基于域缩减技术的非线性弹性微结构拓扑优化

《Finite Elements in Analysis and Design》：Topology optimization of nonlinear elastic micro-structures by a domain reduction technique

　　

Murat Güven|?zzet ?zdemir

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  研究工程应变范围之外的非线性弹性周期微结构的最优化问题。
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  将非线性均匀化理论与基于梯度的拓扑优化方法严格结合。
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  利用所得微结构的点对称性来缩小计算域范围。
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  通过用Julia语言编写的程序解决的案例研究，展示了所实现的计算效率提升。

引言

由于其对几乎所有工程领域的潜在影响，为获得特定的宏观响应而设计微结构这一课题受到了广泛关注[1]、[2]。在此背景下，拓扑优化已被成功用于设计具有独特性能/特性的微结构，比如负泊松比或零热膨胀系数，相关开创性工作可见[3]、[4]、[5]，而关于拓扑优化在微结构中的应用综述可见[6]。在现有研究中，大多数采用基于密度的设计域参数化方法来构建优化问题，再通过基于梯度或进化类型的算法以迭代方式求解，不同方法的比较可见[7]。

尽管早期关于材料设计中拓扑优化的研究可追溯到90年代初，但现有大多研究仅聚焦于线性微结构响应。为探索和利用大应变下的材料响应，人们越来越关注考虑非线性响应的拓扑优化材料设计方法，相关研究可见[8]、[9]、[10]、[11]、[12]、[13]、[14]、[15]。与传统的结构优化相比，通过拓扑优化设计微结构需要解决多个“单元格”问题，这大大增加了每次优化迭代的成本。此外，当考虑非线性响应时，确定微观位移场（整体或波动部分）通常需要采用增量迭代求解算法，这进一步增加了计算负担。因此，降低“单元格”问题的成本会对整体计算成本产生显著影响，因为每次优化迭代都需要解决多个单元格问题。值得注意的是，很多时候，“最优”微结构会被强制设置为正交各向异性，要么是通过将某一特定象限的密度作为设计变量并妥善处理，见[16]，要么是通过合适的约束施加技术，如拉格朗日乘数法，来引入与正交各向异性相关的对称约束，见[17]。实际上，如[18]、[19]、[20]所示，对于周期性异质微结构的（非）线性均匀化，可以利用单元格的某些对称特性将计算域，即单元格尺寸，至少减少一半。

本研究旨在利用宏观响应的正交各向异性所带来的域缩减可能性，重点研究具有非线性弹性响应的微结构的拓扑优化问题。为此，首先将非线性均匀化理论与基于梯度的求解算法相结合，构建出一个能够生成优化后微结构的计算框架。文中简要介绍了与非线性响应相关的各种理论及算法方面的内容，随后阐述了如何利用正交各向异性来缩小计算域规模。该优化框架的全域版本和简化域版本均使用Julia语言[21]实现，用于处理具有非线性弹性响应的微结构。通过多个案例研究展示了通过域缩减所实现的计算效率提升。

下一节将简要介绍问题定义中所涉及的微观与宏观尺度以及非线性均匀化的基本原理。之后，借鉴[9]、[16]中提出的框架，总结该优化框架的各个组成部分，如灵敏度分析、过滤方法、正则化设计参数化，以及将微分边界值问题用总场量重新表述的方法。下一节将介绍优化算法的整体结构。正交各向异性的影响及其在实现中的考量将在两个独立章节中讨论，之后通过多个案例研究进行阐述，最后总结主要结论并指出未来可开展的相关研究方向。

章节要点

问题定义

采用两尺度分析方法，使得每个宏观材料点都对应一个具有不同相态的异质代表性体积元素（RVE），详见图1。假设材料微结构为两相类型，即固体骨架与空洞，且呈周期性，这种重复的微结构域将被称为单元格。由于第5节将研究平面应变类型的优化问题，因此相关阐述将

正交各向异性的影响

图2示意性地展示了一个正交各向异性的二维单元格。需要注意的是，当该单元格绕穿过其中心的轴旋转180°后，其结构将与原始结构完全相同，详见图2。这意味着该微结构具有点对称性，这对单元格问题的求解有着重要意义[20]。需要指出的是，并非所有具有点对称性的微结构都会

实现方式

如前所述，有限元法被用来离散化优化循环中出现的所有单元格问题。为了便于比较，既实现了全域模型也实现了半域模型，这两种模型均采用由4节点四边形元素构成的结构化网格进行求解。

求解阶段的关键组成部分之一是施加布洛赫型边界条件，这类边界条件能够驱动微结构场的演化。这些边界条件可以通过多种不同的方式来施加

案例研究

该算法有两个版本，一个用于全域模型，另一个用于简化域模型，这两个版本均使用Julia语言[21]实现。除MMA求解器外，该算法的所有组件均由作者自行实现，MMA求解器则采用了[35]中现有的Julia代码。这两个版本均可通过https://github.com/likemaestro/NEMOpt获取。

MMA算法采用[32]中给出的默认参数。为解决局部最小值问题，采用了改进算法，其中的惩罚因子分别为$p$和$\beta$

结论与展望

微结构拓扑优化是一项计算要求极高的迭代过程，目前针对具有线性响应的微结构已有很多研究。然而，当涉及到微观组成层面的非线性响应时，这项工作的理论难度和计算复杂度都会进一步提升。或许正是由于这类问题的高难度，相比线性响应的情况，针对非线性微结构拓扑优化的研究数量相对较少

CRediT作者贡献说明

Murat Güven：撰写——初稿，软件开发，方法论，形式分析，概念构思。?zzet ?zdemir：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，指导，方法论，资金获取，形式分析，概念构思。

代码可用性

用Julia语言编写的计算机程序可通过https://github.com/likemaestro/NEMOpt获取。

资金支持

本研究得到了TüB?TAK的财政资助，项目编号为122M134。

利益冲突声明

作者声明，他们不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益冲突或个人关系。

致谢

作者衷心感谢土耳其科学技术研究委员会（TüB?TAK）以及土耳其国家电子科学电子基础设施（TRUBA）的支持。