基于离散时间神经动力学的在线二次规划方法，用于缆驱动平面机器人的离散时间轨迹跟踪

《Neural Networks》：Discrete-time neural dynamics-based online quadratic programming for discrete-time trajectory tracking of cable-driven planar robot

　　摘要：由于结构简单且工作空间灵活，绳索驱动的平面机器人越来越受到关注。然而，在离散时间环境中实现精确的轨迹跟踪仍面临挑战，因为其运动学具有非线性特征，同时还需要实时计算能力。本文提出了一种基于离散时间神经动力学（DTND）的在线二次规划框架，用于具有典型绘图系统结构的绳索驱动平面机器人的离散时间轨迹跟踪。首先通过将期望的末端执行器轨迹转化为离散时间速度跟踪目标，将机器人的逆运动学问题转化为在线二次规划问题。受DTND在时变二次规划中的启发，本文采用基于DTND的迭代求解器来计算每个采样时刻的绳索长度变化率，从而无需显式离线优化即可实现实时轨迹跟踪。所提出的方法完全基于离散时间形式，适合数字实现。基于绳索驱动平面机器人的数值模拟表明，该基于DTND的在线二次规划方法能够实现稳定的误差收敛和精确的轨迹跟踪。此外，还通过实际实验验证了该框架的可行性及其在现实工程场景中的应用潜力。

1. 引言
近年来，绳索驱动机器人因其轻质结构、较大工作空间、较高的载荷重量比以及灵活的机械配置而备受关注。本文研究的绳索驱动平面机器人的示意图如图1所示。这些特性推动了针对康复应用的绳索驱动系统（Qian等人，2023年）、绳索驱动并联机器人的自适应姿态跟踪技术（Cheah等人，2024年），以及基于绳索驱动平台的离散时间跟踪方法（Shi等人，2023年）的发展。此外，还有针对离散时间非线性系统的自触发神经跟踪方法被研究（Hu等人，2025a年）。在各种配置中，绳索驱动平面机器人为研究绳索驱动机制的建模、控制及实时实现问题提供了简化但具有代表性的平台。

尽管具有结构优势，但由于非线性运动学、绳索长度约束以及执行器运动与末端执行器移动之间的强耦合，绳索驱动平面机器人的控制仍然具有挑战性。在数字控制环境中，这种挑战更为突出，因为轨迹跟踪必须在有限在线计算能力的条件下以离散时间形式实现。在这种情况下，控制器不仅需要在每个采样时刻生成可行的绳索指令，还要在工况变化时保持良好的跟踪精度和稳定性。传统的基于模型的方法通常依赖连续时间公式和数值求解器，当部署在数字硬件上时可能会出现累积的离散化误差，且实时效率较低。

为满足在线计算和时变控制需求，基于神经动力学的方法在机器人系统和优化问题中得到了广泛研究。神经计算为在线二次规划提供了有益思路（Gao和Du，2025年）。神经网络模型也被用于解决时变线性代数问题（Zhang等人，2024b年）、矩阵计算问题（Zhang等人，2024a年）以及“胜者通吃”优化问题（Zhang、Li、Geng，2023年；Zhang、Li、Weng，2023年）。在机器人和多智能体系统中，相关神经控制理念也被应用于异常数据条件下的控制（Zhang和Li，2023年）、跟踪控制场景（Peng等人，2026年）、分布式协调场景（Liu等人，2024年）、冗余操作臂的运动规划（Huang、Jin）以及分层机器人学习框架（Xie等人，2025年）。基于学习的智能方法也被应用于航空航天领域的主动跟踪和轨迹规划问题（Hu、Zhou、Yao、Shao、Sun，2025年；Zhou、Sun、Lei、Wu，2022年），以及航空航天系统中的基于神经网络的故障诊断（Jia等人，2025年）。最近的神经动力学研究还涉及了时间依赖优化（Jin等人，2023年）、基于梯度的神经学习（Liu等人，2023年）以及非凸优化（Fan等人，2025年）。与传统数值算法相比，神经动力学方法具有内在并行性、快速收敛特性，且更适用于在线实现。

在绳索驱动平面机器人的背景下，基于离散时间神经动力学的控制方法展现出巨大潜力。特别是，有人提出了改进型的离散时间循环神经网络（ID-DTRNN），用于绳索驱动平面机器人的轨迹跟踪控制，该控制器直接由离散时间跟踪误差动力学推导而来，并通过数值模拟和物理实验得到了验证（Shi等人，2023年）。这类研究表明，以任务为导向的离散时间神经控制器能够有效实现绳索驱动机器人平台上的实时跟踪任务。然而，这类方法通常是针对特定的跟踪公式设计的，其神经动力学结构与相应的任务误差模型紧密相关，因此其在更一般的基于优化的控制场景中的应用灵活性和通用性可能较为有限。

