关于威克塞尔式生产函数（Wicksellian Production Function）中丰裕或稀缺性的注释，或平均成本曲线（AC-curve）何时变为U形

《INTERNATIONAL JOURNAL OF PRODUCTION ECONOMICS》：Note on Abundance or Scarcity for the Wicksellian Production Function or When Does an AC-curve become U-shaped?

　　

本注释试图为应用威克塞尔式生产函数（通常称为柯布-道格拉斯函数，Cobb-Douglas function）并结合生产要素供应限制的问题，寻找平均成本曲线（AC-curve）呈现U形的条件。该函数使得能够找到显式解。在得出结论的过程中，研究人员发现，每个要素可以方便地通过一个丰裕指数（abundance index）进行排序，该指数定义为其要素价格乘以其限制量，再除以其权重参数（weight parameter）的值。这使得能够定义并找到一系列有序的临界产出量（critical output volumes），在这些水平上，要素量分别达到其可用限制。研究表明，为使平均成本曲线（AC-curve）具有U形，必须至少有一个生产要素的供应受到限制，并且其余不受限制的要素的权重之和符合规模报酬递减（diminishing returns to scale）（权重之和小于1）。关于稀缺性对固定成本（fixed costs）以及进而对竞争的影响的论述，为本注释画上句号。

**研究背景、问题与意义**
本论文聚焦于平均成本曲线（AC-curve）的形状问题，特别是当应用威克塞尔式生产函数（Wicksellian production function，通常称为柯布-道格拉斯函数，Cobb-Douglas function）时的情形。研究旨在增加理论和方法论知识，因此不具实证野心。在微观经济学文献中，总成本函数（total cost）通常被描绘为反S形，这导致平均成本函数（AC-curve）呈现U形。U形平均成本曲线（AC-curve）的存在是有限成本最小值存在的条件（零产出情况除外）。通常认为，当产出量较小时，由于规模优势（如固定成本存在），成本递减增加；当产出量较大时，由于要素供应稀缺，成本递增增加。然而，仅凭威克塞尔式生产函数（Wicksellian production function）本身无法捕捉到后一种性质，该函数单独无法产生U形平均成本曲线（AC-curve）。因此，论文引入生产要素的稀缺性限制，研究此类约束的后果。研究人员认为，当前世界人口过剩是全球若干问题（如气候问题、地区动荡）的根源，稀缺性也是此现象的结果。论文区分了（边际）报酬递减规律（law of diminishing (marginal) returns，即每个要素的权重小于1）和规模报酬递减假设（hypothesis of diminishing returns to scale，即权重之和小于1）这两个更强有力的陈述。论文发表在《INTERNATIONAL JOURNAL OF PRODUCTION ECONOMICS》。

**主要关键技术方法**
研究人员采用威克塞尔式生产函数（Wicksellian production function，即柯布-道格拉斯函数，Cobb-Douglas function）作为核心模型，该函数形式为：Q = A ∏_i=1..n x_i^α_i，其中x_i为第i种要素投入量，α_i为权重参数，A为技术因子。研究通过引入要素供应上限限制（x_i ≤ X_i）来模拟稀缺性。为求解成本最小化（或产量最大化）问题，研究人员构建了拉格朗日函数（Lagrangean function），并应用库恩-塔克条件（Karush-Kuhn-Tucker conditions）推导出自由（无限制）解和稀缺（有限制）解。关键创新在于定义了一个丰裕指数（abundance index）c_iX_i/α_i，用于对生产要素进行排序，从而确定在不同产出水平下哪些要素会达到其供应限制。研究还通过一个随机生成的n=10的数值示例（参数随机生成，权重之和为5.689，远大于1，不符合规模报酬递减假设；随后对权重进行归一化处理以符合规模报酬恒定且递减条件）进行验证。

**研究结果**
**2. 威克塞尔函数的基本性质**
通过推导，研究人员指出，对于威克塞尔式生产函数（Wicksellian production function），边际报酬递减规律要求每个要素权重α_i < 1，而规模报酬递减假设要求权重之和∑α_i < 1。要素边际替代率递减规律在该函数下总是成立，只要所有α_i > 0。当所有权重为正且小于1，且权重之和小于1时，函数的海森矩阵（Hessian matrix）是负定的，这对应于函数的凹性和规模报酬递减。

