基于多快照光谱估计的多表面波长漂移干涉测量复比校正方法

《Optics & Laser Technology》：Complex-ratio correction method based on multi-snapshot spectral estimation for multi-surface wavelength-shifting interferometry

　　•一种新的MSSE-mCRC方法利用eSVD来实现可靠的干扰源数量估计。•结合子空间分析与复数比校正技术，以获取高精度的多谐波参数。•突破FFT的分辨率限制，分离干涉图以实现多表面同时重建。•在光学平板测量中实现纳米级重复精度及强大的抗噪声能力。

引言
现代光学干涉测量因其非接触式特性和高精度而得到广泛应用[1]、[2]。尤其是相移干涉测量技术经过数十年的发展，已成为光学计量领域的一种高效方法[2]、[3]、[4]。根据相移机制的不同，相移干涉测量可分为两类：基于硬件的相移以及通过调节光源发射波长实现的波长调谐相移[4]。与基于硬件的技术相比，波长调谐相移干涉测量通过调制光源的发射波长来实现相移[5]、[6]、[7]，这种方式能够避免硬件相移器带来的机械误差和滞后现象。因此，波长调谐相移干涉测量近年来发展迅速，并已被广泛用于光学检测行业[8]、[9]。

光学透明平行板是精密计量、激光系统以及空间遥感等领域中广泛使用的关键光学元件[10]。然而，当使用波长调谐相移干涉测量技术对这些平板进行测量时，其高度抛光的表面以及强烈的镜面反射特性会导致多个表面的干涉信号在采集到的干涉图中重叠[4]、[11]。为消除来自背面的寄生条纹影响，传统方法通常是在背面涂抹凡士林，但这种接触式处理方式有可能污染或损坏精密光学元件[12]。幸运的是，在通过波长调谐相移干涉测量技术获得的干涉图中，尽管存在复杂的强度叠加现象，但各个测试表面与参考镜之间的不同光程差会使得相应的干涉信号具有不同的调制频率。这种频率差异为多谐波信号解调提供了理论基础，从而能够准确重建测试样品的表面形貌[13]。

在实际应用中，对于光学透明平行板的波长调谐相移干涉测量而言，采样频率很少是信号频率的精确整数倍。再加上离散傅里叶变换本身存在的频率分辨率限制，导致采集到的信号常常出现频谱泄漏和栅栏效应等问题。这些现象会降低谐波参数解调的精度，进而妨碍高精度的多表面测量[14]。为提升谐波参数解调的精度，人们进行了大量研究[11]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]。例如，孙等人采用最小二乘法分离透明板前后表面产生的干涉条纹，成功重建了表面形貌[15]。郭等人提出了一种加权多步相移算法，该算法根据特征多项式和图表设计采样权重，从而有效提取目标频率信号[16]。张等人则引入了一种灵活的相移匹配算法，通过使用5N - Nuttall相移算法及参数校正技术，确保正确进行相位解调，进而能够在任意腔长下求解谐波参数[11]。金等人设计了一种基于特征多项式的多段拟合窗函数的表面相移干涉测量方法，并研究了不同窗函数对参数估计精度的影响[17]、[18]。此外，塞尔文等人基于频率传递函数的理论框架，开发出一种双波长时域相移算法，该算法对相移误差具有很强的鲁棒性[19]。尽管取得了这些进展，但上述大多数方法仍受到采样定理所决定的分辨率瓶颈的限制，这最终制约了谐波参数估计的精度。

在空间频谱分析中，多信号分类算法可以通过将混合信号分解为信号子空间和噪声子空间，再利用后者构建连续频率的伪频谱函数，从而实现精确的频率估计[20]。这一机制使该算法能够克服采样定理所带来的分辨率限制。然而，在相移干涉测量技术中，采集到的光强信号在时间域内是一维序列，因此无法直接应用多信号分类算法。于是，这些光强信号序列必须被转换为与该算法兼容的二维复数信号[20]。例如，李等人通过将探地雷达回波信号转换为叠加有高斯噪声的复数正弦信号，成功应用了多信号分类算法[21]。

此外，由于样本数量有限以及谐波频率存在不确定性，因此在测量过程中经常会出现欠采样和频谱混叠等现象。因此，确定干涉信号中有效采样谐波的数量至关重要。关于信号源数量估计的问题，研究人员已经进行了广泛的研究。例如，卢等人采用最小描述长度准则来估计信号源数量，但在信噪比较低的情况下，该方法的估计性能会严重下降[22]。为解决特定问题，韩等人采用子空间平滑技术重建集合协方差矩阵，从而克服了由脉冲数量有限导致的秩不足问题，当雷达阵列元素数量超过累计脉冲数时，该方法能够恢复信息论准则的区分能力[23]。另一种方法是，奥兹贝克等人运用经验模态分解技术，将单通道混合信号转换为伪多通道信号，从而从单通道混合信息中提取信号源数量[24]。同时，滨田等人提出了一种基于去噪预处理和奇异值分解的估计算法，通过分析奇异值的特性来确定信号源数量[25]。在后续章节中，我们将通过实验评估这些算法中的几种，选出一种对噪声具有强鲁棒性的信号源数量估计方法，并对其进一步优化。

