弱可压缩SPH方法的h/p自适应算法

《Journal of Computational Physics》：An h/p-adaptive algorithm for the weakly compressible SPH method

　　

本文中，研究人员首次提出了基于Lagrangian和高阶Eulerian格式的光滑粒子流体动力学（SPH）h/p细化方法。该方法将计算域分解为子域，在其中可调整粒子分辨率（h-细化）和核函数阶数（p-细化）。Lagrangian子域用于自由表面、破碎或移动边界区域，而高阶Eulerian子域则以更高精度捕捉内部流动结构。子域之间的耦合通过缓冲区域实现，允许物理量的一致交换。该新算法已在DualSPHysics代码框架中实现，以利用图形处理器（GPU）的计算能力。通过经典基准测试验证了该方法，包括泰勒-格林涡（Taylor-Green vortex）以获取收敛特性，以及雷诺数Re=9500的冲激起动圆柱绕流。最后，三维涡环的对流展示了该方法在复杂流动中的能力。结果表明，与经典Lagrangian SPH方案相比，h/p细化公式在给定分辨率下实现了更高精度，并可将计算成本降低高达一个数量级。

论文解读文章

### 研究背景与问题
计算流体力学（CFD）领域长期致力于发展高精度数值方法，以在较低计算成本下获得更准确的结果。光滑粒子流体动力学（SPH）作为一种无网格拉格朗日方法，在自由表面、移动边界和多相流等复杂界面描述方面具有天然优势，但其空间算子收敛率受限于二阶精度，实际应用中仅能达到一阶至二阶收敛。传统改进策略如核修正和黎曼SPH（Riemann-SPH）虽提升精度，但牺牲了动量守恒或引入额外耗散；高阶核函数方法虽能实现高阶收敛，但局限于欧拉（Eulerian）格式和严格笛卡尔粒子分布，难以处理自由表面流动。为克服这些局限，研究人员开展了本项研究，旨在提出一种结合拉格朗日（Lagrangian）和高阶欧拉（Eulerian）格式的h/p自适应SPH算法，以提升弱可压缩SPH方法的精度与计算效率。该工作发表于《Journal of Computational Physics》。

### 主要技术方法概述
本方法采用域分解策略，将计算域划分为多个子域。每个子域可独立设定粒子间距（h-细化）和核函数阶数（p-细化）。拉格朗日子域使用标准二级Wendland C2核函数，适用于自由表面和大变形区域；高阶欧拉子域采用四级Wendland WC6O4核函数（由WC6O2核函数通过约束条件构建），用于捕捉内部涡流结构。子域间通过缓冲区域耦合，基于二阶插值交换物理量。欧拉子域中，采用本地化新型隐式迭代粒子位移方法（L-NIIPS）预处理粒子分布以保持边界精度。算法在DualSPHysics代码框架中实现，并利用图形处理单元（GPU）并行加速。

### 研究结果

**4.1 二维泰勒-格林涡（Taylor-Green vortex）**
通过二维泰勒-格林涡算例验证高阶欧拉SPH格式的收敛特性。比较了二阶核（Wendland WC2O2）、四阶核（Wendland WC6O4）及四阶核结合L-NIIPS松弛的三种配置。结果表明：二阶核严重低估耗散率，而四阶核在不同分辨率下均准确再现动能衰减，收敛阶与理论一致（二阶与四阶）。L-NIIPS预处理不影响四阶格式的精度，且四阶核在L/Δx=50时的误差与二阶核在L/Δx=200时相当。

**4.2 冲激起动圆柱绕流（Re=9500）**
模拟雷诺数Re=9500的圆柱绕流，评估h/p细化算法对复杂涡相互作用的描述能力。对比经典拉格朗日方案与h/p细化方案（拉格朗日区域采用二阶核，欧拉区域采用四阶核）。结果显示：拉格朗日方案在D/Δx=400时偏差显著，高阶分辨率D/Δx=800仍存在差异；而h/p方案在D/Δx=400即可准确捕捉拖曳系数和涡量场对称性，D/Δx>800时达到粒子无关解。计算时间对比表明，h/p方案未引入显著额外开销，且在相同精度下可将计算成本降低一个数量级。

**4.3 自由表面附近圆柱绕流（Re=180）**
验证h/p细化算法在自由表面存在时的表现，模拟自由表面距圆柱1.5倍直径、Re=180的流动。采用拉格朗日子域处理自由表面，欧拉子域处理内部流场。与经典拉格朗日方案对比：拉格朗日方案在D/Δx=50时噪声大且平均拖曳系数偏差，提高分辨率后改善；h/p方案则在D/Δx=50时即显示出网格无关性，拖曳系数和升力系数曲线平滑，与文献参考值吻合良好，说明方法在低分辨率下即可提升精度。

**4.4 三维涡环对流**
模拟无界域中三维涡环的对流，雷诺数Re=1570。对比拉格朗日与h/p细化方案（三种嵌套分辨率R/Δx=10、20、40）。拉格朗日方案在R/Δx=10时过度耗散，速度剖面不光滑；h/p方案在相同分辨率下获得光滑准确结果，且h/p在R/Δx=10的精度与拉格朗日在R/Δx=20相当，h/p在R/Δx=20匹配拉格朗日在R/Δx=40。h/p方案在R/Δx=40时达到粒子无关解，且涡量场无虚假振荡。质量守恒偏差低于0.2%。计算成本对比显示，h/p方案在相同精度下可节省高达一个数量级的计算时间。

### 讨论与结论
本研究提出了一种弱可压缩SPH框架下的新型h/p细化公式。方法通过域分解指定各子域的粒子尺寸和运动描述（欧拉或拉格朗日）。欧拉子域采用高阶核函数以克服经典SPH收敛限制，拉格朗日子域则稳健处理自由表面流动。基于L-NIIPS的迭代位移算法优化了欧拉区域的粒子分布而不降低精度。泰勒-格林涡验证了四阶欧拉SPH的收敛率，L-NIIPS预处理保持精度。复杂流动（冲激起动圆柱、自由表面附近圆柱、三维涡环）的验证表明，该h/p细化算法在未显著增加计算成本的情况下提升了精度，在所有算例中，与经典拉格朗日SPH方案相比，方法达到相当或更优精度，同时计算成本降低高达一个数量级。这些结果证实了方法在涡主导流动模拟中的潜力，有望扩展SPH在长时间涡流问题中的应用范围。