非弹性本构柯尔莫哥洛夫-阿诺德网络：一种用于自动发现可解释非弹性材料模型的通用框架

《International Journal of Engineering Science》：Inelastic Constitutive Kolmogorov–Arnold Networks: A generalized framework for automated discovery of interpretable inelastic material models

　　摘要
固体力学中的一个关键问题在于确定材料的本构律，即应变历史与应力之间的关系。近年来，机器学习为这一领域带来了显著进展。本文介绍了非弹性本构柯尔莫哥洛夫-阿诺德网络（iCKANs）。这种新型人工神经网络架构能够自动发现描述材料弹性和非弹性行为的符号化本构律，即将材料测试数据转化为封闭形式的自由能和耗散势函数。我们通过粘弹性聚合物材料VHB 4910和VHB 4905的合成数据及实验数据，展示了iCKANs的优势。实验结果表明，iCKANs能够准确捕捉复杂的粘弹性行为，同时保持物理可解释性。iCKANs的另一个优势在于，它们不仅能处理机械数据，还能处理关于材料的任意其他信息（例如与温度相关的行为），这使其成为未来研究特定加工或使用条件对材料性能影响的强大工具。

引言
准确预测复杂材料系统的行为是工程学和物理科学中的核心挑战。传统的计算力学依赖于本构模型来描述材料对外部刺激的反应。然而，基于连续介质力学的传统本构模型依赖于一些简化假设，这些假设往往无法完全体现现实世界中材料行为的复杂性，尤其是对于非弹性材料而言。此外，构建这些模型通常是一个渐进式的、劳动密集型的过程，需要深厚的领域专业知识，且每遇到一种新的材料系统都需要重复这一过程。

为克服这些局限，数据驱动的材料建模作为一种有前景的替代方案出现，它无需明确构建本构模型，而是直接利用实验数据（Fuhg等人，2025年）。由Kirchdoerfer和Ortiz（2016年）开创的无模型或直接数据驱动方法，摒弃了预定义的本构方程，转而使用原始材料测量数据。另一种方法是符号回归，它通过系统地组合分析表达式，从数据中构建封闭形式的数学模型，从而在精度与可解释性之间取得平衡（Versino等人，2017年；Bomarito等人，2021年；Kabliman等人，2021年；Abdusalamov等人，2023年）。在此基础上，EUCLID（高效无监督本构律识别与发现）方法将稀疏回归应用于广泛的模型库，从而能够从全场数据中学习（Flaschel等人，2021年；Flaschel，2023年；Flaschel等人，2023年）。最近的研究进一步提升了这些方法，使其能更好地处理含噪声的实验数据（Narouie等人，2026年）。

另一类数据驱动方法为本构神经网络，由于其灵活性和泛函逼近能力，这类网络已逐渐受到重视（Hornik等人，1989年）。与那些通过损失函数施加物理约束的方法不同（Raissi等人，2019年；Masi等人，2021年），这类网络通过架构设计直接体现物理一致性。其中较为著名的变体包括本构人工神经网络（CANNs）（Linka等人，2021年；Linka和Kuhl，2023年），这类网络倾向于采用可解释的稀疏架构；以及物理增强型神经网络（PANNs）（Rosenkranz等人，2024年；Linden等人，2023年），这类网络则利用更为密集、表达能力更强的结构。还有其他类型的神经网络进一步拓展了建模范围：神经常微分方程被用于识别多凸应变能函数（Tac等人，2022年）；图神经网络（Maurizi等人，2022年）和神经算子（You等人，2022年）则被用于学习复杂的本构模型和替代模型。这些方法也被应用于超材料的设计与优化（Fernández等人，2021年；Fernández等人，2022年）。当前的研究正在不断探索更复杂的现象，如各向异性和非弹性行为（Holthusen和Kuhl，2026年）。

为描述非弹性效应，“广义标准材料”框架提供了广泛且基于物理原理的基础（Halphen和Nguyen，1975年）。该框架在弹性自由能之外引入了非弹性耗散势，以热力学一致的方式描述内部变量和非弹性变形的演化过程。Huang等人（2022年）率先尝试将这一热力学本构框架与神经网络结合，提出了用于材料建模的变分神经网络公式。将该框架与本构神经网络相结合，使得人们能够发现有限应变粘弹性（Kalina等人，2026年；As’ad和Farhat，2023年；Holthusen等人，2026年；Ta?等人，2023年；Wiesheier等人，2026年）、塑性（Flaschel等人，2025年；Boes等人，2026年；Jadoon等人，2025年）、断裂（Damma?等人，2025年）以及生长和重塑等生物过程的材料定律。与此类似，粘弹性本构人工神经网络（vCANNs）能够直接从时间序列数据中学习各向异性非线性有限应变粘弹性（Abdolazizi等人，2024年），随后还被自动用作有限元材料子程序（Abdolazizi等人，2026年）。基于内部变量的本构模型也被成功应用于神经常微分方程和神经算子中，用于模拟依赖历史和路径的行为（Jones等人，2022年；Guo等人，2025年）。此外，长短期记忆网络等算法也被引入，以提高塑性建模的计算效率（Li等人，2025年）。

