一种用于变阶时间分数阶扩散波方程的新型运算配方法

《Mathematics and Computers in Simulation》：A novel operational collocation method for variable-order time-fractional diffusion-wave equations

　　摘要
时间分数阶扩散波方程可有效模拟多种现象，包括热传递、化学物质与疾病的扩散、反应物质的传播、地震波动力学以及电气系统中的信号传输。本研究提出了一种改进的运算配置方法，用于求解具有变阶的时间分数阶扩散波方程。该方法将配置技术与第八类切比雪夫多项式作为基函数相结合。为提升计算精度，通过创新的矩阵框架构建了用于时间和空间上整数阶积分的新运算矩阵。此外，还设计了一种伪运算矩阵，用以近似基向量的变阶积分。这些新型运算矩阵由两部分组成：改进的运算矩阵和辅助向量。在切比雪夫加权空间中给出了残差函数的误差界。通过与二阶切比雪夫小波方法的比较，证明了所提方案的有效性，其得到的绝对误差较小。

引言
与传统整数阶微积分相比，分数阶微积分因其在建模复杂系统方面的灵活性而在众多科学领域中备受重视。它能够捕捉记忆效应和非局部相互作用，因此在描述粘弹性、扩散过程以及异常扩散等现象时尤为有用[1]–[7]。通过扩展经典微积分，分数阶微积分为研究分数阶微分方程、时空分数阶偏微分方程以及分数阶积分方程提供了强大框架[8]–[10]，从而有助于构建更精确的现实世界现象模型。随着分数阶微积分的发展，人们需要开发数值技术来近似分数阶导数和积分，以优化各种应用中的计算方法。在这些方法中，配置法因其在求解分数阶方程时的高精度以及相较于有限差分法或有限元法所需节点更少而脱颖而出。借助合适的基函数，配置法具有快速收敛的特性，尤其是与正交多项式结合使用时。这些特性使得该方法能够适用于各种分数阶泛函方程。例如，Tareq等人[11]采用带正则化技术的勒让德配置法来求解广义非线性科迪阿尔沃尔泰拉积分方程；Qiu等人[12]则使用Sinc配置法处理具有多项核的四阶偏积分微分方程；Khan等人[13]提出了用于奇异分数阶微分方程的多项式配置方法，而Aourir等人[14]则应用基于径向基函数的无网格配置法来处理沃尔泰拉积分微分方程。其他进展还包括：Allouch[15]提出了基于迭代雅可比多项式的配置法用于弗雷德霍姆积分方程，Manohara等人[16]开发了用于埃姆登-福勒型方程的斐波那契小波配置法；Wang等人[17]提出了用于具有奇异核的两项线性沃尔泰拉积分方程的奇点分离勒让德配置方案，Mostafazadeh和Shahmorad[18]则将雅可比谱tau配置法应用于沃尔泰拉积分方程组；Ahmad等人[19]使用了Haar小波配置法处理控制系统中具有奇异扰动的微分-差分方程；Zhang等人[20]提出了一种用于具有变系数的偏微分方程的新型径向基函数配置法，Jafari等人[21]则开发了用于多项时间分数阶对流-扩散方程的离散最小二乘无网格方法；Zeid等人[22]采用了基于广义拉盖尔多项式的配置法来处理由积分微分方程控制的非线性最优控制问题。在另一项研究中，Kumbin等人[23]设计了用于求解线性平流-扩散方程的Hosoya多项式配置法，而Mi和Huang[24]则利用拉格朗日插值和勒让德-高斯求积法来处理非线性沃尔泰拉-弗雷德霍姆积分方程。Fu等人提出了基于径向基函数和Muntz多项式的配置法，用于求解多项变阶时间分数阶偏微分方程[25]。

配置法的有效性依赖于以正交多项式作为基函数的特性。这些多项式能够以级数形式高效表示函数，从而提升收敛速度和精度。其正交性有助于最小化近似误差，因此在数值分析、信号处理以及泛函方程求解中具有重要作用。通过将正交多项式与特定的权重函数相结合，可以进一步提升方法的灵活性，使其能够解决数值分析和数学物理领域的各类问题。不同的多项式具有独特的收敛特性，且适用于不同的区间，因此对于在多种科学领域中求解微分方程至关重要[22]–[34]。

