贝叶斯方法与深度学习：各向异性宇宙在f(Q)引力下的参数约束

《Annals of Physics》：Bayesian vs Deep learning: Parameter constraints for an anisotropic universe in f ( Q ) gravity

　　洛克什·库马尔·夏尔马|苏雷什·帕雷克|莱拉·阿卜杜勒阿齐兹·阿尔-埃萨|欧亚格洛斯·E·佐托斯
印度马图拉281406，GLA大学物理系

摘要
我们在f(Q)引力理论框架下，通过分析各向异性的比安奇I型宇宙，探讨了一种新的宇宙学场景。本研究首次在此背景下引入了CoLFI（宇宙学无似然推断）方法，这是一种基于深度学习的技术，用于参数估计而不依赖明确指定的似然函数，从而解决了传统推断技术的关键缺陷，包括对似然函数设定不当的敏感性以及探索复杂高维参数空间时的高计算成本。为评估该框架的稳健性和准确性，我们使用包含31组哈勃参数的宇宙计时器测量数据、重子声波振荡数据以及Pantheon＋ Ia型超新星数据等多种宇宙学观测数据，将其与传统的马尔可夫链蒙特卡洛分析进行对比。CoLFI框架在扩展后的57点哈勃观测数据集上进行了训练和验证。我们发现两种方法得出的宇宙动力学结果具有定性一致性，尤其是在哈勃常数的推断值上高度吻合。在本研究中，我们在基准f(Q)=Q极限下进行工作，该极限在动力学上等同于广义相对论的对称遥平行等价形式（STEGR）；因此，这项研究主要是方法论层面的，旨在介绍并验证针对各向异性背景的无似然CoLFI流程与经典MCMC方法的对比。这些结果凸显了基于深度学习的方法在计算上的显著优势，并表明CoLFI是一种可靠且高效的工具，可用于探索和约束下一代宇宙学模型。

引言
为解释宇宙在晚期阶段的快速膨胀现象，爱因斯坦的广义相对论中引入了宇宙常数Λ[1]、[2]、[3]。由此产生了Λ冷暗物质模型，该模型长期以来一直被视为宇宙学的公认范式。然而，尽管取得了诸多成果，ΛCDM模型仍面临重大的理论和观测挑战。其中，哈勃常数H0的观测值存在差异是最令人担忧的问题之一[4]、[5]、[6]、[7]、[8]。此外，该模型还存在一些重大的理论问题，需要采用不同的策略来处理宇宙尺度上的引力相互作用。修正引力理论是一种可行的替代方案，它通过引入对广义相对论的偏离来解决这些基本问题[9]、[10]、[11]、[12]、[13]、[14]。

在众多备受关注的修正引力理论中，f(Q)理论尤为突出[15]。该理论建立在对称遥平行引力的基础上[16]，其中引力由非度量标量Q而非里奇曲率来描述。传统的宇宙学方法通常借助某种相对作用假设来判断宇宙行为是否偏离广义相对论。有人利用红移尺度因子关系重新构建了f(Q)引力理论[17]，并通过宇宙数据集对其模型进行了测试。还有研究利用当前对宇宙学参数的观测限制，对f(Q)引力进行了基于数值反演的重建[18]。另有学者研究了宇宙扰动的特性[19]，他们还考虑了由于传播模式数量的不连续性而导致的最大对称背景可能存在的强耦合问题。还有研究聚焦于一类具有通用幂律项的f(Q)理论子集[20]。有人通过基于f(Q)引力的宇宙学模型重建方法，确定了FLRW时空的精确解[21]。还有研究证明了f(Q)引力能够满足大爆炸核合成的限制条件[22]。通过建立一致规范条件，还有研究者完成了f(Q)引力的哈密顿量分析，并证明其具有八个物理自由度[23]。

近年来，机器学习方法在观测宇宙学中的应用发展迅速。神经网络及相关深度学习技术已被广泛用于光度红移估算、弱引力透镜分析、CMB参数推断以及无似然推断等领域[24]、[25]、[26]、[27]、[28]。尤其是基于模拟的无似然推断方法——即神经网络从模拟训练集中学习数据到参数后验的映射关系——作为一种可扩展的替代方案，受到了广泛关注，可替代传统的MCMC采样方法[29]、[30]。这类无似然方法对于修正引力模型尤为重要，因为这些模型的后验分布可能呈非高斯态、多模态，或难以用显式似然函数来描述，而正向模拟则依然可行。一旦经过训练，神经网络估计器还能实现 amortised 推断，几乎可以瞬间为新数据计算出后验值。因此，要证明此类框架能够得到可靠的贝叶斯结果，就需要一个清晰、易于理解的基准，这也促使本研究所采用与广义相对论等价的设置。本研究通过首次将CoLFI无似然框架应用于约束各向异性的f(Q)引力模型，并将其性能与传统的贝叶斯MCMC推断方法进行对比，为这一不断发展的研究领域做出了贡献。