最近的神经动力学研究显示出在时变优化和非线性计算方面的良好收敛性和鲁棒性（Jin、Wei、Li，2023年；Zheng、Yu、Xu、Zhang、Deng，2024年），以及用于二次规划及相关优化模型的高效神经计算方法（Du、Dong、Xiao、Wei、Hong，2025年；Gao、Du，2025年）。此外，还有用于动态优化的自适应或模糊神经机制（Luo、Ren、Zheng、Chen、Ma、Liu、Li、Yu、Zhang，2025年；Zhang、Sun、Li、Liu，2025年），包括用于实时反演问题的协同模糊梯度神经动力学方法（Liu等人，2026年）。相关的零点神经动力学和神经动力学优化模型进一步将这一研究方向扩展到受限时变问题（Li、Pan，2024年；Zeng、Hua、Liao、Li，2025年）、预定义时间与离散化神经模型（Kong、Chen、Jiang、Sun、Zhang，2025年；Wen、Qu、He、Sun、Yang、Li、Zhou，2024年），以及机器人或含噪声优化应用领域（Liufu、Jin、Li，2025年；Tang、Cai、Xiao、He、Li、Zuo、Li，2025年）。其他最新研究还涉及操作臂相关的优化问题（Kong等人，2025a年）、与运动规划相关的矩阵方程求解问题（Guo等人，2025年）、鲁棒的时变二次规划计算方法（Yang等人，2025年）、分布式非凸优化问题（Shi等人，2025年）、受限非光滑优化问题（Liu等人，2025年）以及多阶段神经求解方法（Zuo等人，2025年）。

因此，以任务为导向的离散时间神经控制与以优化为导向的DTND方法引发了一个重要问题：能否将绳索驱动平面机器人的离散时间轨迹跟踪问题重新表述为在线优化问题，并通过基于DTND的神经动力学框架来解决？这样就可以将基于优化的建模灵活性与离散时间神经计算的实时处理能力结合在统一的控制方案中。基于这一疑问，本文通过基于DTND的在线二次规划框架，研究了绳索驱动平面机器人的离散时间轨迹跟踪问题。具体而言，首先根据其物理结构建立绳索驱动平面机器人的运动学模型，然后将离散时间跟踪任务重新表述为以绳索长度变化率为决策变量的在线二次规划问题。在此基础上，构建基于DTND的求解器，以便在每个采样时刻在线计算控制量，从而使末端执行器能够实时跟随期望轨迹。这样一来，所提出的方法就在统一的在线控制框架内，将以任务为导向的离散时间神经跟踪控制与通用的基于优化的离散时间神经动力学相结合。本文研究的整体建模、推导、实现及验证流程如图2所示。

本文的主要贡献如下：
• 通过将基于逆运动学的跟踪任务重新表述为在线二次规划问题，建立了绳索驱动平面机器人的离散时间轨迹跟踪框架。
• 针对由此产生的离散时间优化问题，开发了与机器人采样数据控制逻辑相一致的基于DTND的在线求解器。
• 通过与其他方法的数值比较以及在绘图用绳索驱动平面机器人平台上的物理实验，验证了所提方法的有效性、鲁棒性及实际应用可行性。

本文的其余部分结构如下：第2节介绍绳索驱动平面机器人的几何结构及离散时间跟踪问题；第3节将跟踪任务重新表述为在线二次规划问题，并开发相应的基于DTND的求解器；第4节进行理论分析；第5节给出数值及物理实验结果；第6节对全文进行总结。