第一至第四类切比雪夫多项式已被广泛用于近似各种分数阶泛函方程。例如，第一类切比雪夫多项式被用于求解时间分数阶耦合伯格斯方程以及分数阶延迟庞特图方程[35]、[36]；第二类切比雪夫多项式则被用于处理具有变系数的分数阶非线性反应-扩散方程、带有边界条件的常微分方程以及分数阶积分微分方程[29]、[37]、[38]；第三类切比雪夫多项式被用于求解多项变阶分数阶微分方程、高阶边值问题以及空间分数阶扩散方程[30]、[31]、[39]；类似地，第四类切比雪夫多项式也被用于处理线性十二阶边值问题以及具有延迟分布阶数的分数阶四阶亚扩散方程[40]、[41]；第五类切比雪夫多项式则被用于求解线性一阶双曲型偏微分方程、具有弱奇异核的沃尔泰拉积分-偏微分方程以及多项变阶时间分数阶扩散波方程[42]、[43]、[44]；第六类切比雪夫多项式被应用于具有比例延迟的非线性分数阶偏微分方程、双曲电报型问题以及变阶最优控制问题[45]、[46]、[47]；而第七类和第八类等更高阶的切比雪夫多项式虽然应用范围有限，但也在逐步增加。例如，El-Hameed等人将谱tau方法与第七类切比雪夫多项式相结合，用于求解时间分数阶扩散方程[48]；此外，还有基于第七类切比雪夫多项式的tau算法被用于求解分数阶延迟微分方程[49]；在[50]、[51]中，EKCPs与谱配置法相结合，被用于求解非线性时间分数阶广义川原方程。

本研究聚焦于以下具有变阶的时间分数阶扩散波方程：
0cDtβ(x,t)u(x,t)+θ?u(x,t)?t??2u(x,t)?x2=g(x,t)，(x,t)∈I，
其中0cDtβ(x,t)(.)是变阶β(x,t)的卡普托导数算子，满足1< />< /><βmax≤2，θ∈r，g(x,t)为连续函数，u(x,t)为未知连续函数，i=[0,1]×[0,t]。方程(1.1)可结合以下初始条件和边界条件： u(x,0)=h0(x)，?u(x,0)?t=h1(x)，x∈[0,1]， u(0,t)=f0(t)，u(1,t)=f1(t)，t∈[0,T]， 其中hj(t)、fj(t)（j=0,1）为给定的连续函数。 方程(1.1)可用于模拟材料中的热量扩散、化学物质和疾病在群体或介质中的传播、反应物质在介质中的扩散、地震波或海啸，以及电缆或输电线路中的信号传播[4]、[5]、[52]。许多研究者提出了多种方法来求解恒定分数阶的时间分数阶扩散波方程，这些方法包括：第二类切比雪夫小波配置法[53]、无网格广义有限差分法[54]、[55]、雅可比配置方案[56]、径向点插值法[57]、b样条配置法[58]、sinc有限差分法[59]、sinc-切比雪夫法[60]、勒让德函数法[61]。 在本研究中，提出了一种结合ekcps的新型运算配置方案，用于近似求解方程(1.1)中的变阶偏微分方程。为提升方案的精度，以新的方式构建了整数阶的积分运算矩阵，该矩阵包含改进的运算矩阵和辅助向量，以此优化近似过程。此外，还针对时间变量推导出了用于变阶项的积分伪运算矩阵。通过克罗内克积，这些运算矩阵可扩展为用于表示第八类二维切比雪夫多项式。通过建立各种矩阵关系，获得了问题(1.1)–(1.2)所需的近似解。将这些近似值代入方程(1.1)后，可得到残差函数，将该残差函数在适当的配置点上进行配置，即可得到一组代数方程。求解该方程组即可得到近似解。 本研究的主要目标如下： 1. 改进运算配置方案，以获得比现有方法更精确的解。 2. 首次构建与第八类二维切比雪夫多项式相对应的新型积分运算矩阵。 3. 在切比雪夫加权索伯列夫空间内，估计近似解及残差函数的误差界。 本文的其余结构如下：第2节介绍了分数阶微积分中的基本定义和概念；第3节介绍了一维和二维的ekcps，并给出了改进的积分运算矩阵和伪运算矩阵；第4节阐述了该方法的具体实现步骤；第5节对近似解的误差界进行了估算；第6节展示了所提方法的应用效果和效率；最后，文章总结了研究结果并展望了未来发展方向。 概念与定义 本文采用了以下分数阶微积分的定义和性质。 定义2.1 设β(x,t)为定义在[0,1]上的所有x,t处的正连续函数。对于给定函数z(x,t)，其变阶β(x,t)的黎曼-刘维尔积分算子定义为： 0rlitβ(x,t)z(x,t)=1Γ(β(x,t))∫0t(t?τ)β(x,t)?1Z(x,τ)dτ，(x,t)∈I， 其中γ(.)为著名的伽马函数：γ(α)=∫0∞tα?1exp(?t)dt，Re(α)>0，且0RLIt0Z(x,t)=Z(x,t)。