总之，目前多表面干涉测量面临的核心挑战可归纳为以下三个方面：（1）在频谱泄漏和栅栏效应等问题存在的情况下，谐波参数（如频率、振幅和相位）的获取精度会大幅下降，这阻碍了高精度多表面测量的实现；（2）传统的空间频谱分析方法无法直接应用于一维信号；（3）在欠采样和频谱混叠的情况下，必须确定干涉信号中有效采样谐波的数量。此外，考虑到干涉图采集过程中的噪声影响，迫切需要开发一种对噪声具有强鲁棒性的高精度信号源数量估计算法。

为解决上述问题，本文提出了一种基于多快照频谱估计的多表面波长调谐相移干涉测量的复数比校正方法。首先，采用改进的奇异值分解算法，通过识别奇异值之间的最大差异来估计信号源数量。随后，通过希尔伯特变换和滑动窗口技术，将一维时域信号转换为多快照数据矩阵，再利用该数据矩阵构建协方差矩阵。在对信号进行子空间分解之后，利用噪声子空间构建伪频谱函数，从而准确估计谐波频率。接着，引入带汉宁窗的复数比校正模型，利用提取出的频率来校正每个谐波分量的振幅和相位。最后，根据相位与波前高度之间的线性关系，重建光学元件的表面轮廓。在波长调谐相移干涉测量领域的仿真和实验均验证了所提算法的可行性。

本文的其余结构如下：第2节阐述多表面波长调谐相移干涉测量的基本原理；在此基础上，第3节详细介绍所提出的基于多快照频谱估计的多表面复数比校正方法的构成；第4节通过全面的多元仿真分析来评估该算法的性能；第5节则介绍在平均厚度分别为30毫米和43毫米的两块透明板上进行的实验验证及重复测量结果；最后，第6节总结本文的主要贡献，并阐述所提算法的技术特点。

部分内容摘录
多表面波长调谐干涉测量的原理
如图1所示，波长调谐相移干涉测量的操作流程首先是對光源波长进行微小调整，以此在干涉条纹中产生相移。随后，对采集到的干涉图进行分析以提取相位信息，最终利用这些相位信息重建表面高度轮廓。图1(a)展示了菲佐相移干涉仪的光学结构，来自波长可调光源的激光束经反射镜引导。

信号源数量估计
在实际的干涉测量实验中，信号源数量是识别干涉图中的频谱混叠现象的关键指标，同时也是进行谐波参数分解的必要条件。在MSSE - mCRC算法中，也需要知道信号源数量P，以便分离信号子空间和噪声子空间，从而准确估计各子信号的频率。因此，精确的信号源数量估计十分重要。

接着介绍了基于奇异值分解的信号源数量估计原理。

MSSE算法用于干涉信号频率估计的原理
多信号分类算法是一种基于子空间的超分辨率频率估计方法[20]、[27]。它将协方差矩阵分为信号子空间和噪声子空间，利用噪声子空间与相应导向向量之间的正交性来估计真实频率。这使得即使数据长度较短且信噪比较低，也能实现超出傅里叶分辨率限制的高精度频率估计。

在MSSE算法中，首先对去除直流分量后的信号应用希尔伯特变换。

振幅和相位估计
在多表面干涉测量中进行谐波参数分离时，振幅是确定表面位置、检测频谱混叠以及修正频率与表面映射关系的重要参数[32]。虽然MSSE算法能够提供非常精确的谐波频率估计结果，但它无法恢复振幅信息。因此，本文采用带汉宁窗的复数比校正方法来估计振幅，并将其与MSSE算法结合，以实现完整的参数提取。

仿真与误差分析
为验证所提方法从干涉信号中提取谐波参数的有效性，本节对一个多表面干涉模型进行了仿真。随后，在不同的参数设置和误差条件下，对该算法的性能进行了对比分析。主要的仿真参数设置如下：采样点总数为N = 200；信噪比设置为20分贝，以模拟实际实验中可能出现的状况。

实验
为验证所提算法在实际测量中的性能，使用菲佐干涉仪进行了实验。如图32(a)所示，该系统配备了一台中心波长为632.8纳米、总调谐范围为200吉赫（相当于0.26纳米）的可调激光器（TLB - 6804，New Focus）。在实验1和实验2中，两块厚度分别为30毫米和43毫米的测试光学元件分别放置在距离参考镜130毫米和188毫米的位置。

结论
为解决在存在频谱泄漏、栅栏效应、相移误差以及频谱混叠的情况下高精度估计谐波参数的难题，我们提出了一种基于多快照频谱估计的多表面波长调谐相移干涉测量的复数比校正方法。具体而言，通过将多快照矩阵与多信号分类算法相结合，所提出的方法克服了将空间频谱分析技术应用于该领域的跨领域限制。

资金支持
作者衷心感谢浙江省自然科学基金项目（项目编号：LQN25E050024）、中央政府引导地方科技发展资金项目（2025ZY01056）、浙江省财政项目（2025E10113）、2026年浙江省大学生科技创新计划（新种子人才计划）资助项目（2026R446C027）以及湖州师范学院本科生创新项目的支持。

CRediT作者贡献说明
金胜欢：撰写——初稿，软件应用。谢方军：撰写——初稿，方法设计。张水强：方法设计。于英杰：方法设计。王彦晓：验证工作。常琳：指导工作。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究成果的已知财务利益或个人关系。

金胜欢|谢方军|张水强|于英杰|王彦晓|常琳