本构柯尔莫哥洛夫-阿诺德网络（CKANs）（Abdolazizi等人，2025年；Thakolkaran等人，2025年）提供了一种独特的替代方案，它采用B样条作为非线性的、可训练的激活函数，其数学形式可以被提取出来以便解释（Liu等人，2025年）。柯尔莫哥洛夫-阿诺德网络（KANs）的出现促使人们在不同应用领域对其与传统神经网络进行了比较研究。相比多层感知器，KANs在求解偏微分方程时展现出更高的精度和收敛性（Wang等人，2025年；Abueidda等人，2025年；Kiyani等人，2025年），而在符号回归任务中则表现出最大的优势（Hou等人，2024年）。在材料建模领域，KANs已被纳入CKANs和输入凸KANs中，以提高可解释性，并有助于发现凸应变能函数，同时仍保持基于神经网络框架的适应性（Abdolazizi等人，2025年；Thakolkaran等人，2025年）。这些发展表明，基于KAN的架构有望在不牺牲预测精度的同时，提高数据驱动材料模型的透明度，尽管在模拟非弹性行为方面仍存在挑战。

在本研究中，我们通过将基于KAN的本构建模扩展到非弹性材料，并引入非弹性本构柯尔莫哥洛夫-阿诺德网络（iCKANs），进一步推动了这一领域的发展。这种方法将广义非弹性本构框架与KANs的固有可解释性相结合，旨在为复杂的非弹性行为提供一种强大、数据驱动且透明的模型。iCKANs利用实验得到的应力-应变数据，必要时结合非机械特征，来揭示材料的弹性势和耗散势。关键在于，KANs的可训练激活函数随后会被符号化，从而得到这些势的可解释的封闭形式表达式。通过实现符号化耗散势的自动推导，原本只有少数专家才能完成的工作现在也可以实现，这解决了有限应变非弹性领域长期存在的难题。iCKAN框架的总体工作流程如图1所示。

大纲：第2节简要回顾了有限应变下非弹性材料的广义本构框架。第3节详细介绍了所提出的iCKANs方法，首先阐述柯尔莫哥洛夫-阿诺德网络及其部分输入凸变体的基础，然后介绍其在本构建模中的应用。第4节探讨了用于获得所发现模型可解释封闭形式表达的符号化提取过程。第5节评估了iCKANs在合成数据和实验粘弹性数据集上的性能。第6节总结了主要研究发现，并提出了未来的研究方向。

章节摘录：
非弹性材料的本构建模：本节简要回顾了Holthusen等人（2023年、2026年）提出的有限应变下非弹性材料的广义本构框架，该框架可视为广义标准材料框架（Halphen和Nguyen，1975年）的等价形式。该框架采用变形梯度的乘积分解方式，基于两个基本的标量量——自由能ψ和耗散势ω（Holthusen等人，2024b年）。

非弹性本构柯尔莫哥洛夫-阿诺德网络（iCKANs）：在本节中，我们在前一节所介绍的本构框架基础上，进一步发展了CKANs的思想（Abdolazizi等人，2025年），引入了非弹性本构柯尔莫哥洛夫-阿诺德网络（iCKANs），用于自动发现非弹性材料的模型。我们首先简要回顾柯尔莫哥洛夫-阿诺德网络（KANs）（Liu等人，2025年）及其单调输入凸变体（Thakolkaran等人，2025年），然后再介绍部分输入凸结构。

符号化本构建模：虽然KAN的输入到输出的映射关系可以用封闭形式表达，但B样条形式的激活函数的可解释性有限。为了获得本构模型的可解释封闭形式表达，人们在模型训练完成后，会对训练好的KAN进行符号化本构建模，以得到自由能和耗散势的表达式。本节将简要介绍稀疏化和符号化过程，更多细节请参阅相关文献。

数值示例：本节通过合成数据集和实验数据集验证所提出的iCKAN框架，这些数据集包括VHB 4910（Hossain等人，2012年）以及具有温度依赖性的VHB 4905聚合物（Liao等人，2020年）。这些示例表明，iCKAN能够捕捉非弹性材料的行为以及额外的特征效应。文中还给出了训练好的iCKAN的符号化表达式，以凸显该方法的可解释性。

所有训练过程中，KAN的初始权重和偏置值均……

讨论：为经历非线性非弹性变形的材料，尤其是处于有限应变状态下的材料，开发精确且可解释的本构模型仍是计算力学领域的核心挑战。尽管数据驱动建模的进步加快了模型发现的进程，但预测精度与物理可解释性之间仍然存在难以调和的矛盾。那些符合热力学原理的方法往往依赖于高度灵活的神经网络，而这些网络可能缺乏透明度；或者依赖于其他方法……

CRediT作者贡献说明：
Chenyi Ji：写作——审阅与编辑、写作——初稿撰写、可视化、验证、软件、方法论、研究、形式分析、数据整理、概念构思。
Kian P. Abdolazizi：写作——审阅与编辑、监督、软件、方法论、数据整理、概念构思。
Hagen Holthusen：写作——审阅与编辑、监督、方法论、概念构思。
Christian J. Cyron：写作——审阅与编辑、方法论、资金获取、概念构思。
Kevin……

关于手稿准备过程中生成式AI和AI辅助技术的声明：在准备本论文时，作者们使用了OpenAI的ChatGPT来优化语言表达。在使用该工具/服务后，作者们对内容进行了必要的审阅和编辑，并对最终发表的文章内容承担全部责任。

利益冲突声明：作者们声明自己没有已知的、可能影响本文所述工作的财务利益或个人关系。

致谢：本研究得到了德国研究基金会授予Kevin Linka的Emmy Noether Grant 533187597项目的支持。Christian Cyron衷心感谢欧洲研究委员会在欧盟“地平线欧洲”研究与创新计划下提供的支持（项目协议编号101167207/MechVivo）。

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