基于观测器的IT2 t-s模糊半马尔可夫跳变系统控制方法及双异步策略

《Neurocomputing》：Observer-based - control for IT2 t-s fuzzy semi-markov jump systems with dual asynchronous scheme

　　夏培珍|常晓恒
武汉科技大学人工智能与自动化学院，中国湖北省武汉市青山区和平大道947号，邮编430081

摘要
本文研究了离散时间区间型2 T-S模糊半马尔可夫跳跃系统的基于观测器的异步控制设计及性能分析问题。为解决被控对象与控制器在状态、模式及隶属函数方面的不匹配问题，本文提出了一种双异步基于观测器的控制器。通过将模式监测机制与非并行分布式补偿策略相结合，该控制器显著提升了设计灵活性。值得注意的是，模式监测机制消除了传统基于隐马尔可夫模型方法中控制器模式数量必须与系统模式数量相等的限制。在外部干扰同时影响系统状态和输出的情况下，本文采用描述符表示法构建闭环系统，并利用半马尔可夫核方法，基于模式及停留时间构建了用于性能分析的李雅普诺夫函数。基于该李雅普诺夫函数，本文给出了确保闭环系统具有预定性能水平的均方指数稳定性的充分条件。此外，为降低保守性，本文还引入了符合模糊隶属函数的松弛矩阵及附加参数。最后，通过一个机械运动模型验证了所提设计方法的有效性与可行性。

引言
实际物理系统通常被建模为复杂的非线性系统，这给相关研究的分析与综合带来了挑战。理论与实践表明，Takagi-Sugeno（T-S）模糊模型是一种有效的非线性系统建模方法，它通过隶属函数及一系列“如果-那么”规则，将多个局部线性子系统无缝集成到全局非线性模型中[1][2][3][4]。然而，传统使用类型1隶属函数的T-S模糊系统难以处理许多非线性系统中存在的参数不确定性或不可测变量问题。为解决这一局限，人们提出了区间型2（IT2）T-S模糊模型。通过上下隶属函数来描述隶属度，IT2模型能够有效捕捉系统不确定性，因此受到了众多研究者的关注[5][6][7]。对于这类系统，并行分布式补偿策略提供了一种直观的控制器设计方法，即每个局部线性控制器与其对应的子系统共享相同的模糊规则。相比之下，非并行分布式补偿策略设计的控制器不受此规则共享要求的限制，具有更高的设计灵活性。IT2模糊框架凭借其使用上下隶属函数处理不确定性的特点，与非并行分布式补偿控制器灵活的结构相互契合，使得二者结合成为研究热点。例如，有研究针对信道衰落问题提出了基于事件触发的非并行分布式补偿IT2模糊控制方案[8]；在多网络攻击背景下，Tan等人[9]设计了基于自适应事件触发机制的非并行分布式补偿控制模型；还有研究针对在随机通信协议下运行的系统，提出了基于观测器的非并行分布式补偿IT2模糊安全控制策略[10]。

然而，非线性系统往往会受到环境变化或内部组件故障引起的随机参数变化的影响，这些挑战超出了IT2模糊模型本身的处理能力。在这种情况下，马尔可夫跳跃模型被证明是描述受此类随机现象影响的系统的有效工具。因此，马尔可夫跳跃系统在实际研究中得到了广泛应用[11][12][13][14]。不过，马尔可夫跳跃系统的一个实际局限在于，其停留时间在理论上被限制为遵循离散时间下的几何分布或连续时间下的指数分布。这种固有的“无记忆”特性使得它们不适用于停留时间分布偏离这些形式的系统，比如直流电机设备或电力传输网络。为弥补这一缺陷，人们提出了半马尔可夫跳跃系统。半马尔可夫跳跃系统的一个关键优势在于，每种模式的停留时间可以遵循任意的概率分布，从而克服了传统马尔可夫跳跃系统的根本局限。由于半马尔可夫跳跃系统可以将马尔可夫跳跃系统视为特例，且能够模拟非指数型的停留时间——这一特性常被称为“记忆”属性，因此它受到了广泛研究。例如，有研究将多租户网络中的无线接入控制功能建模为半马尔可夫过程，并提出了最优优化策略；Ren等人[16]研究了人在欺骗攻击下认知特征的估计过程，将其建模为带有状态延迟的T-S模糊半马尔可夫跳跃系统，并解决了相关的滤波器设计问题；Cheng等人[17]研究了描述符半马尔可夫跳跃系统的输出反馈控制问题，并提出了基于平均停留时间的非齐次半马尔可夫更新策略。尽管已有研究取得了进展，但这些关于离散时间半马尔可夫跳跃系统的成果通常都是在理想化假设下得出的，即每种模式的停留时间概率密度函数遵循单一的预定义分布类型。幸运的是，通过更复杂的建模框架，可以有效规避这一限制。具体而言，在半马尔可夫核框架下，停留时间概率密度函数由当前模式和后续模式共同决定[18][19][20][21]。这一重要推广使得半马尔可夫核框架能够为离散时间半马尔可夫跳跃系统提供更全面、更准确的描述。

