基于物理信息神经网络的内部三维全场变形测量方法

《Optics and Lasers in Engineering》：Internal 3D full-field deformation measurement method based on physics-informed neural networks

　　•提出了一种基于PINN的方法用于三维位移场测量。•数值模拟和实际实验表明，在非均匀变形条件下，该方法相比传统DVC具有显著更高的精度。•该方法能够处理不规则位移场。

引言
准确测量材料内部的三维变形场对于实验力学而言至关重要。近几十年来，基于光学和图像的非接触式测量技术通过提供高分辨率的全场测量结果，极大地推动了这一领域的发展，而这些结果是传统传感器通常无法获得的。通过对内部三维变形场进一步处理，可以获取诸如施加载荷下的应变分布[1,2]、裂纹长度[3]以及裂纹起始断裂韧性[4]等重要机械参数，从而分析材料损伤与强化机制。数字体积相关技术（DVC[5,6]）已成为这类内部测量的关键光学技术。

在这种方法中，通常通过基于变形前后获取的3D体积图像（如X射线计算机断层扫描图像）进行相关性匹配，来测量材料内部的三维变形场。DVC方法一般分为局部方法和全局方法[7,8]。在局部方法中，参考体积被离散成一组重叠的子体积。对于每个子体积，通过优化相关性准则——通常是最大化类似零均值归一化互相关（NCC）这样的相似度指标——来估计位移，即比较参考配置和变形后的配置。优化过程通常采用逆组合高斯-牛顿迭代方案[7]，其中位移场由预定义的形状函数近似，子体素灰度值则通过插值方式计算，例如三次样条插值。由于DVC基于子集匹配，其结果的精度对形状函数类型和子集大小等参数极为敏感[9]。这些参数的选择受多种因素影响，包括非均匀变形程度和图像噪声[10]，在实际应用中往往很大程度上依赖于研究人员的经验。此外，由于DVC依赖于整个子集上灰度分布的空间相关性分析，位于样品边界附近的子集由于灰度信息不完整，容易发生相关性不匹配，从而导致边界区域的位移精度降低[11,12]。为解决这一问题，传统的基于子集的DVC方法通常会避开边界区域或减小边界附近的子集大小，这可能会限制边界位移测量的可用性或精度。

近年来，随着神经网络和深度学习技术的快速发展，基于神经网络的三维变形场测量方法为克服传统方法的局限性提供了新的可能性。通过利用图像纹理特征，神经网络可以直接预测位移场，从而避免受子集大小和形状函数选择的影响。段等人[13]提出了一种基于监督学习的DVC方法，该方法依次使用三个子网络来进行整像素位移搜索、亚像素配准以及位移场去噪。这种方法显著提高了计算效率，而且由于不依赖传统的DVC形状函数，更适用于测量复杂的变形场。然而，监督学习需要大量的训练数据，而真实的变形场很难通过实验获得；因此，训练数据通常是通过数值模拟生成的[13]。为了解决这一限制，人们开发了无监督学习方法。Keerthana Chand等人[14]提出了一种基于VoxelMorph架构的无监督深度学习模型，用于三维图像配准。该模型通过端到端学习自适应地测量多个尺度上的局部变形特征，且不需要显式的子集划分。不过需要注意的是，在监督学习和无监督学习框架中，CT图像都是作为网络输入，而位移场则是输出，这就要求网络学会图像特征与位移之间的映射关系；因此，往往需要相对复杂的网络架构。此外，这些神经网络模型通常仍然依赖于规则的三维矩形体素输入，它们处理具有不规则边界的样品的位移场的能力仍然有限。