2. 机器人运动学与问题描述
本节将阐述绳索驱动平面机器人的几何结构及离散时间跟踪问题。所研究的机器人是一种双绳索平面并联机构，拥有两个电机固定点，以及一个在绘图平面上移动的末端执行器。这两个电机通过改变绳索长度来决定末端执行器的位置。设这两个固定点分别为A=[xA,yA]T和B=[xB,yB]T，根据本文采用的坐标系，这两个固定点分别位于绘图板的左上角和右上角。设ck=[xk,yk]T∈R2表示在采样时刻tk∈[t0,tf]?[0,+∞)时的实际末端执行器位置，而lk=[l1,k,l2,k]T∈R2则表示绳索长度向量。根据几何关系，绳索长度满足l1,k=∥ck?A∥2，l2,k=∥ck?B∥2。因此，正向运动学关系可简洁地表示为ck=?(lk)。对于当前的双绳索平台，函数?(·)是由以A和B为圆心、半径分别为l1,k和l2,k的两个圆相交所得，且选取位于绘图工作空间内的那个实际交点。设ckd∈R2表示在tk时刻期望的末端执行器位置。离散时间跟踪的目标就是让实际位置跟随期望轨迹，即ck→ckd。为量化跟踪性能，定义位置误差为ek=ckd?ck=ckd??(lk)∈R2。在实现的控制器中，期望轨迹会预先采样，因此在生成[tk,tk+1)时间段的控制动作之前，下一个期望采样值ck+1d已经确定。因此，控制器采用一步先行的采样点跟踪逻辑：在时刻tk，计算出在线绳索速率指令，使得tk+1时刻的实际位置接近预先采样的目标值ck+1d。等价地，理想的离散时间目标可表示为ck+1?ck+1d=0。由于该机器人是通过改变绳索长度而非直接控制笛卡尔坐标来运动的，后续章节会将跟踪任务转化为绳索速率空间中的在线优化问题。

3. 离散时间跟踪问题的QP重述与基于DTND的求解器
在采样时刻tk=kg，采样间隔为g＞0时，绳索驱动平面机器人是通过绳索长度变化率来控制的。设l˙k∈R2表示在[tk,tk+1)时间段内以零阶保持方式施加的绳索速率指令。对几何关系式(3)求导，可得速度级的运动学关系式l˙k=Ckc˙k，其中Ck=[u1,kTu2,kT]，u1,k=ck?Al1,k，u2,k=ck?Bl2,k，c˙k=Jkl˙k，Jk:=Ck?1或Ck?。此处，u1,k和u2,k分别是沿两条绳索方向的单位向量。在实现过程中，可通过判断绳索方向矩阵Ck的行列式来判断是否存在奇异性。具体而言，定义δk=det(Ck)=u1x,ku2y,k?u1y,ku2x,k，Jk={Ck?1，|δk|≥εs，Ck?，|δk|<εs，其中εs=10?10。由于ck的各行都是单位绳索方向向量，因此δk是无量纲的。阈值εs=10?10仅作为数值保护措施，以避免除以过小的行列式值。为在单个采样间隔内减小跟踪误差，实现的控制器采用一步先行的误差校正参考速度vk=ck+1d?ckg。该值并非期望轨迹的解析导数，而是一种离散时间参考速度，旨在一步将当前末端执行器位置驱动至下一个预先采样的期望点。设决策变量为yk:=l˙k∈r2，那么通过最小化生成的笛卡尔速度jkyk与参考速度vk之间的差异，即可得到绳索速率指令：minyk12∥jkyk?vk∥22。在本研究中，没有在qp目标函数中引入额外的正则化项。这样的选择保持了在标准采样点跟踪场景下，最小二乘目标函数与一步预测跟踪误差成本之间的精确等价性。由于所报告的跟踪实验都是在非奇异配置下进行的，因此对于当前研究而言，不加正则化的形式已经足够；若未来需要在条件不佳的配置下获得更高的鲁棒性，再引入正则化或约束扩展。为便于后续分析，并与适用于带等式约束的时变二次规划的通用dtnd框架保持一致，将式(10)中的qp问题改写为minyk12∥qkyk+ηk∥22，满足条件dkyk=ak，qk=jk，ηk=?vk。其中dkyk=ak表示可选的等式约束。在本文的仿真和实验中，没有施加额外的等式约束，因此dk为空，式(11)就简化为式(10)中的无约束最小二乘问题。保留通用约束形式只是为了与dtnd求解器在符号上保持一致，以便将来进行扩展。展开式(11)中的二次代价项，可得12∥qkyk+ηk∥22=12yktnkyk+bktyk+const，其中nk=qktqk，bk=qktηk。因此，对应的kkt系统为skzk=qk，sk=[nkdktdk0]，zk=[ykλk]，qk=[?bkak]。在本文报告的仿真和物理实验中，也没有施加额外的等式约束。在实际实现中，dk∈r0×2和ak∈r0均为空矩阵。因此，代码中使用的kkt系统就简化为无约束的正规方程组g(13a)hkyk=gk，其中hk=jktjk，gk=jktvk。这一结果是由qk=jk和ηk=?vk推导而来的，此时bk=qktηk=?jktvk，因此?bk=jktvk。>在所实现的无约束情况下，zk简化为yk，Sk简化为Hk，qk简化为gk。按照DTND框架，将KKT残差定义为(14)ζk=Skz?k?qk，其中z?k表示在采样时刻tk可用的内部求解器状态。随后进行一次DTND校正，公式为(15)z?k+=z?k+Sk?(?(Sk?Sk?1)z?k+qk?qk?1?Δζk?Λ∑i=0kζi)，其中Δ=γg>0且Λ=λg>0为设计参数。对于初始步骤k=0，初始化时设定S?1=S0且q?1=q0。对于(13a)中实现的无约束问题，残差和DTND更新可明确表示为(15a)ζku=Hky?k?gk，以及(15b)y?k+=y?k+Hk?(?(Hk?Hk?1)y?k+gk?gk?1?Δζku?Λ∑i=0kζiu)。当k=0时，无约束实现采用H?1=H0和g?1=g0进行初始化。施加在机器人上的缆绳速率指令为yk=y?k+。这种形式被用于仿真和实验，而(13)中的等式约束KKT形式则仅为了与通用DTND框架保持一致以及便于未来扩展而保留。在通用约束表述中，更新后的DTND状态的原始部分被用作当前的缆绳速率指令；而在所实现的无约束表述中，它简化为yk=y?k+。随后通过(16)yk=[z?k+]p,lk+1=lk+gyk来更新缆绳长度，其中[?·?]p表示提取原始分量。因此向量yk是缆绳速率指令而非直接的电机步进指令。在采样数据实现中，首先将其在一个采样间隔内积分，即Δlk=gyk，然后通过lk+1=lk+Δlk来更新缆绳长度。对于步进电机驱动，设ds为线轴直径，Ns为电机每转的步数分辨率。缆绳长度的分辨率则为(16a)ρl=πdsNs。 thus，在校准了初始缆绳长度li,0及对应的初始电机步数ni,0之后，缆绳i的累积电机步进指令可按(16b)ni,k+1=ni,0+round(li,k+1?li,0ρl)，i=1,2来计算。同样地，一个采样间隔内发送的增量步进指令为Δni,k=ni,k+1?ni,k，其正负号由电机接线规则决定。如果电机计数器在初始缆绳长度时重置，则ni,0=0，上述表达式就转化为相对的缆绳长度与步数的转换关系。在本平台上，ds=35毫米，Ns=2048，因此ρl≈0.0537毫米/步。更新缆绳长度后，可通过精确的几何正向运动学ck+1=?(lk+1)重新计算tk+1时的末端执行器位置，这能消除因局部线性化带来的误差。因此，尽管(15)中的DTND递推遵循了时变QP问题的标准DTND公式，但整个控制器完全以离散时间形式实现，可直接用于数字硬件实现。