一方面，现有关于马尔可夫跳跃系统的研究成果往往基于这样一个隐含假设：控制器模式与系统模式是同步的。然而，在实际应用中，由于外部干扰和通信限制，这一假设很难满足。在这种情况下，隐马尔可夫模型被证明是捕捉此类异步现象的有效工具。通过利用与实际系统模式存在概率关联的辅助随机过程，隐马尔可夫模型使得异步控制器的设计成为可能。例如，有研究在[22]中利用隐马尔可夫模型解决了T-S模糊马尔可夫跳跃系统中系统模式不可用的问题，从而对异步控制器动态进行了建模；Shen等人[23]研究了基于隐马尔可夫模型的分段齐次马尔可夫跳跃系统的非脆弱异步控制问题；考虑到网络攻击的影响，Qi等人[24]研究了面向网络化非齐次马尔可夫跳跃系统的滑模控制问题，他们利用隐马尔可夫模型来推断系统的隐藏模式切换行为；Wang等人[25]解决了马尔可夫跳跃系统的耗散控制问题，并提出了基于隐马尔可夫模型的异步控制器设计方法。尽管取得了这些进展，但上述基于隐马尔可夫模型的异步控制研究都存在一个根本局限：它们要求控制器模式的数量必须与系统模式的数量相等。为放宽这一限制，有研究在[26]中引入了模式监测机制，显著提升了马尔可夫跳跃系统异步控制设计的灵活性。受此启发，本文旨在设计一种有效的模式监测机制，用于处理由半马尔可夫核框架描述的IT2 T-S模糊半马尔可夫跳跃系统中系统模式与控制器模式之间的异步现象，这也是本文的主要研究动机。

另一方面，现有关于半马尔可夫跳跃系统的研究往往基于另一个隐含假设：控制器能够直接且准确地获取系统状态信息[18][19][20][21]。然而，在实际应用中，现实世界系统的复杂性不断增加，使得这一假设不再成立。为解决这一问题，状态观测器被广泛用于重构不可测状态，并为控制器提供可靠的估计值[27][28][29][30]。基于这一基于观测器的框架，人们为T-S模糊系统开发了多种控制器设计策略。例如，有研究[31]为遭受网络攻击的IT2模糊隐马尔可夫模型设计了基于干扰观测器的控制器；考虑到外部干扰同时影响系统状态和输出，Chang和Han[32]研究了T-S模糊系统的控制器设计问题；有研究[33]采用凸线性优化方法，为带有状态延迟的IT2模糊系统提出了控制策略；Zhang等人[34]则研究了不确定T-S模糊分数阶系统的控制问题，他们设计了状态反馈和输出反馈控制器，通过降维滑模面来实现滑模稳定性。尽管取得了这些进展，但据我们所知，针对具有不可测状态的离散时间IT2 T-S模糊半马尔可夫跳跃系统——尤其是那些由半马尔可夫核框架描述的系统——的控制器设计问题尚未得到研究，这一空白也是本文的研究动力之一。

