基于NURBS的自由曲面成像系统渐进协同设计方法

《Results in Optics》：Progressive synergistic design method for freeform imaging systems with NURBS

　　

非均匀有理B样条（Non-Uniform Rational B-Spline, NURBS）提供灵活的局部控制和高自由度，使其适用于成像系统设计。然而，由于设计不稳定性和收敛困难，NURBS系统的高维设计仍具有挑战性。因此，研究人员提出了一种用于NURBS系统的渐进协同设计方法（Progressive Synergistic design method）。在设计过程中，采样视场（sampled fields）的数量和表面网格（surface grids）的密度逐步增加，以提高收敛稳定性。同时，表面的位置、朝向和形状被迭代并协同地视为设计变量，以构建具有较少像差的几何结构。此外，在初期设计阶段采用均方根点斑直径（RMS spot diameter）作为评价函数（merit function），以加速收敛并抑制调制传递函数（Modulation Transfer Function, MTF）振荡；后期阶段则采用均方根波前误差（RMS wavefront error）进行更精确的像差校正。研究人员提出了一种基于NURBS的工作流程，能够从圆锥曲面（conic-type surface）初始系统出发设计离轴三反射镜系统（off-axis three-mirror system）。最后，在相同规格下对多个NURBS系统和XY多项式自由曲面系统进行表面形状敏感度分析（sensitivity analysis）。在所呈现的案例中，NURBS系统的表面形状敏感度（sensitivity of surface shape）较低，表明NURBS在提升成像系统可制造性方面具有潜在价值。

本篇论文解读基于《Progressive synergistic design method for freeform imaging systems with NURBS》一文，发表于《Results in Optics》。
**研究背景与问题**
随着空间探索和光学遥感对宽视场、高分辨率、紧凑型光学系统需求的增长，离轴反射系统因其消色差性能和紧凑结构而受到关注。然而，传统旋转对称表面提供的设计自由度不足，难以完全校正非对称像差。因此，引入自由曲面成为进一步提升性能的关键。当前，自由曲面常由XY多项式或Zernike多项式表示，但这些表示在有限阶次下描述具有局部特征的复杂曲面时能力有限。非均匀有理B样条（Non-Uniform Rational B-Spline, NURBS）凭借灵活的局部控制、与先进制造工艺的良好兼容性以及高设计自由度，特别适用于复杂光学系统设计。然而，NURBS无法像多项式曲面那样高效优化，限制了其在成像系统设计中的广泛采用。此前已有研究尝试通过并行光线追迹或自动微分技术加速NURBS系统设计，但通常仅将表面形状作为设计变量而固定位置和朝向，且大量采样视场和过多控制点可能导致设计不稳定和收敛困难。因此，建立一种收敛稳健、成像质量高的NURBS系统设计方法仍是待解决的问题。
**研究内容与结论**
研究人员提出了一种用于NURBS系统的渐进协同设计方法（Progressive Synergistic design method）。该方法通过逐步增加采样视场数量和表面网格密度来提高收敛稳定性，同时将表面位置、朝向和形状迭代协同优化，并在不同设计阶段依次采用均方根（RMS）点斑直径和RMS波前误差作为评价函数以抑制调制传递函数（MTF）振荡。采用Adam算法进行高维参数优化，最终从圆锥曲面初始系统出发成功设计了NURBS离轴三反射镜系统。实验结果表明，该系统RMS波前误差从4.8704λ降至0.036λ，RMS点斑直径从1.2783 mm降至0.0173 mm，MTF接近衍射极限，验证了方法有效性。在相同规格下，对设计的NURBS系统和XY多项式自由曲面系统进行了表面形状敏感度分析，结果表面对三个反射镜，NURBS系统的敏感度均低于XY多项式系统（例如主镜分别为0.2891和0.3629），表明NURBS可能通过局部控制更接近理想表面形状，从而降低制造敏感度，提升可制造性。这些发现表明NURBS在成像系统设计与制造中具有潜在优势。
**关键技术方法**
研究人员主要采用了以下关键技术方法：提出渐进协同设计方法，逐步增加采样视场从4个到25个，同时逐步增加NURBS表面网格密度（从3×3到17×17或33×33），以提升收敛稳定性。协同优化位置、朝向和表面形状，通过“位置朝向-主镜-次镜-三镜-位置朝向”循环迭代校正像差。采用分阶段评价函数：初期使用RMS点斑直径加速收敛并抑制MTF振荡，后期使用RMS波前误差进行精细校正。利用Adam算法（初始化学习率0.01）进行高维参数优化，并通过MATLAB与CODEV联动平台实现闭环设计。敏感度分析中，对每个表面生成指定RMS值（λ/70）的随机Zernike误差（前36项扣除活塞、倾斜和离焦），计算1000次样本的平均敏感度。
**研究结果**
**3. NURBS系统设计结果与讨论**
**初始系统转换与评估**：将圆锥曲面初始系统转换为NURBS系统，采用最小网格点数（主镜次镜3×3，三镜17×17），初始RMS波前误差为4.8704λ，RMS点斑直径为1.2783 mm，MTF与衍射极限差距显著。
**位置与朝向优化**：首先将位置和朝向作为设计变量进行优化，RMS波前误差降至2.1131λ，RMS点斑直径降至0.5557 mm（降幅超50%），证明先优化位置朝向对像差校正的重要性。
**渐进协同迭代过程**：在此基础上依次设计主镜、次镜、三镜表面形状，再优化位置朝向，逐步增加采样视场（4→9→16→25）和网格密度（主镜次镜3×3→17×17，三镜17×17→33×33）。RMS波前误差随迭代呈下降曲线。三镜表面出现明显局部形变，体现了NURBS的局部控制特性；平均绝对矢高变化分别为5.6 μm、4.9 μm、4.0 μm，最大变化为10.3 μm、7.4 μm、15.5 μm。
**最终系统性能**：最终RMS波前误差降至0.036λ，RMS点斑直径降至0.0173 mm，MTF接近衍射极限，证明渐进协同设计方法成功实现了从圆锥曲面到NURBS离轴三反射镜系统的有效设计。
**敏感度分析**：在相同规格下，对NURBS系统和XY多项式系统进行表面形状敏感度分析（表3、表8、表9），NURBS系统的三个反射镜敏感度均更低（如主镜0.2891 vs 0.3629），表明NURBS因局部控制能力更接近理想面形，对表面误差的敏感度更低，有助于提升可制造性。
**讨论与结论**
讨论部分指出，该方法当前因串行调用CodeV进行光线追迹而收敛较慢，未来可通过在Matlab中实现并行光线追迹和算法优化消除延迟；虽然计算量大于自动微分设计方法，但提供了更高维设计空间的收敛稳定性。结论部分总结：本文提出了一种用于NURBS自由曲面成像系统的渐进协同设计方法，通过逐步增加采样视场和表面网格密度、协同优化位置朝向和形状、分阶段采用RMS点斑直径和波前误差评价函数，提高了设计过程的收敛性和稳定性，并抑制了MTF振荡。采用Adam算法建立了工作流程，从圆锥曲面初始系统出发成功设计了NURBS系统，RMS波前误差从4.8704λ降至0.036λ，RMS点斑直径从1.2783 mm降至0.0173 mm，MTF接近衍射极限。对多组NURBS和XY多项式系统进行表面形状敏感度分析表明，NURBS有望实现更低的表面形状敏感度，从而在成像系统设计与制造中展示潜在优势。为进一步验证这一潜力，未来需要更多NURBS光学设计和分析。