备注1：本研究所使用的DTND求解器作为在线优化器，而非用于未来控制动作的独立预测机制。在每个采样时刻tk，都会利用当前的QP数据以及预采样的目标点ck+1d执行一次DTND更新，得到的原始变量yk会立即应用于[tk,tk+1)区间。对于当前的绘墙平台，优化问题为无约束最小二乘问题，而保留通用KKT形式只是为了与标准DTND框架保持一致，并便于将来添加额外的等式约束。

备注2：对于当前这个无约束的双缆绳问题，也可者在每个采样时刻计算解析伪逆或正规方程解。不过仍选择使用DTND求解器，原因有三。首先，该控制问题是时变的在线QP序列，而非孤立的静态最小二乘问题。内部状态y?k会从一个个采样时刻传递到下一个时刻，因此当采样间隔较小且QP数据变化平滑时，之前的解可作为良好的起始值。在这种高频采样数据实现下，一次DTND校正就足以跟踪变化缓慢的优化器，而(15b)中的残差反馈项则可补偿瞬时及累积的KKT残差。其次，单次无约束DTND校正主要包含构建Hk和gk、计算残差以及应用一次伪逆-向量乘法。对于一般的ny维密集问题，若从零开始重新计算伪逆，其复杂度与基于传统矩阵求逆的解相同，均为O(ny3)阶；而一旦有分解或结构化实现方法，其复杂度可降至O(ny2)的矩阵-向量运算阶。在当前ny=2的平台上，两者的计算差异可忽略不计；DTND的优势在于其递归残差调节架构，而非在这种小型无约束问题上所谓的速度优势。第三，相同的KKT残差形式可直接扩展到带约束的在线QP问题。相比之下，传统的伪逆解仅适用于无约束最小二乘跟踪，若要处理缆绳速率限制、缆绳长度约束、工作空间约束或张力约束等物理不等式，就需要额外的投影、饱和或切换逻辑。这些约束可通过在同一基于优化的控制框架内的受限神经动力学/QP公式在未来工作中加以实现。