基于以上讨论，本文致力于通过模式监测机制和非并行分布式补偿策略，为由半马尔可夫核框架描述的IT2 T-S模糊半马尔可夫跳跃系统设计一种基于观测器的异步控制器。本文的主要贡献如下：
1. 本文首次探讨了IT2 T-S模糊半马尔可夫跳跃系统的控制问题。考虑到系统状态和输出的外部干扰，本文采用描述符表示法对闭环系统进行了建模。
2. 针对被控对象与控制器在状态、模式及隶属函数方面的不匹配问题，本文设计了一种基于观测器的双异步控制器。通过模式监测机制与非并行分布式补偿策略的协同作用，该双异步控制器显著提升了系统的设计灵活性。尤其是为IT2 T-S模糊半马尔可夫跳跃系统设计的模式监测机制，打破了控制器模式数量必须与系统模式数量一致的局限。
3. 基于半马尔可夫核框架，本文提出了用于性能分析的李雅普诺夫函数，该函数依赖于模式及停留时间。此外，从模糊处理的角度出发，本文引入了符合模糊规则的参数及松弛矩阵，这在确保系统稳定的前提下进一步降低了性能条件的保守性。

本文的其余结构如下：第2节介绍了离散时间IT2 T-S模糊半马尔可夫跳跃系统及基于观测器的双异步控制器的定义，并阐述了通过描述符表示法构建的闭环系统；第3节阐述了确保闭环系统具有预定性能指标的均方指数稳定性的证明过程，并给出了基于观测器的控制器的设计条件；第4节通过实际案例验证了所提方法的有效性；第5节总结了全文并指出了未来的研究方向。

符号说明：为便于后续写作，符号说明见表1。

章节片段
IT2 T-S模糊半马尔可夫跳跃系统
考虑在概率空间上定义的一组离散时间IT2 T-S模糊半马尔可夫跳跃系统，其表达形式如下：
系统规则：如果 且 ，那么
其中，分别表示状态、控制输入、性能输出和测量输出，而 表示其中的外部干扰。 、 、 、 、 以及 是已知的常数矩阵。此外， 、 为前提变量； 代表模糊集，而 则表示有限值域内的半马尔可夫链。

主要结果
鉴于控制器与系统在状态、模式及隶属函数方面存在异步性，有必要证明系统具有均方指数稳定性以及所需的性能指标，从而得出基于观测器的控制器设计条件。
定理1
对于IT2 T-S模糊半马尔可夫跳跃系统（16），给定正标量 、 、 、 以及对称矩阵 、 、 、 矩阵 、 以及一个标量参数，若存在满足以下不等式的关系式，则系统具有所需性能。

仿真
在本部分，本文采用[36]中提出的质量-弹簧-阻尼系统，来验证在模式监测机制下基于观测器的控制器设计策略的有效性。该系统的运动学方程可表示为：
其中，分别表示外部控制输入、质量以及位移， 、 为常数标量。定义辅助函数 以及 ，其中 。然后选择 、 、 、 、 以及 。容易验证，若 ，则 ；若 ，则 。

结论
本文通过模式监测机制与非并行分布式补偿策略，研究了由半马尔可夫核框架描述的IT2 T-S模糊半马尔可夫跳跃系统的基于观测器的控制问题。本文考虑了被控对象与控制器在状态、模式及隶属函数方面的不匹配问题。首先，通过设计状态观测器解决了控制器与被控对象之间的状态不匹配问题。其次，引入了模式监测机制来解决CRediT作者贡献声明中的模式不匹配问题：夏佩珍的贡献包括写作——原始草案、可视化、软件、方法论、研究设计、概念构建；常小恒的贡献包括验证、监督、研究设计。利益冲突声明作者声明不存在任何可能影响本文所报告工作的已知财务利益或个人关系。致谢本研究未获得公共部门、商业机构或非营利组织提供的任何专项资助。夏佩珍于2022年在中国临沂的临沂大学获得轨道交通信号与控制专业学士学位，2025年在中国锦州的渤海大学获得控制理论与控制工程专业硕士学位。她目前在中国武汉的武汉科技大学人工智能与自动化学院攻读控制科学与工程专业的博士学位。她的研究兴趣包括模糊控制系统、马尔可夫跳跃系统。