存在非线性时变不确定性的情况下的鲁棒自适应MPC：一种不确定性补偿方法

《Automatica》：Robust adaptive MPC in the presence of nonlinear time-varying uncertainties: An uncertainty compensation approach

　　冉涛|潘兆|伊利亚·科尔马诺夫斯基|奈拉·霍瓦基米扬

摘要
本文提出了一种基于不确定性补偿的鲁棒自适应模型预测控制框架，用于处理存在非线性时变不确定性的线性系统。该框架结合了L1自适应控制器来补偿已识别的不确定性，以及利用线性矩阵不等式设计的鲁棒反馈控制器，以减轻未识别不确定性对目标输出通道的影响。文章给出了系统状态与控制输入与理想（即无不确定性）系统之间误差的统一上界，这些误差界限被用来进一步收紧实际系统的状态和输入约束，从而在更严格的约束条件下为理想系统设计模型预测控制算法。这种基于不确定性补偿的模型预测控制方法能够确保约束得到满足，同时相比现有方法具有更好的性能。通过飞行控制示例以及航天器在小行星表面着陆的仿真结果，证明了该框架的有效性。

引言
现实世界中的系统往往需要满足严格的状态和输入约束，这源于执行器的限制、安全要求、效率考量以及避免碰撞和障碍物的需求。模型预测控制已成为处理此类约束的一种主流控制方法。它通过在模型预测的有限时间范围内优化系统行为，并将约束直接纳入优化过程之中（Camacho和Alba，2013；Rawlings等人，2020）。尽管模型预测控制已在许多实际系统中得到成功应用，但在更高要求的场景中，还必须考虑模型不确定性，如未知参数、未建模动态和外部干扰，以确保安全并提升性能。虽然 properly构建的模型预测控制具备应对较小不确定性的固有鲁棒性（Yu等人，2014），但较大不确定性则需要在设计中明确处理。为此，人们提出了多种鲁棒模型预测控制方法，例如Mayne（2014，第3节）所介绍的。这类方法主要分为两类：最小-最大模型预测控制（Kerrigan，2001；Scokaert和Mayne，1998）以及基于“管状区域”的模型预测控制（Langson等人，2004；Limon等人，2008；Lopez等人，2019；Mayne等人，2011；Mayne等人，2006；Rakovic，2005）。最小-最大模型预测控制通过在最坏情况下的不确定性下进行最小-最大优化，以确保约束得到严格执行。而基于管状区域的模型预测控制则借助辅助反馈律u=u?+K(x?x?)来削弱不确定性，并在无不确定性的理想系统轨迹周围构建一个“管状区域”，即一个不受干扰的集合，使得系统在存在不确定性的情况下仍能保持在这一区域内。参数K的选择直接影响该“管状区域”的大小，进而决定了用于理想系统模型预测控制的约束条件的严格程度和可行性。早期的基于管状区域的模型预测控制方法（Mayne等人，2006；Rakovic，2005）通常采用固定的预稳定增益（如LQR增益）来保证闭环系统的稳定性，同时假设不确定性及相应的干扰不变集Z的规模远小于原有的状态和输入约束范围。后来的研究，包括Limon等人（2008）的工作，提出了系统化的K值合成方法。他们将K值和不变椭球体Z的优化视为一个凸优化问题，通过线性矩阵不等式来同时最小化不变集的大小，同时确保经过约束收紧后的状态和输入约束集X?Z和U?KZ仍然非空。这种基于线性矩阵不等式的设计既保证了约束的严格执行，也确保了理想系统模型预测控制的可行性。上述鲁棒模型预测控制方法的一个缺点是它们仅考虑最坏情况下的不确定性，往往会导致控制性能过于保守。这一缺陷可通过自适应模型预测控制来缓解，该方法在传统鲁棒模型预测控制的基础上，通过在线识别未知参数来降低控制的保守性，从而确保约束得到满足（Adetola和Guay，2011；Lorenzen等人，2017；Sasfi等人，2023）。不过，这类方法通常要求不确定性的参数结构是事先已知的，且这些参数必须保持时间不变。Wang等人（2017）提出了一种能够处理非线性时变不确定性的自适应模型预测控制框架，该框架通过在线估计和预测不确定性集合来提升性能，但因其仍基于最小-最大优化思路，其闭环性能仍有提升空间。

