一种基于区间值费马模糊集的三向决策方法在机械产品设计中的应用

《Applied Soft Computing》：A novel interval-valued Fermatean fuzzy sets based three-way decision-making method for mechanical products design generation

　　赵聪|任凯|黄兆哲|傅洪生|徐远平|金金|张宗政|曹彦龙
中国浙江省杭州市浙江大学机械工程学院流体动力与机电系统国家重点实验室，邮编310058

摘要
机械产品设计给工程师带来了诸多挑战，需综合考虑形态、尺寸、功能及精度要求等因素。现有设计方法多依赖历史数据，但仅能在信息充足时实现数据复用；当信息缺失时，难以找到合适的参考案例。此外，大多数方法仅检索相似度最高的历史案例，而忽视了相似度较低案例的潜在价值。为此，本文提出一种基于区间值费马模糊集理论的新型三重决策方法。该方法首先利用区间值费马模糊集计算目标案例与历史案例之间的总相似度，构建稳健的缺失数据处理模型，进而通过三重决策方法实现案例分类。与传统方法仅能进行案例排序不同，该方案支持多属性下的历史案例检索与排序，并将其划分为正区、边界区和负区。正区的历史案例可根据各属性的相似度相互补充。最后，通过完整数据与不完整数据场景下的机械产品设计实验，验证了该方法的合理性与稳定性。

引言
在竞争日益激烈的背景下，现代制造企业亟需实现快速高效的机械产品设计[11][18]。工程师需综合考虑几何形态、尺寸、功能及公差要求，这些标准既源于行业标准，也基于经验知识。尽管机械产品设计成本仅占总产品成本的5%，但它却决定了产品成本的70%至80%。因此，机械产品设计对于提升产品质量和设计效率至关重要。

众所周知，机械设计数据存储在企业早期积累的大量设计案例中，设计师们经常参考这些数据。合理利用历史数据可提高设计效率并保持设计一致性[8][37]，因此历史设计数据的复用十分必要。为解决诊断[2][38]、预测[1][47]、机械设计[10][30]以及图像处理[5][24]等复杂问题，人们开发了多种扩展复用模型。王等人[34]提出了一种改进的复用方法，通过赋予不同权重从问题与解决方案中提取隐含知识，实验结果表明其适应准确率达84.49%。龙等人[19]基于产品功能特征分析提出了参数扩展复用方法。秦等人[28]则开发了一种基于本体的计算机辅助公差规范设计方法，通过描述公差特征、零件特征及拓扑关系来实现历史案例的检索与复用。不过，上述方法虽依赖设计需求与历史数据之间的相似度，但仍需对历史案例进行明确描述，且现有模型在案例表示方面仍存在局限。

机械产品设计场景中往往存在模糊不清的数据，从而导致结果不确定性。机械产品设计案例通常由精度、结构要求等多重属性描述，很难给出精确的数值。为解决这一问题，本文引入了模糊集[48]。Senapati等人[32]提出了费马模糊集，与直觉模糊集和毕达哥拉斯模糊集相比，费马模糊集的隶属度与非隶属度以区间形式呈现[50][52]，且满足特定条件，其中与分别为隶属度与非隶属度的程度。这一特性为评估备选方案提供了更广阔的应用空间，能更准确地描述不确定性[16][17][25][29][36]。随后，Jeevaraj[31]进一步发展了费马模糊集，引入双区间值，形成了区间值费马模糊集，其隶属度与非隶属度均以区间形式表达。不精确的信息可通过区间值而非具体数值来表示，因此区间值费马模糊集在处理不确定性方面的应用潜力优于其他几种模糊集。例如，Mishra等人[22]便利用区间值犹豫费马模糊集解决了合适的海水淡化技术选择问题。将区间值费马模糊集与决策方法结合，具有更广阔的应用前景。Kirisci[13]将该方法应用于自动驾驶系统的评估，从六个主要准则和十五个子准则出发，实验结果表明该方法的可行性与有效性。然而，在实际应用中，缺失数据仍是不可避免的问题，区间值费马模糊集在处理缺失数据方面存在局限性，需进一步研究以降低不确定性。

