一种混合整数值自回归模型的半参数经验似然估计方法

《Axioms》：A Semiparametric Empirical Likelihood Estimation Method for Mixed Integer-Valued Autoregressive Model

　　

本研究探讨了一种基于二项式稀疏算子（binomial thinning operator）的一阶混合整数值自回归模型。所提出的MINAR(1)模型允许计数过程在异质自回归机制下演化，因此在建模具有结构异质性的计数时间序列方面提供了更大的灵活性。为了估计未知参数，研究人员利用条件矩约束（conditional moment restrictions）开发了一种最大经验似然估计（Maximum Empirical Likelihood, MEL）程序。与传统的基于似然的方法相比，所提出的方法不需要完全指定新息（innovation）分布，因此对潜在的分部误设更具鲁棒性。研究人员在适当的正则条件下建立了所提出的MEL估计量的一致性和渐近正态性。模拟研究表明，MEL估计量在有限样本中表现令人满意，并且与最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）相比表现出具有竞争力的估计精度。最后，对月度保险理赔次数的应用说明了所提出方法的实际有用性。

研究背景与意义

整数值时间序列广泛存在于流行病学、保险、金融、环境科学、排队系统及社会科学等领域，典型观测包括疾病例数、保险理赔次数、交易频率、客户到达数及犯罪发生数等非负整数值数据。由于此类数据的离散性、非负性以及常表现出的过离散、零过多、非线性依赖和结构异质性特征，经典连续值模型难以恰当描述其动态依赖结构。基于稀疏算子的整数值自回归（Integer-valued Autoregressive, INAR）模型成为该领域重要框架，其中Steutel和van Harn引入的二项式稀疏算子（binomial thinning operator）被Al-Osh和Alzaid用于构建经典INAR(1)模型。随后出现的混合整数值自回归模型通过潜变量或混合概率选择不同自回归机制，能更好捕捉如疫情传播阶段交替、金融市场平静与动荡期转换、保险理赔受季节或外部冲击导致的异质依赖等现实复杂动态。然而，现有混合INAR型模型的推断多依赖全参数似然方法，常假定新息服从泊松或几何等特定分布，实际应用中新息真实分布未知，误设会导致推断不稳定与效率损失，且混合模型因潜混合机制或非线性依赖使似然计算密集。经验似然（Empirical Likelihood, EL）由Owen提出，是一种结合非参灵活性与似然优点的半参数推断方法，无需完全指定分布，可基于模型条件矩结构直接构建，且避免广义矩估计中权重矩阵显式估计，有限样本表现良好，已在依赖数据与时间序列推断中广泛应用。基于此，研究人员为一阶基于二项式稀疏算子的混合整数值自回归模型开发最大经验似然估计（Maximum Empirical Likelihood, MEL）程序，在不完全指定新息分布下基于条件矩约束构建半参数估计框架，推导MINAR(1)的条件均值与方差，构造估计方程并建立估计量的一致性与渐近正态性。该研究发表于《Axioms》。

主要关键技术方法

研究人员设定MINAR(1)模型结构，引入混合比例参数与两独立伯努利稀疏系数及独立同分布新息过程，施加α₁< />₂排序约束保证可识别性。基于命题1的Conditional Mean与Conditional Variance推导估计函数g_t(θ)，利用Mykland讨论的剖面经验似然比（Profile Empirical Likelihood Ratio, ELR）函数，通过拉格朗日乘子法导出对数ELR表达式并定义MEL估计量为最小化对数ELR的约束优化解。在平稳遍历性及八阶矩条件下证明估计量一致性（Consistency）与渐近正态性（Asymptotic Normality），协方差矩阵呈三明治形。模拟研究设泊松、零膨胀泊松（Zero-Inflated Poisson, ZIP）及负二项新息五类场景，样本量n=100,200,500，重复1000次，比较MEL与MLE的BIAS与RMSE并绘正态Q–Q图。实证采用中国某财险公司2006年1月至2015年12月超10万元大额火灾险月度理赔次数数据，计算描述统计、ACF与PACF，分别用MLE（假定泊松新息）与MEL拟合MINAR(1)及同质INAR(1)基线模型，比较RMSE、MAE及高波动期MAE，绘累积绝对误差差与累积高波动绝对误差差，并基于标准化Pearson残差做ACF、PACF及Ljung–Box检验评估拟合充分性。

研究结果

1. Introduction

研究人员阐述整数值时间序列特点与传统INAR局限，指出混合机制可刻画潜状态异质演化，回顾Nasti?、Li、Orozco、Sheng、Zhang等混合INAR扩展，指出现有推断依赖参数似然导致分布误设敏感与计算负担，引出经验似然优势及其在INAR中应用（Zhang、Cheng等），明确本文贡献为基于条件矩约束的MINAR(1)半参数MEL框架与渐近理论。