另一种处理存在不确定性时的约束控制方法是基于不确定性补偿的模型预测控制，它将不确定性估计与消除机制与模型预测控制相结合。在这种方法中，控制律包含两个部分：一个辅助自适应控制器，用于补偿不确定性的影响，使实际系统的行为尽可能接近无不确定性的理想模型；另一个则是具有适当收紧约束条件的模型预测控制器，用于实现期望的性能并确保闭环约束得到满足。例如，Sinha等人（2022）提出了一种基于学习的鲁棒预测控制算法，该算法利用在线函数逼近来补偿已识别的不确定性，再通过具有收紧约束条件的鲁棒模型预测控制来处理剩余的不确定性。然而，Sinha等人（2022）的方法依赖于已知的不确定动态的参数结构，这限制了其通用性。更为关键的是，由于鲁棒模型预测控制设计是基于最坏情况假设的，因此在尚未获得足够好的模型来描述不确定性之前，该方法仍会显得过于保守。在另一项研究中，Pereida等人（2021）将Hovakimyan和Cao（2010）提出的L1AC方法与仅存在已识别不确定性的系统的鲁棒模型预测控制相结合。在他们的方法中，L1AC用于消除已识别的不确定性，并为经过补偿后的系统与理想系统之间的状态和输入偏差提供统一的上界。Pereida等人将状态偏差视为有界模型不确定性，然后利用鲁棒模型预测控制来解决这一问题。然而，鲁棒模型预测控制中所考虑的不确定性属于动态不确定性，这与L1AC所提供的状态偏差上界有着本质区别。这种概念上的不一致性引发了关于Pereida等人方法有效性和适用性的疑问，也凸显出需要一种能够将L1AC与模型预测控制严格结合的、具有理论依据的统一框架。

Zhao等人（2023）给出了一个更为系统化的基于不确定性补偿的约束控制示例，他们为存在非线性时变已识别不确定性的线性系统提出了集成参考调节器和自适应控制架构。Zhao等人利用L1AC来补偿已识别的不确定性，并为实际系统与理想系统之间的状态和输入偏差建立了统一的上界。这些上界被用来进一步收紧实际系统的状态和输入约束，从而以理想系统为基准调整参考指令，确保闭环约束得到满足。与模型预测控制相比，参考调节器是一种更为简单但约束更严格的解决方案，它假定在预测时间内参考指令保持恒定，因此只需将理想稳定控制器的参考指令调整到安全的数值即可。而模型预测控制则无需依赖理想的稳定控制器，也不假定控制输入在预测时间内恒定，而是通过解决带约束的动态优化问题来调整整个控制输入序列。受Zhao等人（2023）工作的启发，Tao等人（2024）对其进行了初步拓展，将该方法扩展到同时存在已识别和未识别不确定性的模型预测控制场景。他们再次使用L1AC来消除已识别的不确定性，并为两种类型的不确定性导出统一的误差上界，随后将这些上界通过约束收紧的方式融入到理想系统的模型预测控制设计中。不过，Tao等人（2024）的方法存在两个主要局限。首先，他们仅分析了未识别不确定性的影响，而没有采取主动措施来减弱其影响，这就可能导致得到的误差上界过于保守。由于约束收紧依赖于这些上界，因此保守的误差估计会缩小理想系统模型预测控制的可行域，进而导致性能下降，甚至出现不可行的约束条件。其次，Tao等人（2024）没有给出关于递归可行性或闭环稳定性的保证，而这些正是任何模型预测控制设计所必需的。

贡献
本文提出了一种基于不确定性补偿的鲁棒自适应模型预测控制框架，称为UC-MPC，用于处理存在包含已识别和未识别组分的非线性时变不确定性的线性系统。该框架结合了L1AC来估计和补偿已识别的不确定性，以及利用线性矩阵不等式设计的鲁棒反馈控制器，用于减轻未识别不确定性对目标输出通道的影响。据我们所知，这是首个在模型预测控制框架内同时处理已识别和未识别非线性时变不确定性且无需额外结构假设的框架。由此产生的复合控制律与基于管状区域的模型预测控制方法也存在一定的结构关联（Mayne等人，2005）。此外，我们还为未识别不确定性引入了一种缩放机制，该机制能够进一步收紧偏差上界，减少约束收紧的程度。结合基于线性矩阵不等式的反馈控制器，这种缩放机制使得L1AC能够为闭环系统与理想无不确定性系统之间的偏差提供有意义的统一上界，这些上界随后被纳入到理想系统的约束收紧型模型预测控制设计中。同时，我们还为UC-MPC建立了全面的理论保障，包括约束满足条件、性能指标，尤其是模型预测控制问题的递归可行性以及理想闭环系统的稳定性。最后，我们通过两个案例研究验证了UC-MPC的有效性：飞机飞行控制以及在不确定小行星重力场下的航天器软着陆。这些研究表明，UC-MPC能够在充满挑战的不确定环境中同时保障系统安全与高效运行。由于篇幅限制，本文仅介绍了飞机案例研究，航天器案例研究详见（Tao等人，2026）。

