进而获得层界处的连续横向剪切应力。最后，在通过瑞利商最小化逐步提取模态频率方面，传统的强形式物理信息神经网络在处理振动特征值问题时往往无法收敛，也无法提取高阶模态。本研究通过提出一种结合瑞利商最小化与弱质量正交性惩罚的逐步提取策略，有效克服了这一局限，从而能够可靠地发现高阶自然频率和模态形状。

本文的其余部分结构如下：第2节详细阐述了之字形运动学理论及变分物理信息神经网络框架的理论公式；第3节介绍了该方法的具体实现、训练策略；第4节展示了数值计算结果、验证分析及讨论内容；第5节则总结了主要研究发现并提出了未来的研究方向。

章节节选
深度前馈神经网络与运动学输出空间
深度前馈神经网络通过仿射变换与非线性激活函数的组合，为输入与输出之间提供参数化的逐层映射关系[3][27]。设该神经网络的深度为L，宽度为({n?}?=0L)，其中(n0=2)，(nL=7)。用(a(?)∈Rn?)表示第?层的激活值，输入值为(a(0)={x})。对于(?=1,…,L)，其变换关系为[5]：{z(?)}=[W(?)]{a(??1)}+{b(?)}, {a(?)}=φ{z(?)}，其中([W(?)]∈Rn?×n??1)和({b(?)}∈Rn?)为可训练参数，φ为非线性激活函数。

域的离散化与训练策略
变分损失函数，即势能(U)和动能(T)，涉及在Ω及其边界?Ω上的积分运算。在实际应用中，由于物理信息神经网络框架属于无网格结构，这些积分需要通过基于配置点的求积方案在集合{xi}i=1N?Ω上进行数值近似。具体而言，能量密度e(x,y)在任意区域上的积分可表示为：∫Ωe(x,y)dΩ≈AΩN∑i=1Ne(xi,yi)，其中AΩ为该区域的面积，求和操作相当于对积分结果进行适当缩放。

数值结果与讨论
本节通过数值示例，从三个方面验证所提出的变分物理信息神经网络公式及其性能：(i)收敛性、稳定性和鲁棒性；(ii)在各向同性板上的基础验证；(iii)对层合板及夹心层合板的进阶验证。

结论
本研究提出了一种混合神经-变分框架，将该框架将物理信息神经网络与先进的之字形运动学理论相结合，用于模拟层合复合板的静态弯曲和自由振动行为。通过最小化总势能，并借助基于瑞利商的算法以及弱正交性约束来提取特征频率，该框架在面对具有强各向异性特性的复杂层叠结构时，依然能够实现高精度计算和良好的数值稳定性。

主要作者贡献说明
Tram-Ngoc Bui：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、验证、方法论、形式分析、概念构建。Duy-Khuong Ly：撰写——审阅与编辑、可视化、方法论、形式分析、数据整理、概念构建。Tan Nguyen：撰写——审阅与编辑、软件工具、资源准备、实验研究。Thai-Vin Nguyen：撰写——审阅与编辑、可视化、验证、数据整理。T. Nguyen-Thoi：撰写——审阅与编辑、监督指导、项目管理。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。

致谢
本研究得到了越南国家科学技术发展基金会(NAFOSTED)的资助，项目编号为107.02-2023.28。