四边形上的多度量φ-压缩及其在分数阶边值问题中的应用

《Mathematics》：Multi-Metric φ-Contractions on Quadrilaterals with Applications to Fractional Boundary-Value Problems

　　

在本文中，研究人员引入了一类一般的四边形总两两φ-压缩(quadrilateral total pairwise φ-contractions)，并研究了此类映射在具有多个不同度量的度量空间(metric space)和半度量空间(semimetric space)中的不动点结果。研究人员为这些压缩建立了若干不动点定理，并表明所得结果超越了经典度量空间，涵盖了超度量空间(ultrametric space)和配备幂型三角形函数(power-type triangle function)的距离空间。此外，在度量空间框架内，研究人员通过使用满足四边形总两两压缩条件的映射，研究了具有给定边界条件的分数阶边值问题(fractional boundary-value problem)的解的存在性。若干经典结果，包括Banach压缩原理(Banach contraction principle, BCP)、Boyd–Wong不动点定理(Boyd–Wong fixed-point theorem)以及各种相关的三点和四点压缩结果，均作为研究人员定理的特例被恢复。

不动点理论自Banach于1922年提出压缩映射原理（Banach contraction principle, BCP）以来，已成为非线性分析的核心工具，广泛应用于生物学、工程和物理科学。然而，经典BCP仅适用于单一度量空间，且传统压缩条件局限于两两距离。近年来，学者们发展了三点和四点压缩（如Petrov提出的三角形周长压缩和Banerjee等提出的四边形周边压缩），但此类研究多依赖单一度量，且未充分处理多度量环境下的不动点问题。此外，分数阶边值问题（fractional boundary-value problem）在复杂系统中日益重要，缺乏基于多点压缩的严格解存在性理论。因此，研究人员旨在引入一类更一般的四边形总两两φ-压缩（quadrilateral total pairwise φ-contractions），在多度量空间和半度量空间中建立不动点定理，并应用于分数阶边值问题，以推广BCP、Boyd–Wong定理及相关三点和四点压缩结果。该论文发表在《Mathematics》。

研究人员开展了以下研究：首先，定义了两类新映射——四点周边φ-压缩（four-point perimetric φ-contractions）和四边形总两两φ-压缩（quadrilateral total pairwise φ-contractions），并在多度量完备空间和半度量空间中建立不动点存在性及唯一性（最多三个不动点）定理。其次，将这些结果推广至超度量空间和幂型三角形函数距离空间。最后，利用四边形总两两压缩条件，证明了一类分数阶边值问题解的存在性，且解的数量不超过三个。这些结论统摄了BCP、Boyd–Wong定理以及多种三点和四点压缩结果作为特例，显著扩展了不动点理论的适用范围。

主要关键的技术方法包括：（1）定义比较函数φ（满足非递减且迭代趋于零），用于刻画压缩条件；（2）采用Picard迭代序列，结合压缩不等式证明序列为Cauchy序列，并利用完备性和连续性导出不动点；（3）在Section 3中引入三角形函数Φ（满足广义三角不等式且连续于原点），利用引理1（基于Φ的Cauchy准则）证明半度量空间中的不动点；（4）在应用部分，利用Caputo分数阶导数（Caputo fractional derivative）将边值问题转化为积分方程，定义算子T，验证其满足四边形总两两α-压缩条件（Corollary 5），从而由不动点定理得到解的存在性。

结果部分：

**2.1 四点周边φ-压缩的不动点结果**：通过定理1，在完备度量空间d₁下，若映射T满足四点周边φ-压缩条件（涉及四个循环边距离），且T无周期点为2和3，同时T在d₁上连续，则T至少有一个不动点且最多三个。推论1和2分别将条件简化为线性比较函数和单一度量情形，其中推论2恢复了Banerjee等[34]的四点周边压缩定理。

**2.2 四边形总两两φ-压缩的不动点结果**：通过定理2，引入六度量框架下的四边形总两两φ-压缩（涉及所有六个两两距离），在类似条件下证明T最多有三个不动点。推论3-5给出特例，当比较函数为线性时得到四边形总两两α-压缩，且当所有度量一致时恢复Petrov[36]的六距离压缩结果。例2和例3通过具体构造验证了定理的适用性。

**3 基于三角形函数的半度量空间不动点定理**：通过定理3，在完备半度量空间（配备三角形函数Φ，满足连续于原点及条件(15)(16)）中，证明四边形总两两α-压缩映射T至少有一个不动点且最多三个，并推广到超度量空间和幂半度量空间（推论6），给出显式收敛速率。

**4 分数阶边值问题的应用**：通过定理4，在空间C[0,1]（最大模范数）中，定义算子T对应Caputo分数阶导数边值问题（三阶边界条件）。若非线性项f满足条件(24)（涉及所有两两函数差），则T是四边形总两两α-压缩，由推论5知边值问题至少有一个解且最多三个解。

总结讨论部分：研究人员引入的四边形总两两φ-压缩类通过单一压缩不等式控制四个点间所有六个两两距离，涉及一族不同度量，该框架统一了多点压缩理论。研究结论翻译如下：在本文中，研究人员引入了四边形总两两φ-压缩(quadrilateral total pairwise φ-contractions)类，该类通过一个压缩不等式控制四个点之间所有六个两两距离，其中涉及一族不同的度量。研究人员在度量空间、半度量空间、超度量空间以及具有幂型三角形函数的距离空间中建立了这些映射的不动点定理。作为应用，研究人员使用四边形总两两压缩来证明分数阶边值问题解的存在性。未来的工作可能将此框架扩展到由K_n的一般生成子图索引的n点压缩，并探索对分数阶微分方程和其他非线性问题的进一步应用。