非线性弱奇异Volterra积分方程的两阶段求解方法：局部ψ级数展开与分段谱配置法

《Mathematics and Computers in Simulation》：A two-stage approach for nonlinear weakly singular Volterra integral equations: Local psi-series expansion and piecewise spectral collocation

　　•该方程包含两种具有奇异核的积分项。•针对这类非线性Volterra积分方程，本文提出了一种两阶段算法。•可生成在原点附近具有任意精度的ψ级数解。•为长时间模拟设计了分段勒让德配置法。

引言
考虑求解如下非线性双项弱奇异Volterra积分方程：
u(x)=f0(x)+∫0xK0(x,t)F0(x,t,u(t))dt+F1x,f1(x)+∫0xK1(x,t)a(t)u(t)dt，x∈[0,T]，
其中K0和K1为两种具有代数或对数奇异性的奇异核，其形式分别为：
K0(x,t)=(x?t)?γ0logμ(x?t)，γ0<1，μ=0,1；
K1(x,t)=(x?t)?γ1，γ1<1。
函数F0(x,t,v)和F1(x,v)关于变量v而言是非线性的。对于任意的x和t，它们在v=0处都可以展开为分数泰勒级数。函数f0(x)、f1(x)和a(x)在原点处可能具有弱奇异性，此时当x→0+时，它们存在渐近的ψ级数展开式。严格来说，我们要求f0(x)、f1(x)、a(x)属于函数空间S，该空间定义为：
S={f:[0,T]→R∣f∈C[0,T]∩C∞(0,T]，且存在ψ级数展开式f(x)=∑i=1∞xηiΛi(logx)，当x→0+时，0≤η1<η2< /><β<1，u(0)=u0。 通过应用riemann–liouville分数阶积分算子，可证明该微分方程等价于非线性弱奇异vie： u(x)=u0+1Γ(α)∫0xa(t)u(t)(x?t)1?αdt+Γ(1?β)Γ(1?β+α)∫0xF(t,u(t))(x?t)β?αdt。 此处，caputo型分数阶导数定义为： 0cdxαu(x)=1Γ(m?α)∫0x(x?t)m?α?1u(m)(t)dt，其中m=?α?，即不小于α的最小整数。而Riemann–Liouville分数阶积分算子定义为： j0αu(x)=1Γ(α)∫0x(x?t)α?1u(t)dt。 2. 非线性分数阶langevin方程。该方程用于描述布朗运动和异常扩散等现象，其形式为[2]： 0cdxα0cdxβu(x)+λu(x)=><α,β<1，x>0，u(0)=u0，0CDxβu(0)=uβ，
其中λ为摩擦系数。如[2]所示，该方程可转化为VIE形式：
u(x)=u0+uβ+λu0Γ(1+β)xβ?λΓ(β)∫0xu(t)(x?t)1?βdt+1Γ(α+β)∫0xF(t,u(t))(x?t)1?(α+β)dt。

3. 双项分数阶微分方程。考虑如下带有初始条件的微分方程：
0CDxαu(x)+b(x)0CDxβu(x)=F(x,u(x))，0< /><α，x∈(0,t]，u(τ)(0)=aτ，τ=0,1,…,?α??1。 将此微分方程转化为vie的标准方法是引入一个新的未知函数y(x)?0cdxαu(x)。利用关系式u(x)=p??α??1(x)+J0αy(x)，其中p??α??1(x)=∑τ=0?α??1aττ!xτ为初始条件对应的多项式，则方程（1.6）可转化为关于新未知函数y(x)的非线性弱奇异VIE： y(x)+b(x)γ(α?β)∫0xy(t)(x?t)β?α+1dt+b(x)∑τ=?β??α??1aτxτ?βΓ(τ+1?β)=Fx，p??α??1(x)+J0αy(x)。 4. 非线性basset方程。该方程用于描述湍流流体中离散粒子的扩散现象，其形式为[3]： w′(x)=><α<1，w(0)=w0。
通过简单的变量替换u(x)=w′(x)，可将（1.8）转化为vie形式：
u(x)=f0(x)+∫0xf0(x,t,u(t))(x?t)αdt+f1x，w0+∫0xu(t)dt。
vie（1.1）的解在原点处可能并不光滑[4]。为在设计数值方法时获得最优收敛速度，必须明确处理这一潜在奇点。解决该问题的常见方法包括使用分级网格[5]、[6]、[7]，应用平滑变换[8]，构建非多项式配置空间[9]、[10]，或使用sinc配置近似[11]。一种更为新颖且精确的方法是通过逐次逼近[12]、[13]、[14]在原点附近为解生成ψ级数展开式，从而为（1.1）的某些特殊情形提供奇异行为的解析描述。