符号说明
在本文中，R、R+和Z+分别表示实数集、非负实数集和非负整数集。Rn和Rm×n分别表示n维实向量空间和m行n列的实矩阵集合。整数集{i,i+1,…}和{1,2,…,n}分别用Zi和Z1n表示。I表示大小为n的单位矩阵，0则表示尺寸与之匹配的零矩阵。‖?‖和‖?‖∞分别表示向量或矩阵的2-范数和∞-范数。函数h:R+→Rn的L∞-范数和截断L∞-范数分别定义为‖h‖L∞?sup≥0‖h(t)‖∞和‖h‖L∞[0,T]?sup0≤t≤T‖h(t)‖∞。传递函数G(s)的L1范数定义为‖G(s)‖L1?‖g‖L1=∫0∞‖g(t)‖dt，其中g(t)是G(s)的脉冲响应。函数x(t)的拉普拉斯变换表示为x(s)?L[x(t)]。对于任意向量x，xi表示x的第i个元素。给定正标量ρ，Ω(ρ)?{z∈Rn:‖z‖∞≤ρ}表示以原点为中心、半径为ρ的高维球面集合，其维度与n相匹配。对于高维集合X，其内部用int(X)表示，X在第i个坐标轴上的投影则用Xi表示。对于给定的集合X、Y?Rn，X⊕Y?{x+y:x∈X,y∈Y}表示闵可夫斯基集和，而X?Y?{z:z+y∈X,?y∈Y}表示庞特里亚金集差。对于任意矩阵A，A?表示其转置，〈A〉则是A?+A的简写形式。

问题描述
考虑以下存在不确定性的线性系统：
x?(t)=Ax(t)+Bu(t)+f(t,x(t))+Buw(t),
y(t)=Cx(t),
x(0)=x0，
其中x(t)∈Rn，u(t)∈Rm，y(t)∈Rp分别表示状态向量、输入向量和输出向量，x0∈Rn为初始状态，矩阵A、B、Bu和C的维度相互匹配且已知。矩阵B具有满列秩，且Bu满足rank[BBu]=n且Bu?B=0。函数f(t,x(t))∈Rm表示取决于时间和状态的已识别不确定性，而w(t)∈Rn?m。

UC-MPC框架概述
我们在图1中展示了所提出的UC-MPC框架。该框架包括一个鲁棒反馈控制律Kxx(t)、一个用于生成ua(t)的L1AC，以及针对理想系统设计的、具有收紧后约束条件Xn和Un的模型预测控制算法，用以生成uopt(t)。在存在不确定性f(t,x)和w(t)的情况下，我们利用反馈控制器Kxx(t)来减弱w(t)对目标输出通道的影响，同时使用L1AC生成ua(t)以补偿匹配的不确定性f(t,x)，从而迫使实际系统实现不确定性的有效衰减。降低对特定关键输出通道约束强度的一种有效方法，是设计反馈增益Kx，以最小化w(t)对这些通道的影响。这可以通过最小化这些通道上未匹配不确定性的峰峰值增益（PPG）来实现，进而限制其负面影响，使约束强度无需过度提高，同时不影响安全性和性能。需要指出的是，这种方法可能会减轻对某些通道的约束强度。

在本节中，我们推导了带有L1AC的实际系统（8）与标称系统（9）在状态和控制输入误差方面的统一性能界限。Zhao等人（2023）已给出初步结果，但仅考虑了匹配的不确定性。在此，我们将该结果扩展到同时存在匹配不确定性和未匹配不确定性的系统，并提出了两种技术，以获得更有意义的性能界限以及更为宽松的结果。

UC-MPC：基于不确定性补偿的鲁棒自适应MPC。为应用所提出的UC-MPC框架，首先需按照第4节的方法设计反馈增益Kx，以降低未匹配不确定性带来的影响。接着，需要设计L1AC以实现统一的性能界限，并为标称MPC设定更严格的约束。根据第5节的内容，设计L1AC可遵循以下步骤：•设计满足条件（22）的低通滤波器，如公式（21）所示；•应用变换（33），并确保Txi满足条件（34），从而得到ρˇri。

仿真结果。在本节中，我们通过将所提出的UC-MPC框架应用于F-16飞机的纵向控制，来评估其性能。该框架在另一篇论文（Tao等人，2026）中还被用于研究航天器在小行星上的软着陆问题。在那篇论文中，MPC是基于航天器非线性动力学的线性化模型构建的，而L1AC则用于补偿由线性化误差及其他误差引入的不确定性。

结论。本文提出了UC-MPC，这是一种鲁棒的自适应MPC框架，旨在处理同时存在匹配和未匹配不确定性的线性系统，同时满足状态和输入约束。该框架包含一个基于LMI方法设计的鲁棒反馈控制器，用于削弱未匹配不确定性对目标输出通道的影响；同时还包含一个自适应控制器，用于动态估计和补偿匹配的不确定性，从而确保系统误差具有统一的性能界限。

谭然于2026年从伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校获得机械工程博士学位，2021年在该校取得机械工程学士学位。他的研究领域包括模型预测控制、鲁棒与自适应控制、基于学习的控制以及自主系统。