**3. 自由（丰裕）成本最小化和产量最大化问题**
对于无限制情况，研究人员通过拉格朗日函数和库恩-塔克条件推导出成本最小化解。结果表明，最优解将权重α_i解释为最优预算份额，即c_ix_i/C = α_i （鲍利定律，Bowley’s law）。权重也可解释为产出弹性（output elasticities）。在自由解中，平均成本AC = C/Q = (1/α_S) (Q/A)^1/α_S-1 ∏_i=1..n (c_i/α_i)^α_i/α_S，其形状取决于α_S（∑α_i）：若α_S < 1，AC随Q增加而增加；若α_S = 1，AC恒定；若α_S > 1，AC随Q增加而减少。因此，自由解下的平均成本曲线（AC-curve）永远不会是U形。

**4. 稀缺问题及其解**
当引入要素供应限制（x_i ≤ X_i）后，研究人员通过新的拉格朗日函数和库恩-塔克条件求解。研究发现，可以根据丰裕指数c_iX_i/α_i对要素进行排序，该指数值越小，要素越丰裕，越晚达到限制。随着产出Q增加，要素依次达到其限制，产生一系列临界产出水平W_k。在任意区间[W_k-1, W_k]内，前k个要素已达到限制（x_i = X_i），后n-k个要素仍可自由调整。稀缺情况下的成本最小化解可以视为一个修正的自由问题，其中包含固定成本（来自已受限要素的成本）和修正的技术因子。边际成本在临界水平处是连续的。

**5. 平均成本曲线（AC-curve）的形状**
研究人员证明了，要使平均成本曲线（AC-curve）呈现U形，必须满足两个条件：第一，至少有一个生产要素的供应受到限制（m ≥ 1），这创造了初始的固定成本，导致AC曲线早期下降；第二，在达到所有m个限制后，剩余未受限要素的权重之和必须小于1，即∑α_i (i > m) < 1，这对应于规模报酬递减，导致AC曲线后期上升。如果所有权重都受限（m=n），则产出不能超过威克塞尔体积（Wicksellian volume W），AC曲线在W处有有限终点。数值示例表明，当m > 6时（剩余权重之和小于1），才出现U形。

**6. 数值示例**
通过一个n=10的随机生成数值示例，初始权重之和为5.689（不符合规模报酬递减假设），结果显示，只有当受限要素数量m > 6时，AC曲线才呈现U形。当对权重进行归一化处理（使权重之和为1，符合规模报酬恒定条件）后，所有m值（m ≥ 1）都产生U形AC曲线，因为在这种情形下，剩余权重之和必然小于1。

**总结与讨论**
**结论部分翻译：** 本注释聚焦于应用威克塞尔式生产函数（Cobb-Douglas函数）并结合生产要素供应限制时，平均成本曲线（AC-curve）成为U形的条件。在获得一般成本最小化（或产量最大化）问题的显式表达式后，研究人员在第五节重点考察了U形何时出现。这些发现得到了第六节中随机生成的数值示例的支持和说明。在推导结果过程中，研究人员根据递增的丰裕指数c_iX_i/α_i对投入变量（要素量）的指数进行排序，因为该顺序显示了变量分别达到其约束的顺序。在第五节的主要发现包括：当应用任何威克塞尔函数时，为了平均成本曲线（AC-curve）出现U形，必须至少有一个变量受到约束，这涉及由第一个受限要素的固定成本项产生的初始向下倾斜。关于U形终点的上升段，研究表明，当生产函数为自由输入变量保留的剩余权重参数之和小于1（即规模报酬递减条件）时，该上升段出现。研究人员在此区分了报酬递减规律（diminishing returns law）和更强的规模报酬递减假设（diminishing returns to scale hypothesis，即函数的凹性）。就威克塞尔式生产函数而言，该规律要求每个权重值小于1，而假设要求权重之和小于1，这在任意选择权重时可能性为1/n!。另一方面，只要所有权重为正，要素边际替代率递减规律对于威克塞尔式生产函数总是成立。研究人员认为，关于平均成本曲线（AC-curve）成为U形条件的发现可能具有更普遍的适用性。比较静态推理可能有助于阐明这一留待未来研究的问题。此外，扩展所处理的约束范围（例如允许在稀缺性限制下存在多个变量）也可能具有研究价值。因此，本注释的结果显然可以推广到其他比威克塞尔函数更不具体的生产函数，但研究人员将此问题留待他人解决。一个有趣的偏离是，当使用帕累托（Pareto）早期用于建模消费者效用函数的相同函数时，寻找本结果类似物。在讨论部分，研究人员通过一个古诺竞争（Cournot competition）的教科书示例，展示了稀缺性如何影响竞争格局。应用稀缺性成本后，研究表明，随着稀缺性固定成本的出现，企业能够进入市场的空间减少，这为观察当前全球市场现象提供了理论视角。