需要强调的是，本文主要是一项方法论研究。通过将幂律参数固定为C=γ=1，引力部分可简化为f(Q)=Q，这在动力学上等同于广义相对论（STEGR）。这一选择是经过深思熟虑的，并非出于限制：验证一种新的推断框架需要一个预期行为已知的基准，这样该框架所发现的任何特征都可以与已建立的物理规律进行交叉验证。因此，我们的贡献主要有两方面。首先，我们首次将无似然（基于模拟的）推断方法应用于各向异性的比安奇I型宇宙学模型，并通过与经典MCMC方法的对比进行了验证。其次，我们用对称遥平行语言表述了场方程和剪切演化规律，为后续将公式推广到C,γ≠1的情况奠定了基础。我们始终明确指出，在C=γ=1的极限下，所有晚期动力学特征都源于各向异性几何结构、物质成分以及所采用的宇宙学H(z)函数形式，而非引力作用的修改；而真正关于(C,γ)的修正引力约束将是未来研究的重点。

第2节阐述了在各向异性比安奇I型时空中f(Q)引力的理论框架。第3节详细介绍了如何利用MCMC技术和深度学习技术，结合哈勃观测数据、重子声波振荡数据以及Pantheon＋观测数据，对模型中的自由参数进行约束。第4节通过分析模型的能量密度、压力、状态方程参数以及能量条件，评估该约束后模型的物理合理性。最后，第5节总结了这些研究结果，讨论了从参数约束和能量条件分析中得出的主要发现及其物理意义。

章节节选

一般形式
f(Q)引力理论的作用量由[15]给出，表达式为S=∫?12f(Q)+Lm?gd4x，其中gμν是度量张量，g表示度量的行列式，f(Q)是非度量标量Q的泛函，Lm则表示物质拉格朗日密度。对作用量(1)关于度量张量求变，可得到相应的引力场方程：2?g?γ?gfQPγμν+12fgμν+fQPμγiQνγi?2QγiμPγiν=Tμν，其中fQ=df/dQ。对联络项求变则得到：?μ?γ?gfQPγμν=0

观测约束
在比较分析中，我们采用了两种不同的方法。传统的贝叶斯分析采用MCMC技术，其约束条件来自31组已有的哈勃参数宇宙计时器测量数据[32]、[33]、[34]、[35]，以及BAO和Pantheon＋数据。而为验证深度学习框架（CoLFI），我们使用了扩展后的57点哈勃观测数据集（详见第3.2节）。其目的是确定该框架的定性有效性。

模型的物理参数
在本节中，所有晚期宇宙学诊断参数——减速参数q(z)、过渡红移zt、能量条件以及急动参数——都是基于一组明确指定的参考参数集计算得出的，即表1中的MNN/CoLFI最佳拟合值(H0,q0,q1)=(67.09,?0.403,0.652)。这样可以确保本节中所有图表的结果具有一致性。

结论
在本研究中，我们在各向异性比安奇I型时空中，基于f(Q)对称遥平行引力理论，对宇宙动力学进行了全面研究。通过利用宇宙计时器数据、BAO数据以及Pantheon＋数据对模型参数进行约束，我们检验了这一扩展引力框架的物理合理性。我们再次强调，目前的分析是在基准f(Q)=Q（STEGR）极限下进行的，该极限在动力学上等同于广义相对论。

CRediT作者贡献说明
洛克什·库马尔·夏尔马：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，指导监督，项目管理，方法设计，研究实施，数据整理。
苏雷什·帕雷克：可视化处理，软件应用，形式化分析。
莱拉·阿卜杜勒阿齐兹·阿尔-埃萨：模型验证，资金获取，概念构思。
欧亚格洛斯·E·佐托斯：资源协调，资金获取，概念构思。

未引用参考文献
[55]、[56]

利益冲突声明
作者们不存在任何利益冲突。

致谢
本研究得到了沙特阿拉伯利雅得努拉·宾特·阿卜杜勒拉赫曼大学研究人员支持项目（项目编号PNURSP2026R443）的资助。