定义2.2
设β(x,t)为满足m?1< />< /><βmax≤m且m∈n的连续函数。 ekcps及其矩阵关系 本节介绍了一维和二维的ekcps，以及与之相关的新型积分运算矩阵和矩阵关系。 方法的结构 根据空间变量和时间变量的最高阶导数（x方向的二阶导数，βmax≤2），可采用以下矩阵近似形式： ?4u(x,t)?x2?t2≈υ?e(x,t)。 对式(4.1)关于变量t积分两次，并结合条件(1.2)，可得： ?3u(x,t)?x2?t≈υ?δte(x,t)+υ?ωet(x,t)+h1″(x)， ?2u(x,t)?x2≈υ?δt2e(x,t)+υ?δtωet(x,t)+υ?ω?et(x,t)+th1″(x)+h0″(x)， 其中向量ω?et(x,t)的计算方法见附录的第一部分。 误差界的近似 第4节给出了方程(1.1)精确解的近似形式。因此，在适当的函数空间中对所得近似解进行误差分析至关重要。于是，一维和二维的切比雪夫加权索伯列夫空间可定义如下： b?n(i)={z(t)|0cDtβ(t)+kz(t)∈L?2(I)，0≤k≤n}， 其中i=>< />< /><βmax≤2，n∈n。b?n(i)具有以下内积、范数和半范数：
〈z(t),v(t)〉b?n(i)=∑k=0n〈0cdtβ(t)+kz(t),0cdtβ(t)+kv(t)〉l?

所提方案的应用
通过数值方法解决了四个示例，以验证所提出的配置法在处理方程(1.1)中的扩散波方程时的有效性和合理性。该算法是在maple 2023版本上运行的，模拟工作则在配备2.8 ghz英特尔酷睿i5处理器和8 gb内存的联想笔记本电脑上完成。还将所提方法得到的近似解与精确解以及一些现有数值方法的结果进行了比较。

结论
本研究开发了一种改进的运算配置方法，用于处理变阶扩散波方程。该方法以ekcps作为基函数，引入了新型的整数阶积分运算矩阵。为进一步提升精度，还在运算过程中加入了辅助向量。同时，还推导出了伪运算积分矩阵，用以有效近似变阶黎曼-刘维尔积分算子对基向量的影响。 〈z(t),v(t)〉b?n(i)=∑k=0n〈0cDtβ(t)+kz(t),0cDtβ(t)+kv(t)〉L? 所提方案的应用 通过数值方法解决了四个示例，以验证所提出的配置法在处理方程(1.1)中的扩散波方程时的有效性和合理性。该算法是在maple 2023版本上运行的，模拟工作则在配备2.8 ghz英特尔酷睿i5处理器和8 gb内存的联想笔记本电脑上完成。还将所提方法得到的近似解与精确解以及一些现有数值方法的结果进行了比较。 结论>〈z(t),v(t)〉b?n(i)=∑k=0n〈0cdtβ(t)+kz(t),0cdtβ(t)+kv(t)〉l?

所提方案的应用
通过数值方法解决了四个示例，以验证所提出的配置法在处理方程(1.1)中的扩散波方程时的有效性和合理性。该算法是在maple 2023版本上运行的，模拟工作则在配备2.8 ghz英特尔酷睿i5处理器和8 gb内存的联想笔记本电脑上完成。还将所提方法得到的近似解与精确解以及一些现有数值方法的结果进行了比较。

结论
本研究开发了一种改进的运算配置方法，用于处理变阶扩散波方程。该方法以ekcps作为基函数，引入了新型的整数阶积分运算矩阵。为进一步提升精度，还在运算过程中加入了辅助向量。同时，还推导出了伪运算积分矩阵，用以有效近似变阶黎曼-刘维尔积分算子对基向量的影响。>