高效结构保持ADI格式用于二维空间分数阶非线性阻尼波动方程

《Fractal and Fractional》：Efficient Structure-Preserving ADI Schemes for Space Fractional Nonlinear Damped Wave Equations in Two Dimensions

　　

通过重新设计离散意义上的能量定义，研究人员构建了结构保持交替方向隐式（ADI）差分格式来求解空间分数阶非线性阻尼波动方程，其中时间和空间离散化通过移位卷积求积（SCQ）框架下的两种逼近公式实现。理论分析包括误差估计、稳定性分析、耗散律和能量的近似守恒性质，这是本研究的关键焦点。研究人员提供了几个数值算例来验证这些格式的可行性和计算效率，并展示了圆环孤子的动态扩散行为，从而阐明了空间分数阶参数与扩散现象之间的密切关系。

空间分数阶非线性阻尼波动方程（SFDWEs）因其在湍流、生物学和股票价格动力学等复杂系统中的广泛应用而受到关注，但分数阶算子的非局部性给高维问题的数值求解带来了巨大挑战。现有算法多为全离散隐式方法，计算复杂度高，尤其在高维情形下计算时间消耗成为瓶颈。为此，研究人员在《Fractal and Fractional》期刊上发表了本研究，旨在结合二阶向后差分公式（BDF2-θ）与移位分数梯形法则（SFTR），在移位卷积求积（SCQ）框架下构建结构保持的交替方向隐式（ADI）差分格式，用于高效求解二维SFDWEs。研究通过严格的理论分析证明了格式的稳定性和误差估计，并推导了能量耗散律与近似守恒性质，数值实验验证了格式的可行性和计算效率，同时揭示了分数阶参数对圆环孤子动力学行为的影响，为分数阶波动方程的数值模拟提供了重要理论依据和实用工具。

研究人员采用的主要关键技术方法包括：（1）时间方向采用BDF2-θ公式进行离散；（2）空间方向采用SFTR逼近Riesz空间分数阶导数；（3）在SCQ框架下整合两种逼近公式；（4）引入ADI算法，通过引入中间变量将二维问题分解为两个独立的一维线性系统，显著降低计算复杂度；（5）理论分析中运用能量方法、Gronwall不等式以及Young不等式等工具。

研究结果分四个数值算例依次呈现：

**Example 1**：通过构造具有精确解的SFDWEs模型，设置不同分数阶参数对，对比全离散格式与BDF2-θ-ADI格式的空间收敛阶和计算时间。结果表明，BDF2-θ-ADI格式在保持接近二阶空间收敛精度的同时，显著降低了计算时间消耗，验证了算法的计算效率。

**Example 2**：在无精确解的情况下，通过逐步细化网格并以细网格解为参考，计算空间-时间收敛阶。结果显示，BDF2-θ-ADI格式仍能达到二阶收敛，且与理论预测一致。进一步，通过固定θ和分数阶参数，验证了能量近似守恒性质（当θ=0时）和能量耗散性质（当θ>0时），且数值结果与理论分析相符，表明参数变化对能量性质影响较小。

**Example 3**：选取非线性项为sin(u)的模型，研究圆环孤子的碰撞动力学。通过设置不同空间分数阶参数，观察到四个扩展圆环孤子随时间相互汇聚，且分数阶参数越接近2，汇聚效应越明显，表明分数阶参数显著影响数值解的动态行为。

**Example 4**：考虑非线性项为u3的模型，研究无阻尼情形下（θ=0，μ=0）的数值解。结果显示，初始孤子随时间向边界传播，且传播速度随分数阶参数增大而加快，与已有文献结果一致，进一步验证了分数阶参数对扩散现象的影响。

总结讨论部分指出，数值实验全面验证了BDF2-θ-ADI格式的稳定性和二阶精度，以及能量耗散与近似守恒性质与理论预测的一致性。研究结论翻译如下：本研究采用时间方向BDF2-θ格式和空间方向移位分数梯形法则逼近Riesz空间分数阶导数，求解二维空间分数阶非线性阻尼波动方程。进一步引入结构保持交替方向隐式算法以提高计算效率。提供了BDF2-θ-ADI格式的稳定性和误差估计的详细证明，并推导了能量耗散律和近似守恒性质。大量数值实验表明，所构建的BDF2-θ-ADI算法在保持收敛精度的同时显著减少了计算时间，并且适用于不同的θ值和分数阶参数。此外，观察到的耗散和近似守恒性质与理论预测一致。从数值算例中可以看出，分数阶参数的变化显著影响数值解的动态行为，即随着分数阶参数增大，扩散效应更加明显。同时，严格推导了能量演化规律：无阻尼系统的能量近似守恒，有阻尼系统的能量单调衰减。这一发现强调了分数阶模型的广泛适用性。备注：提出的BDF2-θ-ADI格式稳定且具有二阶数值精度，能有效降低求解二维空间分数阶非线性阻尼波动方程的计算成本。未来工作将进一步扩展参数θ的可接受范围，以系统研究所建立数值格式的性能。