融合模糊机会约束与非凸优化的非径向数据包络分析：面向鲁棒可持续性绩效评估的非凸优化方法

《Results in Engineering》：Non-Radial DEA with Fuzzy Chance Constraints: A Non-Convex Optimization Approach for Robust Sustainability Performance Assessment

　　

本研究引入一种非径向数据包络分析（Non-Radial Data Envelopment Analysis，DEA）框架，整合模糊机会约束（fuzzy chance constraints）与非凸优化（non-convex optimization），以应对可持续性绩效评估中的不确定性问题。传统DEA模型常受困于不精确数据与非比例低效性，限制了其在现实应用中的有效性。所提出的方法通过采用模糊输入输出量的凸集表示，克服了这些挑战，从而在不确定条件下实现鲁棒的效率评价。其核心创新在于融入非凸模糊机会约束，通过基于对偶的最小最大优化（minimax optimization）方法捕捉决策变量与不确定数据之间的交互作用。该框架还利用松弛变量（slack variables）对多输入与多输出中的低效性进行详细分解，为可持续性改进提供可操作的见解。在计算层面，模型采用序列二次规划（Sequential Quadratic Programming，SQP）与信赖域方法（trust-region methods）迭代细化凸松弛，其分布式变体支持大规模并行评估。实证结果表明，所提方法优于传统DEA模型，揭示了常规方法常忽略的细微效率差异。其鲁棒性与灵活性使其适用于企业可持续性基准测试、能源管理与环境政策评估等多种场景。通过将模糊集理论（fuzzy set theory）与非凸DEA相结合，该框架为不确定性下的决策提供了实用且理论严谨的工具，推进了可持续运营评估的方法论发展。

该研究背景源于可持续性绩效评估在全球气候变化、资源枯竭与社会责任压力背景下的重要性日益增加，组织需在经济、环境与社会维度间平衡竞争目标以确保长期生存能力。向可持续经济转型不仅需要技术创新，也需要能够应对多目标决策中高维权衡的严谨分析工具，而利益相关者对环境、社会与治理（Environmental, Social, and Governance，ESG）报告透明度的需求使得绩效评估框架的精确性成为企业战略与公共政策的核心支柱。现有方法中，数据包络分析（DEA）因无需预设权重而被广泛用于效率测量，其中径向模型假设输入输出成比例变化，而非径向DEA允许基于松弛的非比例调整，更适用于可持续性情境中低效性在经济社会环境指标间分布不均的场景，DEA已广泛应用于可再生能源、循环经济、绿色供应链等领域，并与联合国可持续发展目标（Sustainable Development Goals，SDGs）关联评估生态效率，动态网络DEA揭示中间产品与共享资源对环境效率的影响，生态效率DEA通过方向距离函数将碳排放等非期望产出纳入生产可能集。然而可持续性评估具有多维标准与不确定操作环境的特征，现有扩展方法存在局限：随机DEA依赖预设概率分布而在可持续性应用中不可靠，鲁棒DEA依赖确定性不确定集而无法捕捉语言信息的认知不确定性（epistemic uncertainty），模糊DEA虽灵活但多数简化非径向结构或假设凸生产技术，经典DEA对凸性的严格坚持忽略了规模经济阈值与监管断点等现实，模糊集理论虽可建模无概率假设的不确定性，但早期模型限于径向效率，先进模糊DEA框架整合复杂却难以融入大规模非径向效率模型且需复杂非线性规划求解器，鲁棒DEA常过于保守或需确定性数据，机会约束DEA依赖已知概率分布，模糊机会约束DEA极少整合鲁棒对偶理论与非凸非径向结构，现实系统的不连续与监管约束违反凸性，传统凸包构造会扭曲真实前沿，非凸框架可发现局部效率陷阱中的隐藏低效性。为此研究人员开展融合非径向效率测量、模糊机会约束与鲁棒基于对偶的非凸优化架构的统一框架研究，得出该框架解决非径向凸性悖论、引入鲁棒对偶重构、提供可扩展计算方案的结论，重要意义在于为不确定性下21世纪可持续性管理提供高度泛化、结构鲁棒的效率审计工具，论文发表于《Results in Engineering》。

研究人员用到的主要关键技术方法包括：将模糊输入输出通过α截集（α-cut）技术转化为确定区间以映射至鲁棒不确定集，整合鲁棒对偶理论以保证原对偶一致性，构建非凸生产前沿以放松凸包假设并通过最小最大（minimax）优化处理前沿不连续性，引入非径向松弛变量（s_i^?、s_r⁺）分解低效性，采用序列二次规划（SQP）与信赖域方法迭代凸松弛求解非凸最小化问题，样本为欧洲12国180家制造企业2022至2024年540个决策单元（DMU）年度面板数据，变量建模为三角模糊数并由专家评估确定不确定系数。

研究结果如下：

1. Introduction 通过综述DEA在可持续性评估中的应用演进与现存局限，指出传统模型在不确定性处理、非径向非凸整合上的割裂发展问题，引出需统一框架以同时处理认知不确定性、保持原对偶稳定性并捕捉不规则前沿步长的研究动机，明确本文从方法论构建、实证验证、讨论与结论展开的结构安排。

