一种具有优化权重的超收敛点积分方法，用于高效开展薄板与壳体的Galerkin等几何分析

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：A superconvergent point quadrature with optimized weights for efficient Galerkin isogeometric analysis of thin plates and shells

　　宋阳侯|王东东|沈傲|吴振宇•本文提出了一种简单、明确且基于元素的超收敛点积分法（SPQ），用于高效开展薄板与壳体的Galerkin等几何分析。•通过在目标B样条空间的基函数上强制实现精确积分，合理设计了SPQ的优化权重。•对于二次及更高阶基函数，SPQ在每个元素每个空间方向上仅需一个或两个积分采样点。•通过结合积分精度，为使用SPQ的等几何分析给出了理论收敛速率估计。•研究表明，使用SPQ对二次至四次基函数的薄板与壳体进行等几何分析时可实现最优收敛，而对五次及六次基函数则能获得近乎最优的收敛效果。

引言薄板与壳体[[1], [2], [3], [4]]是众多工程领域中广泛使用的典型结构构件。在数值建模中，描述薄板与壳体的四阶偏微分方程要求在Galerkin公式体系中使用至少C1连续性的形函数。与通常采用C0形函数的有限元方法不同，Hughes等人[5,6]开创的等几何分析（IGA）方法利用B样条或非均匀有理B样条（NURBS）及其变体这类高度平滑的基函数来表示几何形态，并以统一的方式进行分析。高阶基函数的平滑性使得可直接对薄板与壳体进行等几何分析，这一领域一直有着活跃的研究进展。例如，Cottrell等人[7]和Shojaee等人[8]研究了薄梁与薄板的等几何自由振动问题，发现IGA在谱性能上优于传统有限元分析。Kiendl等人[3,9]则利用NURBS基函数开发了用于超弹性材料的Kirchhoff–Love薄壳单元。Nguyen-Thanh等人[10]提出了包含薄壳单元的扩展等几何公式体系，用于模拟贯穿厚度的裂纹等问题。然而，当在Galerkin IGA中使用传统的基于元素的数值积分方案[11]时，基函数阶数的提升会不可避免地导致积分点数量急剧增加，进而降低计算效率。

为提高Galerkin IGA的计算效率，人们通过减少积分采样点数量引入了多种高效的积分规则[[12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21], [22], [23]]。其中一种代表性方法是Hughes等人[12]基于等几何基函数更优异的规律性提出的补丁级半点规则，该规则后来被Ait-Haddou等人[13]以及Bartoň和Calo[14,15]推广到不同的B样条空间。半点规则涉及在补丁区域内对分段多项式进行精确积分所需的最少积分点数，但确定此类积分规则需要为每个特定网格求解一组可能条件不良的全局非线性方程。随后，Johannessen[16]提出了合理的初始猜测策略来解决半点规则计算中的非线性问题。另外，Auricchio等人[17]通过处理局部化的非线性方程组，提出了近乎最优的积分规则。最近，Teijeiro等人[18]和Nath等人[19]还运用机器学习技术构建了用于Galerkin IGA的高效积分方案。为避免求解非线性方程，Zou等人[24,25]采用Greville截距值[[26], [27], [28]]作为采样点，建立了简单的高效补丁级Greville积分法，相应的积分权重则通过一组线性矩方程得到。不过，对于四阶薄板与壳体问题，这种积分规则在每个元素每个空间方向上需要三个积分点，而二阶问题仅需两个积分点[24]。此外，侯等人[28]为二阶问题提出的等价显式Greville积分法（EEGQ）和增强型显式Greville积分法（AEGQ）同样在每个元素每个空间方向上仅需要两个积分点，但这些方法无法直接应用于四阶问题。

与Galerkin IGA不同，等几何配置法并不涉及数值积分，却有潜力提升计算效率[29]。早期版本的等几何配置法[[30], [31], [32], [33]]以Greville截距或Demko截距[34]作为配置点。遗憾的是，这类配置法存在奇偶基函数不一致的问题，无法实现Galerkin公式体系所具备的最优收敛性[35]。为解决这一问题，人们开始在等几何配置法中用超收敛点替代Greville截距。超收敛点是指在Galerkin框架下，对于不同阶数的梯度都能展现出超收敛特性的点集[36]。对于二阶问题的配置法，超收敛点特指那些对二阶梯度具有超收敛特性的点群。Anitescu等人[37]利用超收敛点，通过求解一组过定方程组，为奇数阶基函数在L2范数下实现了(p+1)的最佳收敛速率，其中p为基函数阶数。更近期地，Belardo和Calabrò[38]在元素域内提出了两个内部对称点，使得偶数阶基函数在最小二乘意义下也能实现最佳收敛。为避免构建过定的配置方程组，Gomez和De Lorenzis[39]引入了交替超收敛点，将奇数阶基函数在L2和H1范数下的收敛速率从(p?1)提升到了p。Fahrendorf等人[40]则开发了在超收敛点处进行的简化积分技术，并将其与等几何加权残差公式相结合，使得使用奇数阶基函数的二阶问题也能实现最佳收敛。Montardini等人[41]还采用了聚类超收敛点，为Cp?1阶奇数阶基函数获得了最佳收敛解。然而，当处理四阶薄板与壳体问题时，基于超收敛点的等几何配置法也就失去了这种最佳收敛特性。在这种情况下，尽管使用交替超收敛点可使任意基函数的L2范数收敛速率达到(p?2)[32,42]，但这一速率仍远低于Galerkin IGA的理论收敛速率(p+1)。此外，高阶基函数（p≥4）的四阶导数计算进一步增加了薄板与壳体问题等几何配置分析的复杂性。