过去几十年来，人们为vies开发了多种数值方法。根据离散化策略，这些方法大致可分为三类：h型、p型和hp型。
h型方法的典型例子包括分段多项式配置法[4]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、[15]、[16]，连续/间断galerkin方法[17]，以及乘积积分法[12]、[18]、[19]。在这些方法中，通过细化网格（即减小步长h）可以提高精度。为处理奇异性，这些基础方法通常会与前面提到的技术——如分级网格——结合使用，以保持最优的收敛速度。
p型方法又称谱方法，其思路是通过提高整个区间上单一项式插值的次数p来获得高精度[20]。为避免等距节点带来的runge现象，这些方法会将配置点 strategically放置在正交多项式（如勒让德多项式或切比雪夫多项式）的零点或极值点上[14]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]。虽然谱方法在处理具有光滑解的问题时具有指数级收敛速度，但在需要在大范围内实现高精度时却面临挑战。大量配置点会导致线性系统过于密集且条件数不佳，进而可能引发数值不稳定问题。
hp型方法作为一种强大的替代方案，弥补了h型和p型方法之间的不足[27]、[28]、[29]、[30]、[31]。其核心思想是将计算域划分为若干子区间（即h部分），并在每个子区间上应用高阶谱近似（即p部分）。这种混合方法能够灵活调整网格大小和多项式次数，因此特别适用于处理具有非光滑解或局部奇异性的问题。该方法在文献中有多种名称，包括多步法[32]、[33]，多域法[34]、[35]，逐步法[36]，或分段谱方法[37]、[38]。在本研究中，我们采用“分段谱方法”这一术语，以突出其基于域划分（“分段”）和高阶近似（“谱”）的特点。

本文旨在开发并分析一种用于非线性弱奇异vie（1.1）的新型两阶段算法。主要贡献如下：
•我们针对一类具有两种不同类型非线性项以及具有代数或对数奇异性的核的vies进行了研究。该框架能够用于建模数学和物理学中的众多复杂问题。
•在第一阶段，我们通过推导出的ψ级数展开式，从解析上解决了初始奇点问题。这为在奇异子区间[0,δ]内得到任意精度的解提供了可能，完全无需依赖分级网格或平滑变换等传统技术。
•在第二阶段，针对剩余的规则区间[δ,t]，我们提出了高效且稳健的分段勒让德配置法实现方案。其中一个关键的算法步骤是使用快速递推公式来计算涉及勒让德多项式的弱奇异积分，从而显著提升了计算效率。
•这种两阶段框架具有很高的实用性，能够同时实现精度与效率的控制。通过灵活调整关键参数——用于消除奇点的分割点δ、步长h以及勒让德配置点的数量——该方法能够在相对较低的计算成本下，为短期和长期模拟提供所需的精度。
•我们还对整个混合框架进行了严格的误差分析，证明了其在l2范数下的最优收敛阶。同时通过数值实验验证了我们的理论结果，并展示了该方法在处理传统方法难以处理的低规律性vies时的优异性能。