物理信息神经网络（PINNs）是近年来发展起来的一类神经网络，最初是为了解决偏微分方程的正向和逆问题而提出的[15]。从函数逼近理论的角度来看，神经网络可被视为通用的非线性函数逼近器[16,17]，理论上可以将任何连续函数以任意精度逼近。基于这一原理，通过使用神经网络逼近连续函数，并将物理方程作为损失函数中的约束条件，网络输出在训练过程中可以逐步收敛到所需的物理解。这就是PINNs的基本思想。PINNs已被证明在包括流体力学[18,19]和固体力学[[20], [21], [22]]在内的多个领域解决复杂方程方面具有有效性。近年来，PINNs也被扩展应用于数字图像相关技术（DIC）和DVC领域。在DIC领域，李等人[23]将PINNs引入DIC，并建立了PINN-DIC框架。在此基础上，王等人[24]进一步加入了多尺度傅里叶特征编码，以提高神经网络表示复杂高频变形场的能力。在DVC领域，王等人[25]提出的PiNetDVC框架将PINNs扩展到了三维体积数据，证明了将此类方法应用于三维变形测量的可行性。

本研究提出了一种基于PINNs求解三维变形场的方法，并建立了相应的解决方案策略和算法框架。在该框架中，CT体积图像数据的空间坐标作为网络输入，3D位移场为输出，损失函数则以灰度恒定性假设（即相同物理点在变形前后保持相同的灰度值）作为控制方程，从而实现材料内部三维变形场的重建。这种方法避免了受子集大小、形状函数带来的限制，也不需要额外的训练数据。此外，基于位移的网络架构能够自然处理具有不规则边界的CT图像，只需在样品区域内求解位移场，这进一步提升了该模型的适用性。该解决方案是使用Python和PyTorch库实现的，其可行性和准确性通过数值模拟和实际实验得到了验证和评估。

本文的结构如下：第2节介绍该模型的算法框架；第3节对模拟数据进行了位移计算，并将其与DVC结果进行比较，以验证模型的正确性和精度；第4节通过实际实验数据计算位移并与DVC结果对比，评估模型在现实场景中的应用效果；第5节总结研究内容，并探讨未来工作的潜在方向。

章节片段
灰度恒定性假设
X射线在穿过样品时的衰减可以用比尔-朗伯定律描述：
g(ρ,θ;z)=?ln(I(ρ,θ;z)I0)=∫L(ρ,θ;z)μ(x,y,z)ds
其中I和I0分别表示X射线穿过样品前后的强度，μ为线性衰减系数。为定义X射线源、样品和探测器之间的几何关系，图1展示了CT成像过程的示意图。对于给定的投影角度θ，投影路径L为

数值模拟测试
在本节中，通过已知位移场生成的变形体积图像，验证所提出的PINN方法的可行性和准确性。为了涵盖不同的变形模式，考虑了三种代表性的位移场，即平移、线性以及星形位移场。所有参考体积图像均来自实际实验数据[6]。变形体积图像是使用三次B样条插值生成的，这是一种

实际实验测试
本节通过橡胶环压缩试验和核石墨拉伸试验，评估PINN方法在处理真实世界数据集中的位移场方面的有效性。

结论
本文提出了一种基于物理信息神经网络（PINNs）的三维全场内部变形测量方法，为重建内部3D位移场提供了新的框架。该方法基于灰度一致性假设，利用全连接神经网络在物理约束下实现对位移场的无监督优化。与经过测试的基于子集的DVC方法相比，所提出的方法避免了

CRediT作者贡献声明
王传义：撰写——初稿、软件、数据整理。李博达：软件、数据整理。苏勇：撰写——审阅与编辑、资金获取。肖宇：可视化、验证、资金获取。马少鹏：撰写——审阅与编辑。徐峰：验证、项目管理、资金获取、概念构思。

利益冲突声明
作者声明没有已知的财务利益或可能影响本文所述工作的个人关系。

致谢
本研究得到了中国国家自然科学基金（编号12525207、12372174）以及中国科学技术大学同步辐射联合基金（编号KY2090000059、KY2090000054）的支持。

王传义|李博达|苏勇|肖宇|马少鹏|徐峰