软化塑性中无需修改标准本构模型的应变局部化：一种可变形Cosserat方法

《International Journal of Engineering Science》：Strain localization in softening plasticity without modifying standard constitutive models: A deformable Cosserat approach

　　

本文提出了一种基于可变形Cosserat模型（deformable Cosserat model）的软化塑性（softening plasticity）应变局部化（strain localization）公式。该方法使得可以直接使用为经典Cauchy连续体（Cauchy continuum）制定的标准弹塑性（elastoplastic）本构模型，而无需修改底层本构例程提供的应力更新算法（stress update algorithm）或局部材料一致切线算子（local material consistent tangent operator）。所提框架的关键特征在于耗散机制（dissipative mechanism）与能量机制（energetic mechanism）之间的严格分离：所有耗散都局限于宏观连续体（macro-continuum），而微观连续体（micro-continuum）仅通过与方向矢量场（director field）相关的线性弹性项（linear elastic terms）贡献。因此，底层弹塑性模型的本构结构得以保留，任何标准的小变形（small deformation）、热力学一致（thermodynamically consistent）的本构模型都可用作黑箱应力更新模块（black-box stress-update module）。内部长度尺度（internal length scale）自然地来源于微观连续体，并控制局部化模式（localization patterns）的发展、相互作用和选择，而不是充当扩散或人工参数。该公式在标准有限元框架（finite element framework）中易于实现：局部本构积分保持不变，而全局残差向量（global residual vector）和切线矩阵（tangent matrix）通过方向矢量场相关的附加线性项进行增强。所提方法的性能通过涉及浅基础（shallow foundation）在土体上的基准问题进行了评估，由于复杂、相互作用且不稳定的局部化机制的产生，这些问题代表了特别严格的测试。研究人员考虑了特雷斯卡（Tresca）和松冈-中井（Matsuoka–Nakai）塑性模型，包括表现出高度不稳定峰后响应（post-peak response）的情况。数值结果表明，即使在强非线性且相互作用的局部化过程中，荷载-位移响应（load–displacement response）、耗散能量（dissipated energy）和剪切带模式（shear-band pattern）也会在网格细化时收敛。这些发现表明，所提框架为软化塑性中应变局部化的网格客观分析（mesh-objective analysis）提供了一条有前景的途径，同时保留了底层弹塑性模型的本构结构。

#### 论文解读：基于可变形Cosserat方法的软化塑性应变局部化建模

##### 研究背景、问题与意义

在岩土工程和结构分析中，经典Cauchy连续体框架下的弹塑性本构模型被广泛应用。然而，为捕捉材料（尤其是地质材料）的行为特征，常需引入应变软化（softening），这会导致严重的数值和理论困难：边界值问题可能丧失椭圆性（ellipticity），表现为数值模拟中的病态网格敏感性（pathological mesh sensitivity）。具体而言，计算响应不随网格细化而收敛，局部化变形带的宽度依赖于离散尺寸，这直接影响了数值分析的可靠性和鲁棒性。现有多种方法试图克服此问题，例如基于刚性Cosserat模型（rigid Cosserat model）的力学增强、梯度增强塑性模型、粘塑性公式及非局部方法等。但这些方法通常需要在本构描述中直接引入附加场，要求专门的实现策略，且常与现有标准弹塑性模型结合困难。鉴于此，研究人员基于Rubin（2025a, 2025b）提出的可变形Cosserat模型（deformable Cosserat model），发展了一种无需修改标准本构模型即可实现软化塑性应变局部化网格客观分析的新框架。该论文发表于《International Journal of Engineering Science》。

##### 主要技术方法

研究人员采用了以下关键技术方法：（1）可变形Cosserat模型：该模型包含宏观连续体与微观连续体，两者本构不耦合，宏观连续体处理所有耗散，微观连续体仅通过方向矢量场的线性弹性项贡献能量，内部长度尺度（?）自然来源于微观连续体。（2）有限元实现：采用等参单元，位移场用二次形函数，方向矢量场用线性形函数；宏观应力更新直接调用标准弹塑性本构（如Tresca、松冈-中井模型）的应力更新算法和局部材料一致切线算子，微观部分贡献线性项，无需修改底层本构例程。（3）基准问题验证：以平面应变条件下的浅基础为对象，考虑了Tresca土（无排水条件）和松冈-中井土（有自重、排水条件）的完美塑性和软化响应，使用多个均匀细化网格（Mesh1~4）评估网格客观性，并采用弧长法处理不稳定峰后行为。

##### 研究结果

**4.1 Tresca粘性土**：对于完美塑性情况，可变形Cosserat模型在极限?→0时恢复经典Cauchy解（Prandtl解），且随?增加出现轻微尺寸效应。对于指数软化情况，荷载-位移曲线、耗散能量及沿土体上边界的累积塑性应变（??_p）剖面均随网格细化而收敛；剪切带模式（以κ分布表示）在r=?/B=2×10^-3时接近经典Prandtl机制，在r=10^-3时形成更丰富的次级带网络且跨网格一致，而在r=6×10^-4时主带一致但次级带仍需更细网格。微弹性参数k₁、k₂对峰后荷载影响适中且趋于饱和。

**4.2 受自重的松冈-中井土**：完美塑性N_γ问题中，模型在极限?→0时恢复经典解，且微弹性参数影响可忽略。对于剪切角软化情况，采用弧长法成功处理了不稳定峰后响应。在r=4.5×10^-4时，荷载-位移曲线、耗散能量及??_p剖面在Mesh3和Mesh4间高度收敛；剪切角?的分布显示主次级带在峰值荷载及后续各关键点均跨网格一致。不同?值引起质变：较小?（如4.5×10^-4）导致多组剪切带和强烈不稳定软化，较大?（如10^-3）趋于更简单的双主带机制。

##### 讨论与结论

讨论部分指出，可变形Cosserat模型通过微观连续体与宏观连续体之间的强运动学耦合实现正则化：在均匀变形时微观连续体不激活（χ=0），仅在应变梯度强烈的局部化区域激活，产生与相对应变（χ=?-η）相关的附加能量惩罚，从而迫使局部化带发展出由?控制的有限宽度，而非由网格决定。该机制不同于刚性Cosserat模型（需在本构中显式引入微观应力）和梯度增强模型（直接在本构描述中引入长度尺度）。结论部分翻译如下：本文通过Rubin和Panteghini（2026）提出的可变形Cosserat模型的小变形特化，研究了软化塑性中的应变局部化，并给出了相应的有限元实现。该模型由两个相互作用的连续体组成：宏观连续体和微观连续体；它们的本构响应不耦合，相互作用由线动量平衡和方向矢量动量平衡及相应边界条件控制。宏观连续体控制所有耗散响应，由标准弹塑性本构定律描述；微观连续体非耗散，仅通过方向矢量场与材料线元之间不匹配以及方向曲率相关的附加能量项贡献，因而仅在应变场出现足够强的空间变化时激活，并控制局部化模式的结构。所提方法的主要优势在于，由于这种本构结构，用于经典Cauchy连续体的标准弹塑性本构定律可用于宏观连续体，而无需修改局部应力更新算法或局部材料一致切线算子。关键方面是可变形方向矢量设置提供的更强运动学耦合足以在不引入微观塑性时影响局部化。数值结果支持以下结论：所提模型是描述软化塑性中演化应变局部化模式的力学意义框架，同时保持了宏观连续体水平上标准弹塑性本构更新的实际简便性。