基于物理信息的算子学习方法，用于在非结构化网格洪水基准测试中实现快速的水位图到场量预测

《Journal of Hydrology》：Physics-informed operator learning for rapid hydrograph-to-field prediction on an unstructured-mesh flood benchmark

　　

李一辰|叶强|张善良|刘铁锤|曾凌兆

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  PI-DeepONet能够在非结构化网格上快速实现二维洪水替代建模。
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  多输出算子学习方法能够保留地形细节与水流动态特征。
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  基于物理的正则化处理提升了体积一致性及波浪追踪精度。
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  在当前设置下，其推理速度远快于基于CPU的HEC-RAS软件。

引言

实时洪水预报可通过及时预测洪水波传播路径与淹没动态来为应急响应提供支持（Merz等人，2010；Cloke和Pappenberger，2009；Alfieri等人，2013；Milly等人，2008）。目前的业务流程仍主要依赖基于物理的水动力求解器（如水利工程中心的河流分析系统HEC-RAS）来分析二维洪泛区的水文过程（Brunner，2010；Bates等人，2010），但对于大规模区域、高精度网格以及快速变化的边界条件，其计算成本往往过高。这限制了高精度全场预测在快速情景筛选和关键决策支持中的应用（Bates等人，2010；Benner等人，2015；Hesthaven等人，2016；Haces-Garcia等人，2025）。

近年来，基于深度学习的替代模型加速了水动力预测的发展（Bentivoglio等人，2023；Haces-Garcia等人，2025）。例如，Liu等人（2024）展示了深度学习替代模型在二维浅水动力学下的水深反演中的应用价值，体现了机器学习在处理复杂地形特征方面的潜力。此外，还有研究提出了将神经网络与数值求解器相结合的混合设计，以提升模型的物理一致性（Taghizadeh等人，2025）。然而，许多替代模型对边界条件变化仍较为敏感；当入流流量曲线或水力状况与训练条件不同时，其性能会下降，因为纯数据驱动的方法可能会产生违反物理规律的预测结果。如何在保持物理合理性的同时提升模型对不同入流场景的泛化能力，仍是针对时变入流场景设计的替代模型面临的关键挑战（Pappenberger等人，2006；Bentivoglio等人，2023）。

深度学习洪水替代模型大致可分为数据驱动函数逼近器、算子学习模型以及物理信息学习框架三类。算子学习通过学习函数空间之间的映射关系来解决这一问题（Lu等人，2021；Kovachki等人，2023），适用于几何形状固定但边界条件变化的场景。而物理信息学习则通过在训练目标中引入控制方程残差或物理约束来提升模型的物理一致性。本文提出的PI-DeepONet结合了这两种思路：它既通过学习水文图到场量的算子来实现快速推理，又利用简化后的SWE残差对所学映射进行正则化处理。深度算子网络（DeepONet）提供了一种神经算子架构，可用于近似这类非线性求解算子，从而实现对未知入流函数的快速推理（Lu等人，2021；Wang等人，2021；He等人，2024b；Lim等人，2025）。不过，如果仅基于数据训练，DeepONet产生的结果可能会违反守恒定律，尤其是在训练数据覆盖不足的场景中（Karniadakis等人，2021；Wang等人，2021）。

物理信息机器学习则通过将控制方程嵌入训练目标，为提升数据利用效率与物理一致性提供了另一种途径（Karniadakis等人，2021；Ye等人，2025）。针对浅水问题，人们已经探索过类似PINN的建模方法，这些方法通常用于一维场景或回归型神经网络（Raissi等人，2019；Cedillo等人，2022；Tian等人，2025）。相比之下，适用于二维浅水系统的可扩展物理信息算子学习方法仍较少被研究。现有的应用大多局限于一维稳态情况（Cedillo等人，2022）或特定的二维案例（Tian等人，2025）。因此，本研究并未试图开发通用的实时预报系统，而是选择在一个高分辨率的非结构化网格基准测试平台上，对算子学习中的物理正则化效果进行可控评估。通过将时变的上游水文图映射到全场水文动态，我们研究了在典型的非稳态条件下，PI-DeepONet是否能在保持快速推理的同时，输出更具物理意义的诊断结果。为解决非稳态过渡阶段的数值刚性问题，我们还加入了干湿掩膜等实用稳定机制，旨在提升事件尺度下的体积行为表现及波浪追踪精度，使其优于纯数据驱动的基准模型。

