基于模糊方法的接纳控制下，具有重启与重试功能的容错冗余系统的元启发式优化

《Journal of Computational Science》：Metaheuristic optimization for fault-tolerant redundant systems with reboot and retrial under admission control using a fuzzy approach

　　帕米特·考尔·查哈尔|拉兰·帕斯万|玛杜·贾因|拉凯什·库马尔·米纳|阿尔文德·库马尔·辛格
印度瓦拉纳西，221005，巴纳拉斯印度教大学科学研究所数学系

摘要
本研究通过整合重试、反馈、重启机制以及准入控制F?策略等多种实际运行特性，分析了用于容错冗余系统的有限马尔可夫模型的性能。研究采用递归方法计算队列长度分布，进而用于评估描述该模型行为的关键性能指标。为应对系统参数的不确定性，将精确模型转化为模糊排队框架，并运用参数非线性规划与扎德赫扩展原理进行分析。此外，还构建了综合成本函数，以确定能够最小化总体运营成本的最优系统参数。通过数值模拟得到了精确模型和模糊模型的分析结果，同时运用遗传算法、粒子群优化等元启发式技术以及拟牛顿法等数值优化方法来寻找最优参数。此外还进行了敏感性分析和相对敏感性分析，以研究系统参数对成本函数的影响程度。从应用角度而言，本研究展示了所提模型在电信网络容错路由器中的适用性。

引言
在实时加工系统中，冗余性和容错能力对于确保各类工业系统（如医疗保健、发电厂、电信、空中交通管制、云计算中心等）的持续运行以及提升其性能和效率至关重要。为减少实时加工环境中意外停机带来的损失，亟需开发能够在不中断服务的情况下处理故障的容错系统。这类系统应具备备用支持与重启机制，以确保在部分加工组件出现故障时仍能持续运行。性能预测在降低故障影响方面发挥着重要作用，它可通过尽量缩短停机时间并维持电信网络、路由器及相关基础设施等可修复服务系统的运行效率来实现这一目标。基于这些优势，本研究在容错冗余系统的性能分析与建模中纳入了实际特性。排队论领域已有大量研究探讨了不同框架下可修复冗余系统的性能[1][2][3][4]。在许多容错冗余系统中，当由于故障检测问题或切换不完善而无法成功修复故障时，系统会通过重启自动重新配置以解决故障。为提升系统性能，贾因和米纳[5]研究了容错性、覆盖度不足及备用支持等特性。贾因等人[6]则针对可修复冗余系统展开了研究，重点探讨了可维护性、重启流程以及服务器空闲问题。最近，拉尼等人[7]研究了具有服务器空闲机制、恢复策略、启动策略以及重启功能的容错管理系统，他们采用递归方法计算队列长度分布，进而用于评估可用于分析该系统行为的各项关键性能指标。

在反馈策略中，出现故障的机器的维修任务可能无法完全解决，或者首次尝试的维修效果不佳。在这种情况下，这些故障机器会再次进入系统进行维修，直至问题得到解决。一旦故障机器获得满意的维修结果，它将以概率θ离开系统；否则，如果维修效果不满意，这些机器将以概率θ?=1?θ再次进入队列等待维修。这种机制可确保所有故障都能得到妥善处理，即便需要多次尝试。最初，塔卡奇[8]提出了排队系统中反馈策略的基本理念，并确定了队列规模的稳态过程。在研究单服务器反馈重试队列时，库马尔等人[9]采用生成函数方法建立了稳态概率与性能指标。库马尔等人[10]则构建了一个有限容量马尔可夫排队模型，该模型能够保留退出的顾客以及反馈的顾客，并运用优化方法进行成本效益分析。查哈尔等人[11]则通过整合服务器空闲、故障发生、伯努利反馈以及N策略等特性，构建了一个用于云计算性能预测的有限容量马尔可夫排队模型，他们还运用遗传算法和粒子群优化等元启发式技术对该模型进行了成本分析。

重试队列常见于常规拥堵场景，广泛应用于各种可修复系统，包括采用主动或被动冗余机制的多组件容错冗余系统。在排队系统中，顾客到达后若发现服务器正在忙碌，则必须排队等候服务。而在重试队列中，当顾客发现服务器忙碌时，他会加入一个被称为重试轨道的虚拟队列，不断尝试从该轨道获取服务。重试排队系统在呼叫中心、火车站、医院、餐厅等诸多领域都有广泛应用。已有不少知名研究人员对重试队列展开过研究，例如法林和坦普尔顿[12]以及阿塔莱霍和戈麦斯[13]所写的综述文章。此外，高和王[14]针对具有不可靠维修人员、混合备用机制以及重试次数的加工系统，建立了可用性与可靠性模型。贾因等人[15]研究了具有重试机制和工作空闲时间的马尔可夫排队系统，他们运用概率生成函数的概念，确定了处于重试轨道以及系统内的顾客的概率分布。最近，迪巴尔和贾因[16]在云存储系统中，通过整合用户的消极行为和工作空闲时间，研究了马尔可夫重试排队模型。