4. 理论分析
本节分析了所提出的基于DTND的在线QP框架所引发的采样数据跟踪机制。推导过程从一步预测模型出发，到DTND求解器的残差动态，最终到缆绳驱动平面机器人的闭环跟踪误差。以下分析针对本文考虑的无噪声理想跟踪场景展开。具体而言，假设期望轨迹由有界且二次连续可微的参考曲线生成，然后以采样间隔g进行预采样，同时假设末端执行器始终处于远离奇异构型的常规工作区域。在此条件下，在线QP中产生的矩阵和向量，包括Jk、Nk、Sk和qk，都是有界的且随时间平滑变化，这使得阶数估计dk=O(g)以及后续O(g2)的跟踪误差结论能够明确得出。

4.1 算法描述
在详细推导之前，算法1总结了完整的采样数据控制循环。在每个采样时刻，利用当前机器人状态和下一个期望采样点来构建QP问题，执行一次DTND校正，然后将得到的缆绳速率指令立即应用于机器人。

算法1. 基于实时DTND的缆绳驱动平面机器人跟踪控制。

4.2 一步预测与优化一致性
本小节表明，第3节中的QP问题实际上就是以缆绳速率空间表示的一步离散时间跟踪模型。在采样时刻tk，缆绳速率指令yk=l˙k会以零阶保持的方式应用于[tk,tk+1)区间。将(16)中的缆绳长度更新与正向运动学在lk处的泰勒展开相结合，可得(17)lk+1=lk+gyk，ck+1=?(lk+1)=?(lk+gyk)=ck+gJkyk+O(g2)。相应地，一步预测的位置为c^k+1=ck+gJkyk。由于参考速度由vk=(ck+1d?ck)/g定义，因此也有ck+1d=ck+gvk。这样一来，一步预测的跟踪误差满足(18)e^k+1:=ck+1d?c^k+1=ck+1d?ck?gJkyk=g(vk?Jkyk)。由此可直接得出(19)12∥Jkyk?vk∥22=12g2∥e^k+1∥22，minyk12∥Jkyk?vk∥22=minyk12g2∥e^k+1∥22。因此，QP目标函数实际上就是预测得到的一步跟踪误差成本，只不过多了常数缩放因子1/g2，这意味着第3节中的优化模型并非启发式方法，而是真正以缆绳速率空间表示的一步采样点跟踪问题。此外，当Jk非奇异时，最小化(10)可得(20)yk=Ckvk，e^k+1=0，这说明在理想的无噪声且非奇异情况下，所提出的QP问题旨在实现预测采样点误差的精确一步抵消。

4.3 DTND求解器的残差动态
本小节推导了由DTND递推产生的残差差分方程。除了(14)中的预更新残差外，还定义更新后的残差为ζk+:=Skz?k+?qk。由于tk时刻的DTND内部状态恰好是上一个采样时刻的更新后状态，即k?≥?1时z?k=z?k?1+，将(15)代入更新后残差的定义中，可得(21)ζk+=Skz?k+?qk=Sk?1z?k?qk?1?Δζk?Λ∑i=0kζi=ζk?1+?Δζk?Λ∑i=0kζi，k≥1。为将DTND的内在反馈与QP数据的变化区分开来，定义失配项dk:=(Sk?Sk?1)z?k?(qk?qk?1)。这样，预更新残差可改写为(22)ζk=Skz?k?qk=Sk?1z?k?qk?1+dk=ζk?1++dk。将(22)代入(21)后可得(23)ζk+=(1?Δ)ζk?1+?Λ∑i=0kζi?Δdk，k≥1。如果S(t)、q(t)和z?(t)都是有界且连续可微的，那么dk=O(g)。由于Δ=γg，因此(23)中的Δdk项为O(g2)阶，也就是说，在二阶扰动范围内，DTND求解器的行为相当于一个离散时间的比例-积分型残差调节器：(24)ζk+=(1?Δ)ζk?1+?Λ∑i=0kζi+O(g2)。