2. MINAR(1) Model and Its Properties

研究人员给出MINAR(1)递归方程与二项式稀疏算子定义，引入混合比ω与两稀疏系数α₁,α₂及i.i.d.伯努利变量与i.i.d.新息ε_t（均值μ_ε，方差σ²_ε），通过潜变量δ_t~Bernoulli(ω)等价重写模型表明双机制异质演化。推导命题1：条件期望E(X_t|X_t-1)=ω(α₁X_t-1+μ_ε)+(1?ω)(α₂X_t-1+μ_ε)与条件方差Var(X_t|X_t-1)=ω[α₁(1?α₁)X_t-1+σ²_ε]+(1?ω)[α₂(1?α₂)X_t-1+σ²_ε]+ω(1?ω)(α₁?α₂)²X²_t-1。定理1在α₁,α₂∈[0,1)且ω∈(0,1)下证存在唯一严平稳遍历过程，并指出模型为状态空间?₀上齐次马尔可夫链，一步转移概率可推导似然。

3. Empirical Likelihood Estimation of the MINAR(1) Model

研究人员定义参数向量θ=(α₁,α₂,ω,μ_ε,σ²_ε)，基于命题1构造含条件均值与方差的估计函数g_t(θ)。依Mykland构造剖面ELR R(θ)=max∏ⁿ_t=2p_t约束∑p_t=1, ∑p_tg_t(θ)=0，拉格朗日乘子λ∈?²得p_t=1/(n?1+λ^Tg_t(θ))并由∑p_tg_t(θ)=0解λ，对数ELR为?(θ)=?2∑log(1+λ^Tg_t(θ))。MEL估计量θ?_MEL=argmin_θ∈Θ?(θ)，Θ满足α₁< />₂。定理2在严平稳遍历、八阶矩、θ₀为内点、G(θ₀)正定、V(θ₀)非奇异下证θ?_MEL→_pθ₀且√n(θ?_MEL?θ₀)→_dN(0,G^?1VG^?1)，其中G与V由(8)(9)定义。备注1说明八阶矩为方差估计方程含四阶多项式导致二阶矩达八阶的充分正则条件。

4. Simulation Studies

研究人员设场景A–B新息泊松，C–D零膨胀泊松（pmf含π与λ），E负二项NB(r,p)。结果显示n增大时BIAS与RMSE下降，符合渐近理论。泊松场景下MEL与MLE均良好，部分参数MEL的RMSE略小，归因于混合模型似然面平坦或多峰致EM算法初值敏感，MEL基于矩限制更稳定属有限样本数值现象非渐近更高效。ZIP场景下MEL对所有参数估计稳定，α₁,α₂,π等RMSE常小于MLE，表明新息偏离泊松时仍有效。负二项场景下MEL表现满意，r收敛稍慢但因控制离散度对新息变异性敏感，BIAS与RMSE随n增大下降。场景C下n=500的MEL估计正态Q–Q图样本分位数与理论正态分位数吻合较好，尾端微偏，支持定理2渐近正态性。

5. Real Data Analysis

研究人员用2006–2015年月度大额火灾险理赔次数（均值1.000，方差0.857近无过离散，最大4）。路径平稳，ACF渐衰，PACF滞后1显著支持一阶自回归，波动暗示异质动力。MLE（泊松新息）与MEL估MINAR(1)得相似结果，α?₁< />₂表两异质机制。拟合误差：MINAR(1)-MEL的RMSE=0.8832、MAE=0.6870、高波动MAE=0.8471优于MINAR(1)-MLE的0.8833、0.6931、0.8708；同质INAR(1)-MEL亦优于INAR(1)-MLE。MEL下MINAR(1)较INAR(1)MAE与高波动MAE更低（0.6870 vs 0.6896，0.8471 vs 0.8572），示混合结构更好捕异质依赖尤高波动期。累积AE差多负且缓降，累积HAE差更负且持续，示MEL在全期尤其突变期拟合误差更小具分布误设鲁棒性。标准化Pearson残差路径零附近无趋势，ACF/PACF多在置信内，Ljung–Box检验p>0.05（滞1–12）无剩余序列相关；残差均值近零、方差与E(e²_t)近1，平方残差Ljung–Box p>0.05，无二阶依赖或过离散，模型条件均值与方差设定合理。

6. Conclusions

研究人员总结本文研究基于二项式稀疏算子的一阶混合整数值自回归模型并开发最大经验似然估计程序，推导模型基本概率性质，建立估计量一致性与渐近正态性。模拟与实证示MEL对混合计数时间序列估计与预测表现满意，负二项新息模拟进一步确认其对过离散新息分布的鲁棒性。未来可扩展至高阶混合INAR、带外生协变量混合计数过程、非线性或时变依赖半参数估计、缺失或部分观测数据及多变量混合整数值时间序列模型。论文发表于《Axioms》。