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本文解决了Lin于2026年在《Algorithms》中提出的开放问题，证明了Lin所提解过程的唯一性性质。所发展的数学验证填补了Lin留下的研究空白。此外，针对改良库存模型中起始点附近（记为3×10-7）的局部极大点，本研究提供了一种替
本文解决了Lin于2026年在《Algorithms》中提出的开放问题，证明了Lin所提解过程的唯一性性质。所发展的数学验证填补了Lin留下的研究空白。此外，针对改良库存模型中起始点附近（记为3×10-7）的局部极大点，本研究提供了一种替代解释，以帮助研究人员自信地执行其数值方法，使得在没有Lin开发的解析过程的情况下，仅凭粗略的数值方法即可帮助研究人员定位两个局部极大点。
**研究背景与问题**
改良库存模型（Ameliorated Inventory Model）起源于Hwang（首次提出），用于描述库存物品因自我繁殖（如池塘养鱼）而产生的改良效应。Hwang开发了经济订购量模型（Economic Ordering Quantity Model, EOQ）和部分销售模型（Partially Selling Quantity Model, PSQ），后者允许在周期结束时出售额外库存。Lin随后修正了PSQ模型，并指出其最大利润值较Hwang显著提升，但Lin在解过程中仅证明了辅助函数零点的存在性，未证明唯一性，从而提出一个开放问题。此外，Lin认为若缺乏其解析推导，纯数值方法无法可靠定位局部极大点。本研究旨在填补唯一性证明这一研究空白，并提供替代方法，使研究人员无需复杂解析过程也能定位起始点附近的局部极大点（约3×10
-7）。论文发表在《AppliedMath》。
**主要技术方法**
研究人员基于Lin的数学框架，引入辅助函数（如H(T)、W(T)、U(T)等）以简化导数符号判定，并通过函数单调性分析和中间值定理（Intermediate Value Theorem）证明唯一性。关键方法包括：构造新的辅助函数
F(T)以修正Lin的Lemma 2推导；利用分段分析（区间(0, t
3)与(t
3 , 67.5]）证明G(T)零点的唯一性；通过边界值负无穷与局部极小点的存在性，证明局部极大点存在的定理（Theorem 2）。数值验证部分基于Lin提供的参数（如D=0.4, a=0.02, c
1=3, c
2=2, c
3=10, s=15, L
u=0.2, t
3=2.225），样本数据源自Hwang和Lin的原有算例。
**研究结果**
**Section 4: Uniqueness Problem for G(T) in Each Sub-Domain**
通过引入辅助函数
F(T)和
W(T)，研究人员证明在区间(0, t
3)上，G(T)从正值单调递减至负值，存在唯一零点t
1；在区间(t
3 , 67.5]上，G(T)从负值单调递增至正值，存在唯一零点t
2；而在[67.5, ∞)上，G(T)远小于零，无零点。该结果完善了Lin Lemma 3的唯一性缺失，总结为Theorem 1，并衍生出Corollary 1和Corollary 2，确认了G(T)在各自子域内解的唯一性。
**Section 5: An Alternative Proof for the Local Maximum Point**
研究人员指出，Lin认为纯数值方法无法发现起始点附近的局部极大点（约3×10
-7），但通过分析边界行为（当T→0时，ATP(T)趋近于负无穷）和局部极小点（T≈2.225）的存在，可证明在边界与极小点之间必然存在一个局部极大点（Theorem 2）。数值验证表明，即使不依赖Lin的复杂解析，采用粗网格（如步长1）也能发现局部极值，但需要更精细的搜索（如步长0.0001）才能定位该点。
**Section 6: The Revision of Lemma 2 in Lin [2]**
Lin在Lemma 2中声称当T≥2.225时，G(T)≥0，但其推导存在可疑之处。研究人员通过证明
F(T)在T≥2.225时为递减函数（因其一阶导数<0），并验证不等式（64）成立，从而修正了Lin的推导，确认了Lemma 2结论的正确性。同时指出Lin在Equation (13)中关于
M(T)的计算有误，应将
M(T)修正为
J(T)，但最终结论不变。
**结论与讨论**
本文解决了Lin提出的开放问题，证明了G(T)在各自子域内解的唯一性（Theorem 1），提高了数值优化过程的可靠性。此外，提出了一个新颖定理（Theorem 2）：若边界值为负无穷，则在边界与局部极小点之间必存在局部极大点，从而推翻了Lin关于纯数值方法无法定位该点的论断。本文还修正了Lin Lemma 2的推导错误。研究局限性包括部分分析依赖于数值验证，未来可向更广泛的库存模型扩展。研究结论指出：通过唯一性证明、搜索区域缩小、计算效率提升及数值实现信心增强，该成果弥合了数学理论与库存管理应用之间的差距。