4.4 闭环跟踪误差分析
本小节将DTND残差与缆绳驱动平面机器人的实际跟踪误差联系起来。由于目前的绘墙平台没有施加额外的等式约束，因此所实现的无约束KKT系统遵循(13a)，即(25)Hk=JkTJk，gk=JkTvk，yk*=Hk?1gk，其中yk*表示当Jk非奇异时，(10)中QP问题的精确最优解。从精确的正向运动学更新及(17)中的泰勒展开出发，tk+1时刻的实际跟踪误差满足(26)ek+1=ck+1d?ck+1=ck+1d??(lk+gyk)=ck+1d?ck?gJkyk+O(g2)=gvk?gJkyk+O(g2)。为将精确的QP解与在线DTND近似解区分开来，可在(26)式中同时加上和减去gJkyk*。由于yk*是(10)的精确最优解，只要Jk非奇异，就有Jkyk*=vk。在无约束情况下，更新后的残差满足ζk+=Hkyk?gk，而最优解满足Hkyk*=gk。因此(27)gvk?gJkyk*=0，yk?yk*=Hk?1ζk+，将(27)代入(26)后可得(28)ek+1=?gJkHk?1ζk++O(g2)。方程(28)表明，闭环跟踪误差由非零DTND残差ζk+引发的在线优化误差，以及O(g2)阶的局部正向运动学离散化误差组成。如果Jk和Hk?1是有界的，那么存在常数Mζ和c0，使得(29)∥ek+1∥2≤gMζ∥ζk+∥2+c0g2。因此，如果Jk非奇异，且如DTND理论所述，DTND残差趋于O(g2)阶，那么在无噪声情况下，最终的闭环跟踪误差也属于O(g2)阶：(30)∥ek+1∥2=O(g2)。

4.5 参数选择说明
本小节总结了采样间隔以及主要DTND设计参数的实际作用。如前文分析所示，采样间隔g既影响离散时间近似的精度，也影响实时实现的成本。(17)中的局部正向运动学误差为O(g2)阶，而DTND残差的精度也通过离散时间求解器递推依赖于g。因此，在此处采用的一步预测采样点跟踪实现方式下，较小的g通常能提升优化残差水平及闭环跟踪精度，但代价是更高的计算负荷，以及对数字舍入和测量噪声更强的敏感性。故而，选择g时需在精度与硬件更新能力之间取得平衡。DTND参数γ和λ通过Δ=γg和Λ=λg发挥作用。根据(24)中的残差递推关系，增大γ可加强比例型残差校正，通常能加快瞬时残差的衰减速度；而增大λ则可增强累积型残差反馈，有助于抑制由时变QP数据引起的缓慢变化的偏差。不过，如果γ或λ选得过大，离散时间残差动态可能会出现振荡，尤其是在条件不佳的配置下。在实际调试中，γ主要用于加速收敛，而λ则主要用于提高对抗残差累积的鲁棒性。对于当前的绘墙平台，一种可行的做法是首先根据硬件更新速率选定一个足够小的g，然后逐步增加γ，直到残差能快速收敛且无明显振荡，最后调整λ以减少残差累积并提升系统鲁棒性。

5 数值与实物实验验证
本节通过数值模拟和实物实验，验证所提出的基于DTND的离散时间轨迹跟踪方法在缆绳驱动平面机器人中的应用效果、鲁棒性及实际可行性。共研究了两种具有代表性的跟踪任务：第一种使用无噪声的利萨如参考路径，用于测试无噪声环境下的跟踪性能；第二种使用带有干扰的兔子形参考路径，用于评估系统对轨迹复杂度及干扰的适应能力。

5.1 实验装置与性能指标
用于实际验证的物理平台如图3所示。图3(a)展示了整体桌面式的缆绳驱动平面机器人，图3(b)为控制器电路板，图3(c)为带有重物的持笔末端执行器，图3(d)为电机线轴驱动单元。表1汇总了基准模型、控制器及硬件参数。除非另有说明，数值实验和实物实验均采用此配置。在数值研究中，仅改变采样间隔，取g=0.1秒、0.01秒和0.001秒；而实物实验则采用基准值g=0.001秒。无噪声测试使用利萨如参考路径，而含干扰测试则使用兔子形参考路径。

表1. 实验中使用的基准模型、控制器及硬件参数。
参数 值
锚点A [-253.5, 440] 特米
锚点B [253.5, 440] 特米
锚点间距 507 毫米
x方向绘制区域 [-253.5, 253.5] 毫米
y方向绘制区域 [-440, 440] 毫米
基准采样间隔 g=0.001 秒
DTND参数 γ=5，λ=1
奇异性切换阈值 εs=10^-10
线轴直径 35 毫米
电机分辨率 2048 步/转
缆绳长度分辨率 0.0537 毫米/步