为克服基于Greville积分法的Galerkin等几何公式以及基于超收敛点的配置法在处理薄板与壳体问题时的上述缺陷，本研究提出了一种新的积分规则——超收敛点积分法（SPQ），用于高效开展四阶问题的Galerkin等几何分析。这一发展的关键步骤是将超收敛点与一组优化后的积分权重相结合。具体而言，优化后的积分权重是根据那些能够通过由超收敛点及优化权重构成的积分规则实现精确积分的最高阶多项式来确定的。需要指出的是，与传统的高斯积分法类似，基于超收敛点的SPQ也是显式的、基于元素的且与网格结构无关，因此便于实现简洁直接的数值计算。研究表明，对于二次基函数，SPQ在每个元素每个空间方向上仅需一个采样点；而对于p≥3的基函数，则需要每个元素每个空间方向上两个采样点。这样一来，SPQ所需的积分点数量甚至少于基于补丁的Greville积分法，后者在处理四阶问题时大约需要在每个元素每个空间方向上使用三个采样点[24]。实际上，无论是偶数阶还是奇数阶基函数，SPQ所需的积分采样点数量都与使用相同积分空间的基于补丁的最优半点积分法大致相同，甚至更为接近；而最优半点积分法则需要为每个特定网格反复构建并求解一组全局非线性方程组。同时，由于SPQ本质上属于简化积分范畴，其解误差既受插值误差的影响，也受数值积分误差的影响。因此，理论上可以证明，使用SPQ的Galerkin IGA对于二次至四次基函数可实现最佳收敛，而对于五次及六次基函数则只能获得次优收敛。这些理论收敛速率在数值算例中得到了 consistent的验证。此外，由于五次及六次基函数具有更高的阶数规律性，其在数值计算中也表现出近乎最佳的收敛速率。通过与基于元素高斯积分法、基于补丁的Greville积分法与半点积分法，以及基于Greville点和交替超收敛点的配置法进行比较，薄板与壳体的数值计算结果也体现了基于SPQ的Galerkin IGA在简洁性、效率及精度方面的优势。

本文的其余结构如下：第2节总结了薄板与壳体Galerkin IGA以及超收敛点的基本方程。第3节介绍了用于Galerkin IGA的高效超收敛点积分法，并详细阐述了优化积分权重的确定方法。第4节给出了相关的误差估计，为使用所提积分算法的Galerkin IGA收敛性提供理论依据。第5节通过多个薄板与壳体算例验证了理论收敛结果。最后，第6节给出了总结性意见。

章节要点等几何基函数B样条和NURBS基函数是等几何分析中常用的基函数类型。p阶单变量B样条基函数Ni[p](ξ)可通过Cox–de Boor递推公式[43,44]构建：Ni[0](ξ)={1,若ξ∈[ξi,ξi+1)，否则为0；Ni[p](ξ)=ξ?ξi/(ξi+p?ξi)·Ni[p?1](ξ)+ξi+p+1/(ξ?ξi)·Ni+1[p?1](ξ)，其中p≥1。这里的ξi是参数空间Ωξ=[0,1]中定义的结点向量κξ={ξ1=0,...,ξi,...,ξn+p+1=1}T的结点。当κξ的首尾结点不同时，称其为开结点向量。

高效超收敛点积分法用于Galerkin IGA在本节中，针对薄板与壳体的Galerkin等几何分析，专门为二次至六次基函数开发了高效超收敛点积分法（SPQ）。在该积分法中，内部元素使用超收敛点作为积分采样点，而两个边界元素则需经过特殊处理，以确保整个分析域内的积分精度。

结合数值积分的误差估计根据方程(32)中B样条空间的定义，p阶SPQ积分法的积分精度可表示为：qSPQ={1，若p为2；p为3、5、7……时，qSPQ=p+1；若p为4、6、8……时，qSPQ=p+1。对于薄板与壳体问题，若雅可比矩阵J为常数，则对刚度矩阵进行精确积分至少需要2p阶的积分精度。因此，所提出的SPQ积分法实际上属于简化积分技术范畴，无法满足精确积分的要求。

数值算例为便于说明，表4汇总了若干待比较的常用方法以及所提出的G-SPQ方法的缩写形式。在后续讨论中，G-FGQ方法在每个元素每个空间方向上使用了(p+1)个高斯积分点，研究的基函数范围从二次到六次。为简化计算，所有数值算例均采用无量纲的几何参数和材料参数。同时需要说明的是，这些方法的性能表现……

结论本研究开发了一种具有优化权重的超收敛点积分法（SPQ），用于加速薄板与壳体的Galerkin等几何分析。通过将超收敛点作为积分采样点，该积分法大幅减少了积分点数量——即对于二次及更高阶基函数，该方法在每个元素每个方向上分别仅需一个和两个积分点。更重要的是，该积分法的积分权重……