FormOpt: 一个基于水平集方法的支持并行计算的形状优化FEniCSx工具箱

《Finite Elements in Analysis and Design》：FormOpt: A FEniCSx toolbox for level set-based shape optimization supporting parallel computing

　　

研究人员开发了一个名为FormOpt的FEniCSx工具箱，用于通过水平集方法（level-set method）进行二维/三维形状和拓扑优化。该工具箱采用分布式形状导数（distributed shape derivative）及其张量表示（tensor representation）。支持数据并行（data parallelism）、任务并行（task parallelism）和混合并行（hybrid parallel computing）三种范式。利用近端扰动拉格朗日方法（Proximal-Perturbed Lagrangian method）处理几何约束。通过力学、热传导、逆问题和种群动力学等领域的算例进行了验证。

形状和拓扑优化已在结构力学、流体力学等领域建立了坚实的理论基础，并随着计算能力的快速提升在工业优化设计中得到广泛应用。然而，现有教育代码多基于固体各向同性材料惩罚法（SIMP法）或水平集方法，且大多局限于结构力学问题，缺乏对偏微分方程（PDE）约束的通用性。此外，随着计算规模的增大，并行计算已成为解决大规模问题的关键，但许多开源工具对并行支持不足。为解决这些问题，研究人员开发了FormOpt工具箱，旨在提供一个基于水平集法和分布式形状导数的通用形状优化框架，支持数据、任务和混合并行计算模式，并能处理多种PDE约束问题。该研究是对前期工作[17]的自然延续和扩展，显著提升了通用性、并行能力和几何灵活性。论文发表在《Finite Elements in Analysis and Design》。

研究人员所采用的主要关键技术方法包括：（1）有限元方法：统一使用FEniCSx平台的统一形式语言（UFL）表达弱形式，求解状态方程、伴随方程和水平集传输方程，避免了有限差分与有限元混合的复杂性；（2）分布式形状导数：采用张量表示（包含S₀和S₁）计算形状导数，无需从边界扩展到域内，具有更高的精度和更弱的正则性要求；（3）并行计算：支持数据并行（网格分布）、任务并行（同时求解多个PDE）以及两者结合的混合并行模式；（4）近端扰动拉格朗日方法（Proximal-Perturbed Lagrangian method）：通过引入扰动变量和拉格朗日乘子迭代处理体积约束等几何约束，避免在代价泛函中引入惩罚项；（5）水平集更新：通过求解带有扩散项（h²Δφ）的线性传输方程更新水平集函数，并采用Petrov-Galerkin法和Crank-Nicolson时间离散，同时定期通过扩散型Eikonal方程进行重新初始化以保持距离函数性质。

数值结果部分通过多个算例验证了工具箱的有效性和并行性能，具体如下：

**7.1. Inverse elasticity（逆弹性问题）**：通过单夹杂物和双夹杂物恢复算例，使用数据并行、任务并行和混合并行三种模式，成功恢复了真实夹杂物边界。其中双夹杂物算例中混合并行（32进程，分为16组每组2进程）执行时间仅43秒，远低于数据并行（146秒）和任务并行（660秒），表明混合并行在处理多测量数据时效率最高。

**7.2. Compliance minimization（柔度最小化）**：在对称悬臂梁（2D）、三维悬臂梁、双载荷悬臂梁等经典算例中，采用分布式形状导数优化结构柔度，得到的优化设计与文献结果一致。并行可扩展性测试表明，在1至5进程间接近线性加速，更高进程数时加速放缓。双线性形式B的权重参数a对收敛迭代次数有影响（a=0.1时50次迭代，a=100时75次迭代），但整体收敛行为相似。替代材料参数ε的测试显示，除形成薄结构时迭代增加外，求解器性能对不同ε值稳健。

**7.3. Heat conduction（热传导）**：针对均匀热源、局部热源、单/多散热器、单/多热源等不同配置，在体积约束下优化高导热材料分布，得到树状、分形等典型结构，与文献结果吻合。多散热器/多热源算例中，任务并行有效同时求解多个PDE，执行时间合理。

**7.4. A nonlinear PDE arising in population dynamics（种群动力学非线性PDE）**：将资源分配问题建模为含非线性Logistic扩散方程的约束优化，最大化稳态种群总量。对于不同增长率（r=10,40,100），优化得到的资源分布形态和种群规模不同，验证了工具箱处理非线性PDE约束的能力。

**7.5. Performance investigation（性能研究）**：并行可扩展性测试显示，在细网格上执行时间随进程数单调减少，1-5进程接近线性加速。双线性形式权重a越大，所需迭代次数越多（a=0.1和a=100分别需50和75次迭代），但演化行为类似。替代材料参数ε的变化对线性求解器迭代次数影响不大，仅在出现细长结构时略有增加。

**7.6. Toolbox comparison（工具箱比较）**：与多个近期开源工具箱（如[17]、Filho et al. (2025)、OpenLSTO、GridapTopOpt.jl、cashocs 2.0、Fireshape、FEniTop等）对比，FormOpt在域演化方式（有限元统一求解水平集方程）、敏感性计算方法（分布式形状导数、解析计算）、并行支持（原生MPI、三种模式）以及约束处理方法（近端扰动拉格朗日）方面具有特色，尤其在通用性和并行效率上表现突出。

在讨论部分，研究人员指出当前方法基于optimize-then-discretize策略，数值近似会引入误差，但通过误差分析证明了收敛阶由有限元逼近精度决定。未来工作将扩展至高阶张量表示、非贴体有限元（如CutFEM、XFEM、φ-FEM）、时间依赖问题、拓扑导数以及自动微分工具集成。

研究结论部分翻译如下：本研究提出了一个基于分布式形状导数和水平集方法的PDE约束形状优化工具箱。该实现显著推广了[17]的工作：虽然受相同基本概念启发，但本实现在范围和适用性上远为通用。FormOpt工具箱引入了若干显著特性：统一形式语言（UFL）提供了以接近数学符号的直观方式表示弱形式的方法；模块化的类结构（水平集、速度问题、重新初始化）可独立修改，用户只需用UFL格式编写问题方程；支持二维和三维问题以及灵活几何，得益于FEniCSx的有限元能力；集成了三种不同模式的并行计算，大幅提升效率并支持大规模模拟；内置近端扰动拉格朗日方法处理形状约束，尤其适用于体积和周长约束。未来将扩展至高阶张量表示、基于非贴体有限元的高级离散化策略（如CutFEM、XFEM、φ-FEM）、时间依赖问题、拓扑导数以及自动微分工具的集成。