基于可靠性函数的多项式族：性质、估计方法及应用

《RELIABILITY ENGINEERING & SYSTEM SAFETY》：A polynomial family based on reliability function: Properties, estimation methods, and applications

　　阿莱姆·杰巴尔|奥胡德·A·阿尔卡西姆|哈利姆·泽格杜迪|苏莱·奥梅扎·巴希鲁|艾哈迈德·M·杰梅伊摘要：本研究提出了一类具有两个额外参数的新的连续分布族，称为双参数多项式生存分布族（TPPSF）。同时还提出了双参数多项式威布尔分布（TPWD），该分布融合了威布尔分布的生存函数。TPWD的原始矩和中心矩可通过其关于原点的r阶阶乘矩的一般表达式来推导。此外，还给出了其变异系数、偏度、峰度以及离散指数的表达式。TPWD的参数可通过15种估计方法进行估算，包括最大似然法、安德森-达林法、克拉默-冯米塞斯法、间隔最大乘积法、最小二乘法、右尾安德森-达林法、加权最小二乘法、左尾安德森-达林法、最小间隔绝对距离法、最小间隔绝对对数距离法、安德森-达林左尾二阶法、柯尔莫哥洛夫法、最小间隔平方距离法、最小间隔平方对数距离法以及最小间隔linex距离法。通过随机生成的数据集对这些估计方法的表现进行了评估。为展示其实际应用价值，还将TPWD应用于两个真实数据集。引言：概率分布在经济学、工程学、生物学、商业领域以及医学科学等众多学科的数据建模中起着至关重要的作用。为提升概率密度函数和风险率函数的灵活性与适用性，以更好地反映现实数据的多样性，人们开发出了多种分布扩展技术，这些技术包括组合法、参数添加法以及变换法。例如[1]提出的方法、[2]提出的库马拉斯瓦米方法，以及[3]开发的变换器变换法等。如需进一步了解分布扩展的相关内容，感兴趣的读者可参考[4][5][6][7][8][9]。文献中还提出了许多寿命分布及广义模型，旨在让传统分布更具灵活性。这类模型在现实数据不遵循简单规律的情况下非常有用，尤其适用于可靠性与生存分析、工程学以及医学研究领域。然而，一些广义模型由于参数众多而变得相当复杂，从而增加了估计和解读的难度，在某些情况下甚至无法明确推导出重要的统计特性。正因如此，人们仍然需要那些既简单又灵活、能够描述各种数据形态且数学上易于处理的分布族。本研究的主要动机之一，便是将多项式函数引入生存函数中，从而构建出一个具备理想统计特性且能很好地应用于现实数据的灵活分布族。威布尔分布、指数分布和伽马分布等经典寿命分布常被用于可靠性与生存分析领域，但这些分布缺乏足够的灵活性，难以处理复杂的 数据结构。例如，指数分布的特征是风险率恒定，而威布尔分布仅允许单调的风险率形态，这些限制使得它们难以对具有非单调风险率形态、高偏度或重尾特征的数据进行有效建模。这就促使人们致力于创建更灵活的分布，以便能够处理多种类型的数据模式。鉴于上述局限性，开发出能够反映现实数据复杂性的更灵活的统计模型显得十分重要。概率论和统计分布中有很多概念可以应用于统计学领域，人们始终在寻求比现有模型更精确的模型。在此背景下，本文引入了一种名为双参数多项式生存分布族（TPPSF）的连续概率分布族，它是由多项式函数与生存函数相结合而成的。据我们所知，这是该技术首次在文献中被应用。不过，已有不少研究者采用过多项式-指数组合形式，比如布沙赫德和泽格杜迪[10]、萨赫和萨哈尼[11]、贝格里切等人[12]、谢诺等人[13]以及布塞巴等人[14]。本研究的主要目标是介绍这一分布族并探讨其潜在应用。特别地，我们考虑了一种特殊情形，即生存函数遵循双参数威布尔分布，由此便得到了双参数多项式威布尔分布（TPWD）。TPWD的一些重要特点如下：•TPWD的概率密度函数为单峰分布，因此能够用于建模工程学、流行病建模以及计算科学等领域中的各类数据。此外，风险率函数可根据形状参数的不同呈现递增或单峰形态，这使得该分布非常适合用于建模不同的寿命行为。•TPWD具有封闭形式的累积分布函数，这为其在金融、环境研究、质量控制、可靠性分析以及生存分析等领域的应用提供了便利。•TPWD的生存函数、各阶矩及相关度量、熵值、模糊置信有界期望值函数、尾风险值以及尾方差均可通过封闭形式获得，这对于分析完整数据与截断数据非常有帮助。