在现实世界的拥堵场景中，准入控制策略有助于降低过载风险、优化资源分配并提升系统效率。F策略会在缓冲区满载时限制新顾客进入，只有当负载降至预定义阈值以下时才允许其进入。该方法可改善队列管理、提升系统可靠性，同时确保及时处理可修复组件，避免系统过载。F策略最早由古普塔[17]进行研究，他们在研究中运用递归技术确定了控制顾客进入数量与服务之间的关系。叶恩等人[18]则在F策略下研究了具有重试机制和工作故障的可修复加工系统，他们采用拉普拉斯变换方法计算了可靠性、平均故障时间等关键系统指标。贾因和桑加[19]对状态依赖型排队系统不同框架下的准入控制策略进行了详细梳理。库马尔等人[20]则将准入控制F策略与双轨道重试机制结合到容错加工系统的机器维修模型中，他们运用谱方法评估了系统的瞬态状态概率与性能指标。最近，桑加和安塔拉[21]研究了具有单个不可靠服务器及准入控制F策略的有限容量排队模型，他们运用遗传算法和拟牛顿法对系统成本函数进行了优化。

在现实情况下，系统参数往往并不精确，可能存在不确定性且具有语言性特征。此时，模糊逻辑可有效处理系统的不确定性。为研究容错冗余系统的模糊参数与模糊指标，我们可以运用扎德赫[22]首先提出的模糊集合理论。模糊集合与逻辑后来成为建模各类系统以应对不精确性与不确定性的基础[23]。杨和常[24]采用参数非线性规划与α切割方法，基于FM/FM/1/K模型在模糊环境中预测性能指标，通过模糊建模得到的系统指标比传统精确建模方法的结果更为准确。玛格丽特和蒂鲁纳武卡拉舒[25]则运用模糊梯形数与参数非线性规划，研究了具有多服务器和多个备件且在模糊环境下的机器维修问题。对于容错冗余系统的随机建模及其成本分析以及敏感性分析，在工业领域具有重要意义。每个制造系统都致力于优化成本，以便企业获得尽可能多的利润。粒子群优化和遗传算法是两种高效的启发式优化技术，适用于各种非线性和非连续优化问题。为优化容错冗余系统的成本，我们采用了遗传算法和粒子群优化这两种先进的元启发式技术。虽然遗传算法和粒子群优化因其元启发式特性而广为人知，但它们也通过借鉴自然界的问题解决方式，体现了人工智能的核心原理。遗传算法利用选择与突变等进化机制逐步优化解决方案，而粒子群优化则模拟了群体中的集体智能。通过整合这些基于人工智能的方法，本研究为成本优化难题提供了有价值的见解，并证明了其在解决复杂容错冗余系统问题方面的有效性。肯尼迪和埃伯哈特[26]对粒子群优化进行了研究，随后埃伯哈特和施[27]对粒子群优化与遗传算法进行了比较。瓦尔德斯等人[28]则提出了一种新的混合优化策略，该策略结合了遗传算法与粒子群优化技术，同时运用模糊逻辑整合两种技术的结果并调整参数。杨和蒋[29]研究了具有阈值恢复策略的不可靠服务器机器维修问题，并运用粒子群优化技术解决相关的优化问题。在库马尔和贾因[30]的研究中，他们在构建具有不可靠服务器的马尔可夫排队系统时，考虑了混合空闲策略与两阶段服务流程，他们运用ABC算法和粒子群优化技术优化成本函数以确定最优服务速率。贾因和迪巴尔[31]则运用自适应神经模糊推理系统以及粒子群优化和差分评估等元启发式优化技术，研究了包含空闲机制与重新尝试策略的战略性加入策略。阿迪亚等人[32]则研究了包含重试机制、反馈功能以及重启功能的容错可修复系统，他们在研究中运用全局优化和粒子群优化技术优化系统成本函数。潘查尔和桑加[33]提出了一种具有N策略的重试马尔可夫Mn/Mn/1/K模型，他们运用拟牛顿法和ABC技术进行成本分析，随后再通过遗传算法验证结果。

表1总结了所提出的排队模型的独特之处，这类模型在具有F策略、重试机制、反馈机制以及重启机制的容错冗余系统研究中尚未被深入探讨。本研究的主要贡献如下：
•通过纳入F策略、重试机制、反馈机制以及重启机制等实际特性，构建了用于容错冗余系统性能预测的M/M/1/K排队模型。
•采用递归方法计算稳态队列长度分布，进而以此为基础构建描述所提模型行为的关键性能指标。
•在模糊排队模型中，运用α切割技术与参数非线性规划方法构建性能指标以衡量系统效率，这些性能指标的准确性已通过数值模拟得到验证。
•通过粒子群优化、遗传算法以及拟牛顿法等元启发式优化算法进行成本优化，最终成功确定了在最低成本下的最佳设计参数。

