实区间格子上的极值序

《Mathematics》：Polar Orders on Lattices of Real Intervals

　　

摘要

本文研究并分析了紧实实数区间空间上的两类偏序关系。???? 中，第一类偏序关系是对基于区间元素在实数轴上相对位置的著名上下偏序关系的推广；第二类则是对由集合包含关系所引出的标准偏序关系的扩展。通过中点表示法，非空区间可与普通上半平面中的点建立对应关系；这两类偏序关系可通过两个实数参数来描述，这两个参数经适当组合可将上半平面线性划分为四个互不重叠的子区域，从而区分出可比较区间与不可比较区间。我们发现，使用相同参数得到的两类偏序关系（分别记为?和?）具有有趣的极性特性，这一特性有助于构建一种通用框架，用于分析与不同可比性形式相关的区间分析问题。文中还详细介绍了由此得到的格结构和，并证明了它们的极性特性：若两个区间对于?（或?）是不可比较的，那么它们必然对于?（或?）是可比较的。最后，对于任意具有极性特性的两对偏序关系，我们证明了可以在中唯一地构造出两个全序（线性序）和，从而完全消除不可比较的情况。文中还通过多幅示意图及若干实例对相关内容进行了说明。