•TPWD的参数可通过15种频率学派估计方法进行估算。我们通过模拟研究分析了这些方法的性能，结果表明，在不同条件下，所有估计器都能给出可靠的估计结果。•我们将TPWD应用于来自不同领域的两个真实数据集，测试结果显示，相较于其他几种竞争性分布，TPWD的拟合效果更为出色，充分证明了其在建模复杂数据模式方面的实用性。本文的结构如下：第2节介绍了双参数多项式生存分布族（TPPSF）的数学构造、NTPW分布的公式及其关键特性；第3节探讨了TPWD的各种统计特性；第4节详细阐述了TPWD的参数估计方法；第5节展示了模拟研究的结果；第6节说明了NTPW模型在两个真实数据集中的应用情况；最后，第7节给出了总结性意见。一般情形：我们可以通过以下公式得到一个分布族：f(x;λ,μ)=C(λ,μ)p(x)S1x,λ,μ，其中C(λ,μ)是定义在]0,∞[上的实值参数函数，S1x,λ,μ是某个已知双参数分布的生存函数，p(x)=∑k=0nakxk，其中ak>0，k从0到n?。命题1：若X是一个非负随机变量，x>0，且多项式p1(x)=∑k=0nakk+1xk+1，其中ak>0，k从1到n?，那么p1(x)S1x,λ,μ<∑k=0nakExk+1。证明：利用扩展版的马尔可夫不等式（当Exk存在时，有PX>x0），可得∑k=0nakxk+1/PX>x=a0x/PX>x。生存函数与风险率函数：TPWD的生存函数和风险率函数分别为S(x;λ,μ)=1?F(x;λ,μ)=Γ2μ/(xλ)μΓ2μ，h(x;λ,μ)=f(x;λ,μ)S(x;λ,μ)=μxe?xλ/μλ2Γ2μ/(xλ)μ。当x=0和x=∞时，风险率函数(5)的行为分别为h(0;λ,μ)=0，当μ<1时，h(∞;λ,μ)=0；当μ≥1时，h(∞;λ,μ)≠0。命题3：TPWD的风险率函数h(x;λ,μ)具有以下特性：1. 若λ>0且μ≥1，则h(x;λ,μ)呈递增趋势；2. 若λ>0且μ<1，则h(x;λ,μ)为单峰分布。证明：根据Glaser（1980）[15]的研究以及概率密度函数(2)，我们有ρ(x;λ,μ)=?f′(x;λ,μ)/f(x;λ,μ)=μxλ/μ?1/x，进而可得ρ′(x;λ,μ)=1/x2μ?1/μxλ/μ+1。估计方法：本节重点介绍用于估计所提模型参数的方法。这些技术旨在通过优化目标函数——无论是最大化还是最小化——来获得最准确的参数估计值。其中一些方法也曾被用于之前的研究[17][18]。数值模拟：本节通过大规模模拟研究，评估了各种竞争性估计方法在估计所提模型参数时的性能。我们利用该分布的分位数函数生成了样本量分别为n=15、55、110、180、250和350的随机样本，随后通过多种评估标准来衡量各估计器的性能，这些标准包括绝对偏差（|Bias(τ?)|=1/D∑i=1^D|τ??τ|）、均方误差（MSE=1/D∑i=1^D(τ??τ)2）以及均值。真实数据分析：本节通过评估所提模型在两个真实数据集上的表现，来考察其实际应用价值。该模型将与威布尔分布（WD）[21]、逆威布尔分布（IWD）[22]、灵活威布尔扩展分布（FWD）[23]、逆灵活威布尔扩展分布（IFWD）[24]、广义逆威布尔分布（GIWD）[25]、指数分布（ED）以及正弦指数分布（SED）[26]进行比较。结论：在本研究中，我们将TPWD视为TPPSF的一个特例。TPWD具有灵活的参数，能够适配不同的数据特征。我们研究了TPWD的多种统计特性，包括其各阶矩、变异系数、偏度、峰度以及离散指数，同时还研究了不完全矩、随机排序、熵值以及模糊可靠性等其他特性。此外，我们还基于该分布推导出了多种精算指标。贡献声明：阿莱姆·杰巴尔：写作——审阅与编辑、写作——初稿撰写、验证、方法论、形式分析、概念构建。奥胡德·A·阿尔卡西姆：写作——审阅与编辑、写作——初稿撰写、方法论、研究分析、数据整理、概念构建。哈利姆·泽格杜迪：写作——审阅与编辑、写作——初稿撰写、方法论、研究分析、形式分析、概念构建。苏莱·奥梅扎·巴希鲁：写作——审阅与编辑、写作——初稿撰写、方法论、研究分析、利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。致谢：沙特阿拉伯利雅得努拉·宾特·阿卜杜勒拉赫曼公主大学研究支持项目（项目编号PNURSP2026R734）。