本文的其余结构如下：第2节简要概述所提出的两阶段方法。第3节作为第一阶段，利用picard迭代法推导vie（1.1）在原点附近的ψ级数解。第4节作为第二阶段，致力于在规则区间上设计高精度且稳定的分段lcm。第5节对两阶段方法的收敛性进行了严格分析，并确定了其最优收敛速率。第6节通过数值示例，展示了该方法在有效消除初始奇点的同时，解决具有非光滑解的非线性vies方面的良好性能。最后，第7节给出了简要总结。 通过简单的变量替换u(x)=w′(x)，可将（1.8）转化为VIE形式： u(x)=f0(x)+∫0xF0(x,t,u(t))(x?t)αdt+F1x，w0+∫0xu(t)dt。 vie（1.1）的解在原点处可能并不光滑[4]。为在设计数值方法时获得最优收敛速度，必须明确处理这一潜在奇点。解决该问题的常见方法包括使用分级网格[5]、[6]、[7]，应用平滑变换[8]，构建非多项式配置空间[9]、[10]，或使用sinc配置近似[11]。一种更为新颖且精确的方法是通过逐次逼近[12]、[13]、[14]在原点附近为解生成ψ级数展开式，从而为（1.1）的某些特殊情形提供奇异行为的解析描述。 过去几十年来，人们为vies开发了多种数值方法。根据离散化策略，这些方法大致可分为三类：h型、p型和hp型。 h型方法的典型例子包括分段多项式配置法[4]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、[15]、[16]，连续 间断galerkin方法[17]，以及乘积积分法[12]、[18]、[19]。在这些方法中，通过细化网格（即减小步长h）可以提高精度。为处理奇异性，这些基础方法通常会与前面提到的技术——如分级网格——结合使用，以保持最优的收敛速度。 p型方法又称谱方法，其思路是通过提高整个区间上单一项式插值的次数p来获得高精度[20]。为避免等距节点带来的runge现象，这些方法会将配置点 strategically放置在正交多项式（如勒让德多项式或切比雪夫多项式）的零点或极值点上[14]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]。虽然谱方法在处理具有光滑解的问题时具有指数级收敛速度，但在需要在大范围内实现高精度时却面临挑战。大量配置点会导致线性系统过于密集且条件数不佳，进而可能引发数值不稳定问题。 hp型方法作为一种强大的替代方案，弥补了h型和p型方法之间的不足[27]、[28]、[29]、[30]、[31]。其核心思想是将计算域划分为若干子区间（即h部分），并在每个子区间上应用高阶谱近似（即p部分）。这种混合方法能够灵活调整网格大小和多项式次数，因此特别适用于处理具有非光滑解或局部奇异性的问题。该方法在文献中有多种名称，包括多步法[32]、[33]，多域法[34]、[35]，逐步法[36]，或分段谱方法[37]、[38]。在本研究中，我们采用“分段谱方法”这一术语，以突出其基于域划分（“分段”）和高阶近似（“谱”）的特点。 本文旨在开发并分析一种用于非线性弱奇异vie（1.1）的新型两阶段算法。主要贡献如下： •我们针对一类具有两种不同类型非线性项以及具有代数或对数奇异性的核的vies进行了研究。该框架能够用于建模数学和物理学中的众多复杂问题。 •在第一阶段，我们通过推导出的ψ级数展开式，从解析上解决了初始奇点问题。这为在奇异子区间[0,δ]内得到任意精度的解提供了可能，完全无需依赖分级网格或平滑变换等传统技术。 •在第二阶段，针对剩余的规则区间[δ,t]，我们提出了高效且稳健的分段勒让德配置法实现方案。其中一个关键的算法步骤是使用快速递推公式来计算涉及勒让德多项式的弱奇异积分，从而显著提升了计算效率。 •这种两阶段框架具有很高的实用性，能够同时实现精度与效率的控制。通过灵活调整关键参数——用于消除奇点的分割点δ、步长h以及勒让德配置点的数量——该方法能够在相对较低的计算成本下，为短期和长期模拟提供所需的精度。 •我们还对整个混合框架进行了严格的误差分析，证明了其在l2范数下的最优收敛阶。同时通过数值实验验证了我们的理论结果，并展示了该方法在处理传统方法难以处理的低规律性vies时的优异性能。>通过简单的变量替换u(x)=w′(x)，可将（1.8）转化为vie形式：
u(x)=f0(x)+∫0xf0(x,t,u(t))(x?t)αdt+f1x，w0+∫0xu(t)dt。
vie（1.1）的解在原点处可能并不光滑[4]。为在设计数值方法时获得最优收敛速度，必须明确处理这一潜在奇点。解决该问题的常见方法包括使用分级网格[5]、[6]、[7]，应用平滑变换[8]，构建非多项式配置空间[9]、[10]，或使用sinc配置近似[11]。一种更为新颖且精确的方法是通过逐次逼近[12]、[13]、[14]在原点附近为解生成ψ级数展开式，从而为（1.1）的某些特殊情形提供奇异行为的解析描述。

