一种更新鲁棒的卡尔曼滤波方法

《Automatica》：An update-resilient Kalman filtering approach

　　

研究人员提出一种新的鲁棒滤波范式，考虑模型不确定性仅存在于观测中的情形，该不确定性通过模糊集（ambiguity set）描述。研究人员推导了相应的鲁棒估计器，称为更新鲁棒卡尔曼滤波器（update-resilient Kalman filter, U-RKF），该估计器与现有基于极小极大博弈（minimax game）的滤波方法相比具有新颖性。此外，研究人员刻画了相应的最不利模型（least favorable model）并分析了滤波器稳定性。最后，数值算例展示了所提估计器的有效性。

**论文解读：一种更新鲁棒的卡尔曼滤波方法**

**研究背景与问题**
在状态估计领域，模型不确定性（model uncertainty）是普遍存在的挑战。传统卡尔曼滤波器（Kalman filter, KF）依赖于精确的模型假设，当实际模型与名义模型（nominal model）存在偏差时，其性能会显著退化。为应对这一问题，文献中提出了多种鲁棒估计范式，包括参数方法、抗异常值滤波器以及极小极大（minimax）方法。在极小极大框架中，不确定性通过模糊集（ambiguity set）刻画，该模糊集定义了实际模型与名义模型之间的“失配”（mismatch）。现有方法（如Levy和Nikoukhah, 2013; Xu等, 2025）通常将模糊集定义在整个状态空间模型上，即不确定性同时影响状态动态和观测模型。然而，在许多实际系统中，状态动态模型通常基于物理定律建立，相对准确，而主要不确定性来源于观测模型，例如传感器漂移、非线性效应或异常值噪声。这种“不平衡不确定性”（unbalanced uncertainty）场景使得现有方法可能过于保守，因为敌对玩家（maximizer）可以将不确定性预算均匀分配给状态过程和观测模型，导致估计性能下降。因此，需要一种新的鲁棒滤波框架，专门针对观测模型中的不确定性进行设计，并保证在仅观测不确定性存在时的最优性能。

**研究内容与结论**
为填补这一空白，研究人员提出了一种基于Kullback–Leibler（KL）散度的新型模糊集，该模糊集仅约束观测模型的条件密度，而不涉及状态过程模型。基于此，研究人员推导了更新鲁棒卡尔曼滤波器（U-RKF），该滤波器在更新阶段（update stage）引入鲁棒化机制，即通过风险敏感参数（risk sensitivity parameter）θ_t调整后验误差协方差矩阵，从而对观测不确定性形成保守估计。这是与现有预测鲁棒卡尔曼滤波器（P-RKF）的根本区别，后者在预测阶段进行鲁棒化。研究人员进一步刻画了最不利模型（least favorable model），该模型在状态空间上的维度为3n（n为状态维度），而P-RKF对应的最不利模型维度为2n，表明仅观测不确定性导致更复杂的模型结构。在稳定性分析方面，研究人员证明了当容差（tolerance）c小于某个上界c_MAX时，U-RKF的增益矩阵L_t收敛到稳态，且对应的最不利模型在稳态下具有有界均方误差。此外，研究人员还考虑了松弛版本的极小极大博弈，得到了更新风险敏感滤波器（update risk sensitive filter, U-RSF），并分析了其收敛条件，发现其允许的风险敏感参数范围大于传统预测风险敏感滤波器（P-RSF）。该论文发表于《Automatica》。

**主要技术方法**
研究人员采用以下关键技术方法：
1. **基于KL散度的模糊集定义**：仅约束观测模型的条件密度，模糊集为B_t = {ψ?_t : D(ψ?_t, ψ_t) ≤ c_t}，其中D(·)为条件KL散度。
2. **极小极大博弈求解**：通过拉格朗日乘子法将约束优化问题转化为无约束对偶问题，并利用Von Neumann极小极大定理证明鞍点存在性，得到最不利密度形式及最优估计器表达式。
3. **最不利模型的状态空间近似**：在协方差矩阵范数足够小的假设下，将最不利模型近似为增广状态空间模型（维度3n），通过前向递归（计算增益L_t）和后向递归（计算Ω_t^-1）联合构造。
4. **稳定性分析**：利用Riccati映射的收敛性理论，建立容差c与风险敏感参数θ的上界条件，确保滤波器增益收敛及最不利模型稳态下误差协方差有界。
5. **数值仿真**：基于质量-弹簧-阻尼系统（MSD），考虑传感器漂移、均匀噪声、非线性（死区）和异常值污染四种不确定性场景，并与多种对比方法（包括P-RKF、W-RKF、G-RKF、S-RKF）进行比较。

**研究结果**
**3. 更新鲁棒卡尔曼滤波器**
通过极小极大博弈推导出U-RKF的估计公式：后验估计x?_t|t = x?_t + L_t(y_t - Cx?_t)，其中增益L_t = P_tC^?(CP_tC^? + R)^-1，后验误差协方差V_t|t = (P_t|t^-1 - λ_t^-1I)^-1，λ_t满足方程γ(P_t|t, λ_t^-1) = c_t。该结构表明鲁棒化仅作用于更新阶段。
**4. 滤波器稳定性**
定理5证明：若c ≤ c_MAX = γ(P?_q|q, φ_k)，则序列P_t收敛到唯一解P>0，且增益L_t的极限使得A(I - LC)稳定。定理6进一步证明：当c足够小时，最不利模型在稳态下具有恒定参数，且误差协方差有界。
**5. 数值算例**
**5.1 最坏情况分析**：在名义模型（44）下，c_MAX = 0.5001。对于c=0.1和c=5×10^-2，U-RKF的误差方差均低于P-RKF和KF，且c越大性能差异越明显。
**5.2 MSD系统传感器不确定性**：在传感器漂移、均匀噪声、非线性（死区）和异常值污染四种场景下，U-RKF（固定容差c=0.5）的平均位移误差方差均优于或等于P-RKF^+or、W-RKF^+or、G-RKF^+or和S-RKF。U-RKF的计算时间（约0.02秒/次）远低于W-RKF（约4.5秒/次）。
**6. 更新风险敏感滤波器**
定理7给出U-RSF的估计形式，其中θ固定。定理9证明：若θ ≤ θ_MAX = min{β_ρ,α, φ_k}，则序列P_t收敛，且A(I - LC)稳定。数值算例（θ=0.17）显示U-RSF优于P-RSF和KF，但在MSD传感器不确定性实验中，U-RSF（通过Oracle选择θ）性能差于其他鲁棒方法，原因在于风险敏感滤波器将不确定性集中于单一时刻，不够现实。

**讨论与结论**
总结部分指出：本研究针对观测模型为主要不确定性来源的鲁棒状态估计问题，提出了一种基于仅约束观测模型KL散度模糊集的新鲁棒滤波范式。所得估计器（U-RKF）在更新阶段进行鲁棒化，与现有预测鲁棒方法（Levy和Nikoukhah, 2013; Xu等, 2025）根本不同。数值算例表明，即使在状态过程存在轻微失配时，U-RKF仍优于其他方法，且与Abadeh等（2018）的Wasserstein鲁棒滤波器性能相似但计算效率显著更高。研究结论认为，U-RKF更适合不平衡不确定性场景，而Abadeh等（2018）的方法实际上隐含地假设了仅观测不确定性。此外，松弛版本U-RSF的稳定性条件更宽松，但实际性能受限于风险敏感滤波的集中特性。