在数值实验中，利萨如示例是在无噪声情况下生成的，而兔子形示例则包含了模型层面的干扰。在比较测试中，DTND方法和ID-DTRNN方法在相同的轨迹、采样间隔和干扰条件下进行实现。在每次运行过程中，都会记录目标位置、实际位置、缆绳长度以及离散时间跟踪误差。主要展示的指标是欧几里得跟踪误差范数，如图4(c)、(d)和图6(c)、(d)所示，而缆绳长度的变化则显示在图4(b)和图6(b)中。下载：下载高分辨率图像（1MB）下载：下载全尺寸图像图4. 无噪声利萨如路径跟踪任务的数值实验结果。(a) DTND路径跟踪结果，蓝色实线表示末端执行器的实际轨迹，红色虚线表示目标路径。(b) 实际轨迹在X轴和Y轴上的分量以及DTND方法生成的相应缆绳长度。(c) 不同采样间隔下DTND方法的跟踪误差范数。(d) 不同采样间隔下ID-DTRNN方法的跟踪误差范数。5.2 无噪声利萨如路径跟踪在第一个数值示例中，采用利萨如平面参考路径来评估所提出的基于DTND的在线QP求解器在无噪声条件下的跟踪能力。由于该任务是在没有噪声干扰的情况下进行的，因此用于验证控制器是否能够生成可行的缆绳速度指令，并在无噪声采样数据环境中保持稳定的闭环跟踪。在数值实现中，末端执行器初始位于目标轨迹的第一个采样点。然后，在每个采样时刻，执行一次DTND校正步骤，通过公式(16)更新缆绳长度，并通过精确的正运动学重新计算实际末端执行器位置。数值结果显示在图4中。在图4(a)中，实际轨迹几乎与目标利萨如路径重合。图4(b)显示出平滑的笛卡尔运动和平稳的缆绳长度变化，表明生成的指令在物理上是可实现的。如图4(c)所示，随着采样间隔的减小，DTND跟踪误差范数降低，这与第4节中的分析一致。作为对比，图4(d)显示ID-DTRNN方法也呈现类似趋势，但误差水平更高，振荡更为明显，尤其是在g=0.1秒时。从图4(b)还可以看出，两条缆绳长度沿着周期性路径以规律且协调的方式变化。这种行为与利萨如任务的几何简单性相符，也有助于解释为什么图4(c)中的DTND方法在整个跟踪区间内能保持相对较低的误差水平。表2列出了代表性时刻下的DTND跟踪误差范数。随着g从0.1秒降至0.01秒，再降至0.001秒，这些数值显著下降，这与第4节中得到的O(g2)跟踪精度结果一致。此外，图5展示了相应的物理实验，其中持笔的末端执行器在实物平台上连续沿利萨如路径移动。表2. 无噪声利萨如路径跟踪任务中，DTND方法在代表性时刻的跟踪误差范数。采样间隔时间时刻g=0.1秒15秒30秒45秒60秒75秒90秒1.0005×10??7.8328×10??4.9690×10??1.0544×10??6.1097×10??6.6289×10??g=0.01秒15秒30秒45秒60秒75秒90秒9.5886×10??8.0341×10??4.5961×10??1.0244×10??6.4112×10??6.1209×10??g=0.001秒15秒30秒45秒60秒75秒90秒9.8402×10??7.3274×10??5.1502×10??1.0257×10??5.6373×10??6.7725×10??下载：下载高分辨率图像（637KB）下载：下载全尺寸图像图5. 无噪声利萨如路径物理实验的快照。5.3 受干扰的兔子形路径跟踪为了进一步研究所提方法在更复杂任务上的跟踪能力，第二个数值示例采用了兔子形状的平面参考路径。与前一小节中的无噪声利萨如路径相比，该任务涉及更频繁的曲率变化，以及两条缆绳运动之间更强的耦合。此外，数值实现中还引入了模型侧的干扰。因此，这个示例用于检验当目标路径的几何复杂性增加且干扰程度增大时，基于DTND的在线QP求解器是否仍能保持稳定且精确的跟踪性能。数值结果显示在图6中。在图6(a)中，即使引入干扰，DTND方法仍能较好地再现兔子形状的参考路径。图6(b)显示，整个过程中笛卡尔运动分量和缆绳长度都保持在一定范围内。