2. Methodology 建立融合模糊集理论、鲁棒对偶与非凸优化的统一基础，分六部分阐述：2.1节定义模糊DEA用三角与梯形模糊数及α截集处理认知不确定性并将模糊约束置于可能性测度下；2.2节将模糊α截集区间映射为鲁棒不确定集，通过鲁棒对偶保证原对偶一致性并使保守度由鲁棒预算控制；2.3节论证经典DEA凸假设导致效率陷阱，非凸DEA可捕捉规模报酬突变与监管阈值等不连续，对比凸与非凸DEA在 frontier、规模报酬、低效处理、计算复杂度、可持续性适用性、不确定性鲁棒性、现实保真度的差异；2.4节阐明框架新颖性在于克服凸性陷阱、对偶稳定缺口与主观鲁棒错配，通过最小最大优化嵌入非径向松弛以映射模糊空间至鲁棒区间；2.5节给出非凸模糊机会约束DEA形式化模型，用α截集凸集X_ij(α)、Y_rj(α)表示模糊量，将机会约束重构为关于最坏情形实现的minimax条件并含可能性测度与违反概率ε_i、δ_r；2.6节增广非径向松弛变量s_i^?、s_r⁺至目标与约束，修正效率分为θ_k^*= θ_k? (1/m)Σw_i^?s_i^?? (1/s)Σw_r⁺s_r⁺并在模糊下取最坏情形满足机会条件；2.7节设计算法三阶段：初始化以α⁽⁰⁾=0.5与经典径向DEA初值，迭代细化含凸松弛用一阶泰勒展开构二次子问题、信赖域更新动态调整半径ρ^(t)、α截集自适应α^(t+1)=min(α^(t)+η^(t),1)，收敛判定为θ_k^*相对变化低于τ或达最大迭代T_max；2.8节给出完整数学公式含目标最小化θ_k?ε(Σw_i^?s_i^?+Σw_r⁺s_r⁺)与minimax约束及Σλ_j=1的变规模报酬（VRS），并说明α=1退化为清晰DEA、α=0与α=1截集等价于区间DEA、松弛为零退化为径向DEA；2.9节注明代码以Python实现含SQP、信赖域与α自适应并公开于GitHub。

3. Empirical Validation and Results 以欧洲12国180制造企业540观测值面板验证，3.1节说明样本涵盖能源密集、汽车交通、化工材料、食品饮料、高技术制造五大类并列出输入输出描述统计与三角模糊数由历史均值加减专家定δ_i构成；3.2节对比所提模型与清晰非径向DEA（SBM）、模糊径向DEA、鲁棒非径向DEA在α=0.6、0.8、1.0的平均效率，所提模型得0.65、0.72、0.81且效率跨度0.42至0.91大于基准，更低分源于暴露隐藏低效而非性能差，K-S与t检验p<0.05显著，表明放松凸性消除凸包偏误并防止确定性过优化；3.3节敏感性分析绘10代表性DMU效率随α增加梯度变化，显示模型辨异能力强并可识别宽松置信看似高效但严置信表现脆弱的高风险单元；3.4节核密度估计见能源密集与化工分散大、高技术集中，归因于非线性的环境税收阈值造成的前沿壁垒而非平滑凸包可捕；3.5节计算效率上90%DMU于15至20迭代收敛每α约45秒，借稀疏矩阵与信赖域控开销；3.6节松弛分解见能耗平均输入松弛约12.7%、碳减排平均输出短欠约8.3%，在最坏不确定下评低效给管理安全边际；3.7节Spearman秩相关α=0.6对0.8得ρ=0.914、α=0.8对1.0得ρ=0.885，Wilcoxon Z各为-4.120与-5.340且p<0.001，证排名稳定但前沿界随α显著移，可将决策者风险偏好映至可持续组合而不损相对层级。

讨论部分总结指出该框架填补了认知模糊与非凸结构间的数学不相容，通过minimax架构统一三者，消除传统模型在复杂工业设置中对性能的过高估计，桥接模糊语言可能性与分布鲁棒模糊性，使原对偶稳定在非凸模糊环境可达且提供方向松弛的细粒度诊断，计算上通过序贯凸松弛扩至大规模高维数据集，实证中于欧洲制造群体验证其判别力、敏感性与统计稳健性，揭示传统凸径向模型掩盖的细微效率变异与局部陷阱，为企持基准、能源管理、环境政策提供可操作且理论严谨之工具，推进可持续运营评估方法论。

研究结论翻译为：本研究提出的新框架解决了非径向凸性悖论，引入鲁棒对偶重构并提供了可扩展的计算方案，通过minimax架构统一模糊机会约束、非凸优化与非径向DEA，消除传统模型在复杂工业中对性能的过高估计，桥接模糊语言可能性与分布鲁棒模糊性以保证原对偶稳定，借助序贯凸松弛实现大规模应用，实证证实其判别力与稳健性并揭示传统模型掩盖的细微效率差异，为不确定性下的可持续性管理提供高度泛化与结构鲁棒的效率审计工具。