具体而言，本研究的贡献主要有三点：（1）我们利用HEC-RAS生成的参考场，建立了一个高分辨率的二维非结构化网格基准测试平台，用于固定域条件下的水文图到场量替代建模研究。（2）我们提出了一种经过物理正则化的DeepONet框架，在训练过程中通过引入简化的二维浅水方程残差作为软约束。（3）我们通过外分布场景测试、干湿锋面行为分析、体积诊断以及在同一非结构化网格上使用的原生网格图神经网络基准模型（Native-MeshGNN），评估了该替代模型的泛化能力与物理一致性。通过将PI-DeepONet与结构相同的DeepONet基准模型以及基于水文条件的网格GNN对比模型进行比较，我们分析了物理正则化的作用，并为当前基准测试下的替代模型提供了更全面的参考依据。从某种意义上说，这项研究是对高分辨率非结构化洪水域中，基于物理的正则化如何影响结构相同DeepONet替代模型行为的可控性基准研究。而MeshGNN的对比则旨在作为一种跨模型的代表性参考，而非对现有各类洪水替代模型进行全面排名。

章节要点

二维浅水方程

在河流和洪泛区的洪水传播模拟中，通常会使用二维浅水方程（2D SWEs），这类方程也被广泛应用于HEC-RAS等工程水动力求解器中。在本研究中，HEC-RAS用于提供基准参考场，而PI-DeepONet则在训练过程中采用简化的二维浅水方程残差作为软物理约束。这种简化的残差并非用于完全复现HEC-RAS的完整公式，而是用于保留其中最关键的物理特性

问题构建

本研究开发了一种替代模型框架，用于在固定域的二维洪水基准测试环境下评估水文图到场量算子学习的效果。该框架的核心任务是学习如何将任意的入流水文图$Q(t)$映射到各类水动力变量的全场解上。具体而言，输入为离散化的上游入流水文图，输出则为所有空间单元和时间步的全场水深及流速分量，以此来近似描述水文的时空演变过程

稳态流分析

如表2所示，误差指标会分别针对内分布场景和外分布场景进行评估。虽然在训练数据范围内，两种模型的表现都相当不错，但纯数据驱动的DeepONet在外分布场景下性能会大幅下降。相比之下，PI-DeepONet的泛化能力有显著提升，其整体平均均方根误差和平均绝对误差降低了近40%，同时在外分布场景下的R2值仍保持在0.92以上。由于基于百分比的误差可能具有人为偏差

结论

本研究提出了一种基于物理信息的深度算子网络（PI-DeepONet），可用于在高分辨率非结构化网格洪水基准测试平台上实现快速的水文图到场量预测。该框架结合了结构相同的多输出DeepONet核心结构、简化的二维浅水方程残差正则化方式以及软边界约束机制，从而能够学习到从上游水文图到全场水深及流速状态的映射关系。

在所评估的各类稳态和非稳态基准测试场景中，

CRediT作者贡献说明

李一辰：论文撰写——审阅与编辑、论文撰写——初稿撰写、可视化处理、验证工作、软件开发、方法设计、研究实施、数据整理。叶强：可视化处理、软件开发、方法设计、研究实施。张善良：论文撰写——审阅与编辑、软件开发、资源协调、资金获取、正式分析。刘铁锤：验证工作、资源协调、研究实施。曾凌兆：论文撰写——审阅与编辑、项目监督、项目管理、正式分析、概念构思。

未引用参考文献

Dimitriadis等人，2016；He等人，2024a；Kingma，2014；Pang，2024。

利益冲突声明

作者声明不存在任何可能影响本研究结果的已知财务利益冲突或个人关系。

致谢

本研究得到了浙江省“水资源保护工程”科学研究项目中的“公开招标选拔最优候选人”项目的支持（项目编号：RA + 202506）。