本研究的显著特点是构建了一个包含反馈机制、准入控制F?策略、重启机制以及重试尝试等实际概念的容错冗余系统数学模型。此外，还运用梯形模糊数、α切割以及参数非线性规划方法构建并分析了模糊模型。通过得到最优参数值，该模型可为行业或系统管理者提供有益参考，帮助他们升级现有系统或提升未来系统的性能。本文除引言外，还分为以下几个部分：第2部分介绍了所提模型的描述及其实际应用依据；第3部分给出了所提模型的控制方程以及用于递归求解的数学分析方法；第4部分阐述了性能指标与成本函数；第5部分运用参数非线性规划方法在模糊环境中分析相关模型；第6部分则介绍了数值实验结果、观察数据以及敏感性分析。第7节中，通过元启发式算法PSO和GA来确定在最优服务率下系统的最低成本。第8节概述了从研究结果中得出的管理启示。第9节以总结性意见结束，强调所做研究的实际应用价值、未来研究方向以及进一步改进的建议。

模型描述与假设
考虑一个M/M/1/K重试排队模型，用于描述具有F策略的故障修复系统，该系统包含K台机器（L台正在工作，S台待命）、一名维修人员，并且采用带有重启机制和反馈功能的准入控制策略。维修人员按照先来后到的原则一次为一台机器提供维修服务。出现故障的机器会一直留在系统中，通过多次尝试修复，直到完全恢复。

系统控制方程与分析
可以通过使用所有系统状态的流入率和流出率以及相关概率来为该排队模型建立控制方程。在本节中，我们为所提出的马尔可夫重试模型建立了稳态方程，其状态转换图如图1所示。
(i) 当状态χ(t)=0时，即维修人员无法处理维修任务，此时出现故障的机器进入系统。

状态的概率方程
性能指标与成本模型
在本节中，我们分析了在准入控制下具有重启和重试功能的故障修复系统的各种性能指标。利用前一节确定的稳态概率，我们将为所提模型建立关键的性能指标。研究这些性能指标对于预测系统行为非常重要。通过了解这些指标，我们可以优化系统，以减少停机时间、提高吞吐量，并确保较高的系统性能。

模糊模型与P-NLP
本研究中考虑的模糊建模并非仅仅作为通过参数变化进行敏感性分析的延伸。在医疗、制造和通信领域，由于波动、估算误差或信息不完整，系统参数如到达率、服务率、重试率以及与重启相关的参数可能无法精确得知。在这种情况下，传统的确定性排队模型可能无法准确描述系统行为。

数值结果
在本节中，我们使用MATLAB软件编写计算机程序，计算各种系统状态的稳态概率以及第4节中确定的其它性能指标。我们通过图表和表格形式呈现数值结果。同时进行了敏感性分析，以研究不同系统参数对性能指标的影响。数值模拟结果有助于了解这些参数的变化对系统性能的影响。

成本优化
在本节中，我们评估了最优维修率μ?，以最小化具有重启、反馈和重试功能的故障修复系统的总成本TC?。该优化问题通过PSO、GA和QNM三种方法求解。这三种方法均按其标准形式实现[26]、[44]、[45]。相应的算法流程、数学公式和实现流程图见附录B。成本优化中的GA参数设置为种群规模NP=20。

管理启示
本研究开发的计算模型为评估具有F策略、重试和重启机制的FM/FM/1/K容错冗余系统的性能提供了定量决策支持框架。研究结果有助于系统管理者和设计者分析维修效率、系统恢复能力、重试行为以及冗余性对系统可用性、吞吐量、预期等待时间和总运营成本等关键性能指标的影响。

结论
在本研究中，我们研究了在确定性和模糊环境下的有限马尔可夫容错冗余可修复系统的性能建模，其中包括F策略、重启、重试和反馈等许多现实特征。通过递归技术成功获得了所提模型的概率分布，进而建立了各种性能矩阵。在实时容错系统中，由于嵌入式软件的复杂性，

作者贡献声明
Parmeet Kaur Chahal：写作——审稿与编辑、方法论、研究、形式分析、概念构建。Lalan Paswan：写作——初稿撰写、方法论、研究、形式分析、概念构建。Madhu Jain：写作——审稿与编辑、监督、方法论、研究。Rakesh Kumar Meena：写作——审稿与编辑、可视化、监督、方法论、研究、形式分析、概念构建。Arvind Kumar Singh：写作——审稿与编辑、监督。

致谢
本研究得到了印度政府科学技术部科学工程研究委员会（SERB）的支持（资助编号EEQ/2022/000842）。作者们衷心感谢审稿人和编辑们提出的建设性、富有洞察力和有价值的意见与建议。

利益冲突声明
作者Rakesh Kumar Meena的研究得到了印度政府科学技术部科学工程研究委员会（SERB）的支持（资助编号）。