如图6(c)所示，对于所有考虑的采样间隔，DTND跟踪误差范数都处于可控范围，并且随着g的减小而降低。作为对比，图6(d)显示，在相同的干扰条件下，ID-DTRNN方法的误差幅度更大，振荡也更剧烈，尤其是在较大采样间隔时。下载：下载高分辨率图像（965KB）下载：下载全尺寸图像图6. 受干扰的兔子形路径跟踪任务的数值实验结果。(a) DTND路径跟踪结果，蓝色实线表示末端执行器的实际轨迹，红色虚线表示目标路径。(b) 实际轨迹在X轴和Y轴上的分量以及DTND方法生成的相应缆绳长度。(c) 不同采样间隔下DTND方法的跟踪误差范数。(d) 不同采样间隔下ID-DTRNN方法的跟踪误差范数。与无噪声利萨如路径相比，兔子形路径带来了更剧烈的局部几何变化，这体现在图6(b)中运动分量和缆绳长度的波动更为密集。尽管如此，图6(b)中受限的响应以及图6(c)中受限的误差曲线表明，基于DTND的控制器在受干扰条件下仍能保持稳定的采样数据跟踪性能。表3列出了代表性时刻下的DTND跟踪误差范数。虽然干扰导致了比无噪声利萨如路径更大的波动，但仍然可以观察到与采样间隔相关的相同趋势，即较小的g值对应更低的误差值。此外，图7展示了相应的物理实验，其中持笔的末端执行器以稳定的运动完成了兔子形路径跟踪任务，并保持了目标图案的主要几何特征。表3. 受干扰的兔子形路径跟踪任务中，DTND方法在代表性时刻的跟踪误差范数。采样间隔时间时刻g=0.1秒15秒30秒45秒60秒75秒90秒1.0355×10??9.9205×10??6.4176×10??7.4332×10??2.8917×10??9.2251×10??g=0.01秒15秒30秒45秒60秒75秒90秒8.0117×10??1.3064×10??5.8005×10??6.2866×10??2.9479×10??1.0188×10??g=0.001秒15秒30秒45秒60秒75秒90秒1.3423×10??8.5374×10??4.8794×10??6.5016×10??2.7748×10??7.7167×10??下载：下载高分辨率图像（459KB）下载：下载全尺寸图像图7. 受干扰的兔子形路径物理实验的快照。总体而言，这两个示例表明，所提出的方法在无噪声和受干扰情况下均表现良好。第一个示例强调了在理想采样数据条件下的跟踪精度，而第二个示例则凸显了在更具挑战性的路径和干扰条件下的鲁棒性。这些观察结果与前面章节中的理论和比较结果一致。从实现角度来看，这两个示例也揭示了一个清晰且具有实际意义的趋势：当路径平滑且干扰程度较低时，该方法产生的跟踪误差非常小，同时缆绳长度的变化也较为规律。当路径变得更加复杂且出现干扰时，误差水平如预期般上升，但闭环系统的响应仍保持有限，且目标图案仍能以可接受的几何精度被再现。这样的结果对于目前的绘墙机器人非常重要，因为控制器需要在一个统一的离散时间框架内处理几何路径变化和采样间隔变化。研究结果表明，无需改变控制器结构，即可将相同的在线QP公式和DTND迭代方法应用于不同任务，这有利于实际应用和未来的扩展。6. 结论本文通过将基于逆运动学的跟踪任务重新表述为在线二次规划问题，为缆绳驱动的平面机器人开发了一种离散时间轨迹跟踪框架。采用基于DTND的迭代求解器，可在每个采样时刻直接计算缆绳长度变化率，从而无需显式的离线优化即可实现在线处理。理论分析建立了采样数据误差关系，并得出在无噪声条件下跟踪精度为O(g2)的结论，而仿真和物理实验则证明了该方法相比ID-DTRNN方法具有更准确的实时跟踪性能和更高的鲁棒性。直接的离散时间公式还有助于简化硬件实现，无需额外的传感器或离线重规划即可生成平滑的缆绳长度指令。未来的工作将纳入几何约束和张力约束，以提高在奇异配置附近的性能，并将该方法扩展到更大规模的平台上。CRediT作者贡献说明徐伟成：撰写——原始草稿、软件、方法论、研究、数据整理。鲍玉辉：软件、研究。张一帆：软件、研究。吕建峰：监督、研究、资金获取。徐伟成|鲍玉辉|张一帆|吕建峰