过去几十年来，人们为vies开发了多种数值方法。根据离散化策略，这些方法大致可分为三类：h型、p型和hp型。
h型方法的典型例子包括分段多项式配置法[4]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、[15]、[16]，连续/间断galerkin方法[17]，以及乘积积分法[12]、[18]、[19]。在这些方法中，通过细化网格（即减小步长h）可以提高精度。为处理奇异性，这些基础方法通常会与前面提到的技术——如分级网格——结合使用，以保持最优的收敛速度。
p型方法又称谱方法，其思路是通过提高整个区间上单一项式插值的次数p来获得高精度[20]。为避免等距节点带来的runge现象，这些方法会将配置点 strategically放置在正交多项式（如勒让德多项式或切比雪夫多项式）的零点或极值点上[14]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]。虽然谱方法在处理具有光滑解的问题时具有指数级收敛速度，但在需要在大范围内实现高精度时却面临挑战。大量配置点会导致线性系统过于密集且条件数不佳，进而可能引发数值不稳定问题。
hp型方法作为一种强大的替代方案，弥补了h型和p型方法之间的不足[27]、[28]、[29]、[30]、[31]。其核心思想是将计算域划分为若干子区间（即h部分），并在每个子区间上应用高阶谱近似（即p部分）。这种混合方法能够灵活调整网格大小和多项式次数，因此特别适用于处理具有非光滑解或局部奇异性的问题。该方法在文献中有多种名称，包括多步法[32]、[33]，多域法[34]、[35]，逐步法[36]，或分段谱方法[37]、[38]。在本研究中，我们采用“分段谱方法”这一术语，以突出其基于域划分（“分段”）和高阶近似（“谱”）的特点。

本文旨在开发并分析一种用于非线性弱奇异vie（1.1）的新型两阶段算法。主要贡献如下：
•我们针对一类具有两种不同类型非线性项以及具有代数或对数奇异性的核的vies进行了研究。该框架能够用于建模数学和物理学中的众多复杂问题。
•在第一阶段，我们通过推导出的ψ级数展开式，从解析上解决了初始奇点问题。这为在奇异子区间[0,δ]内得到任意精度的解提供了可能，完全无需依赖分级网格或平滑变换等传统技术。
•在第二阶段，针对剩余的规则区间[δ,t]，我们提出了高效且稳健的分段勒让德配置法实现方案。其中一个关键的算法步骤是使用快速递推公式来计算涉及勒让德多项式的弱奇异积分，从而显著提升了计算效率。
•这种两阶段框架具有很高的实用性，能够同时实现精度与效率的控制。通过灵活调整关键参数——用于消除奇点的分割点δ、步长h以及勒让德配置点的数量——该方法能够在相对较低的计算成本下，为短期和长期模拟提供所需的精度。
•我们还对整个混合框架进行了严格的误差分析，证明了其在l2范数下的最优收敛阶。同时通过数值实验验证了我们的理论结果，并展示了该方法在处理传统方法难以处理的低规律性vies时的优异性能。

本文的其余结构如下：第2节简要概述所提出的两阶段方法。第3节作为第一阶段，利用picard迭代法推导vie（1.1）在原点附近的ψ级数解。第4节作为第二阶段，致力于在规则区间上设计高精度且稳定的分段lcm。第5节对两阶段方法的收敛性进行了严格分析，并确定了其最优收敛速率。第6节通过数值示例，展示了该方法在有效消除初始奇点的同时，解决具有非光滑解的非线性vies方面的良好性能。最后，第7节给出了简要总结。>