传统方法仅对备选方案进行排序并复用排名最高的方案，缺乏分类功能。三重决策方法源自粗糙集理论[14][44]，旨在通过计算最小风险将讨论域划分为正区、边界区和负区。该方法已广泛应用于碳交易[15]、新能源汽车[6]、疾病评估[4][33]等领域。Yin等人[46]提出了一种结合直觉模糊集与三重决策方法的技术，医学诊断实验表明该方法能够判断患者是否同时患有多种疾病。秦等人[27]将区间值费马模糊集引入多属性三重决策方法，将备选方案分为正区、边界区和负区，实验验证了该方法的有效性。由于三重决策方法可将历史案例划分为可复用、需调整和不可复用三类，因此可用于机械产品设计。现有的基于区间值费马模糊集的三重决策方法通常根据给定的多属性评估矩阵选择一个或多个最优候选方案，如酒店选址问题所示。但这些方法缺乏针对目标对象的匹配与检索功能，即无法筛选出最合适的候选方案。

在机械设计领域，正区的历史案例被视为可用案例，但如何高效利用它们仍需结合排序方法进一步研究。综上，目前仍存在以下研究空白：首先，不确定信息可能导致结果变化。在信息完整的情况下，上述方法可有效运行；但在信息不全或不确定时，需补充缺失值才能继续分析。其次，现有方法仅能识别最优候选案例，未能选出最符合设计要求的方案。第三，这些方法仅具备排序功能，缺乏分类功能。在机械产品设计中，工程师需要将同类案例作为参考，再基于目标案例所属的类别进行设计。由于往往存在多个参考案例，因此亟需解决上述问题。为此，我们提出一种基于区间值费马模糊集的三重决策方法用于机械产品设计。具体贡献如下：（1）基于单属性相似度提出了总相似度模型，该模型通过上下距离定义相似度，并建立了不完整数据系统下的相似度模型。（2）提出了缺失值处理模型，并设计了四种不同的缺失值填充方法。（3）开发了一种基于三重决策方法的设计优势聚合方法，并给出了相应算法。（4）通过机械产品设计实验及对比实验，验证了该方法在处理不确定性方面的可行性与优越性。

本文结构如下：第2节简要介绍与本研究相关的基本定义和概念。第3节构建基于区间值费马模糊集的相似度计算与缺失数据处理方法。第4节提出机械设计的三重决策模型。第5节通过案例研究及对比实验展示该方法的效果。第6节对全文进行总结。

初步介绍
本章简要介绍本文涉及的概念和定义。

基于区间值费马模糊集的相似度匹配模型
图1展示了所提方法的整体结构。首先，在3.1节中，根据不同属性将机械设计案例表示为区间值费马模糊集，可通过上下距离及单属性相似度来计算总相似度。3.2节介绍了不完整数据处理模型。第4节详细阐述了用于机械案例分类的三重决策方法。3.1节首先介绍了……

机械设计中的三重决策模型
历史案例按总相似度从高到低排序，选取总相似度最高的案例进行复用（通常只有一个且必须有一个）。但这种方法忽视了总相似度较低案例的潜在优势。例如，案例A的总相似度为0.9196，案例B的总相似度为0.8533，此时会选取案例B进行复用。但实际上，案例A中某属性的相似度低于案例B。对于此类案例……

实验与分析
本章通过实验全面评估所提方法。首先，以机械产品设计为例，演示了完整数据系统与不完整数据系统下的处理步骤。随后，通过敏感性分析从不同角度验证方法的稳健性与合理性。最后，通过与现有方法比较，进一步验证了所提方法的性能。

结论
本文提出了一种用于机械产品设计案例复用的新方法。该方法将案例表示为区间值费马模糊集，因其能在大范围内描述不确定数据，因此可综合考虑多属性来构建历史案例与目标案例之间的相似度。通过结合上下距离相似度模型，可实现全面评估。此外，该方法还提出了适用于实际场景的缺失数据处理方法，确保了方法的稳健性。

CRediT作者贡献声明
赵聪：写作——审稿与编辑，写作——初稿，验证，方法论，研究，形式分析，概念构建。任凯：写作——审稿与编辑，形式分析，概念构建。黄兆哲：可视化，形式分析。傅洪生：项目管理，研究，数据整理。徐远平：研究。金金：软件，数据整理。张宗政：方法论，概念构建。曹彦龙：写作——审稿与编辑，监督。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。

致谢
本研究得到了中国国家重点研发计划（项目编号：2023YFB3307202）的支持。