一种采用大量压电陶瓷和电极的改进型朗之万换能器模型

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：An improved model for the Langevin transducer with numerous piezoelectric ceramics and electrodes

　　

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  该模型采用了紧凑的3×3传递矩阵形式，同时保持了良好的物理可解释性。
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  所提出的模型通过有限元仿真和实验测量得到了验证。
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  本文深入探讨了所提模型的特性及其与其他模型的关系。

引言

朗之万换能器是一类重要的压电器件[1]、[2]、[3]，被广泛应用于各类工业[4]、[5]、[6]以及医疗[7]、[8]、[9]领域。从结构上看，这类换能器通常由前质量块、后质量块、螺栓以及压电堆组成[10]、[11]。在压电堆中，压电陶瓷的极化方向交替排列，相邻压电陶瓷之间设有电极，以便施加驱动电压。预紧螺栓则确保在最大伸长发生时压电陶瓷仍处于压缩状态[12]、[13]、[14]。使用更多压电陶瓷可以增加激励材料的体积，从而提升朗之万换能器的功率密度。这对于那些需要高功率或大振动幅度的应用尤为重要，比如压电驱动[15]、[16]、超声加工[17]、[18]、[19]、超声辅助传热[20]、[21]以及骨科手术[22]、[23]。

在朗之万换能器的开发过程中，精确的建模至关重要[24]、[25]、[26]，因为它能够预测共振频率和位移分布，从而为实验优化提供指导。多年来，人们提出了多种建模方法，其中最常用的三种是有限元法[27]、[28]、等效电路法[29]、[30]、[31]以及传递矩阵法[32]、[33]。例如，杜等人利用有限元软件对纵向超声换能器进行了模态和谐波分析，随后还用该方法设计出了超声抛光装置[27]。王等人则用等效电路法分析了Tonpilz换能器前质量块的振动速度比和输出振动速度[34]。还有研究者为压电复合梁建立了传递矩阵模型，通过引入电气和机械参数来描述其纵弯耦合振动现象[35]。

尽管建模技术不断进步，但在处理具有众多压电陶瓷和电极的朗之万换能器时仍存在一些难题：

• (1)
  为压电陶瓷提供激励信号的电极不容忽视。虽然单个电极的厚度通常可以忽略不计，但所有电极的厚度加起来可能相当可观[36]、[37]、[38]。例如，刘等人设计了一种含有10个内部电极的夹层式压电换能器[39]。如果每个电极的厚度至少为0.2毫米，那么这些电极的总厚度就可能超过2毫米，这一数值与压电陶瓷本身的厚度相当。此外，刘等人认为实验结果与模型预测之间的频率差异可能就是由于忽略了电极的存在而导致的[38]。因此，如果不考虑这些厚度较大的电极，模型的预测精度就会下降。
• (2)
  具有众多压电陶瓷和电极的朗之万换能器属于复杂的多体系统，这给数值模拟和计算效率带来了挑战。对于有限元法而言，为了保证计算精度，需要对每个压电陶瓷和电极进行精细网格划分，这会导致模型自由度的呈指数级增长，即便在高性能计算平台上，求解时间也会大幅延长。而等效电路法则将每个压电陶瓷和电极视为构成T型等效电路的若干电气元件。由于压电陶瓷和电极数量众多，等效电路的规模也会随之扩大，进一步增加了建模的复杂性。同样，在传统的传递矩阵法中，系统模型中也需要保留压电陶瓷和电极的输入输出状态向量。随着这些元件的数量增加，传递矩阵法的求解规模也会出现类似的问题[40]。

本文的主要贡献在于提出了一种改进的纵向模式朗之万换能器传递矩阵模型，该模型旨在解决因包含大量压电陶瓷和电极而导致计算规模过大的问题。参考文献[41]、[42]、[43]、[44]通过扩展状态向量，将传递矩阵的维度降为4×4，从而实现了带有电极的压电堆的理论建模。在他们的方法中，普通（非压电）元件的状态向量除了包含机械量（速度、力）外，还加入了电气量（电压、电流分量）。虽然这种方法简化了状态向量的传递过程，但却降低了模型的物理可解释性。本文的核心创新之处在于引入了机电传递条件，从而在系统模型中省略了压电陶瓷和电极的状态向量。这样一来，压电堆的传递矩阵维度保持不变，且不受压电陶瓷和电极数量的影响。所提出的传递矩阵为3×3，相比4×4矩阵更为简洁，也是理论上可行的最小矩阵尺寸。同时，该模型中的状态向量无需额外扩展，依然具备清晰的物理意义。

本文的其余部分结构如下：第2节推导了纵向模式压电堆的传递方程；第3节基于该传递方程建立了朗之万换能器的传递矩阵模型，并对其有效性进行了评估；第4节详细阐述了改进后的传递矩阵模型；最后，第5节总结了全文的结论。

章节概要

纵向模式压电堆的建模

本节主要讨论纵向模式压电堆的传递矩阵建模方法。建模流程在2.1节中有详细说明。2.2节建立了压电堆中压电复合梁的传递方程，2.3节则推导出了纵向振动情况下压电复合梁单元的传递矩阵模型，2.4节最终给出了纵向模式压电堆的传递矩阵模型。

朗之万换能器的传递矩阵模型及验证

本节以某朗之万换能器作为计算案例进行研究。3.1节详细介绍了如何利用已建立的压电堆传递方程对该换能器进行建模，3.2节展示了计算结果、实验测量结果以及相应的误差分析，3.3节则通过参数分析探讨了电极长度和压电复合梁单元数量对模型性能的影响。

文中还给出了该朗之万换能器的结构示意图

讨论

本节对所提出的模型进行了深入讨论。4.1节总结了该模型中三元运算的特性，4.2节阐述了该模型与其他用于描述纵向振动的模型之间的关系，4.3节则实现了纵向振动和弯曲振动所用三元运算的统一。

结论

为了解决因加入大量压电陶瓷和电极而导致系统矩阵维度急剧增大的问题，本文提出了一种改进的传递矩阵模型。首先，根据结构连续性和电气并联原理，为PCB-OCB-PCB和PU-OCB-PU两种结构建立了机电传递条件，进而定义了三元组合运算。通过反复应用这种运算，可以简化内部

CRediT作者贡献说明

余鹏鹏：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，可视化，验证，指导，软件使用，项目管理，方法论研究，实验分析，资金申请，正式分析，数据整理，概念构建。张世宇：撰写——审阅与编辑。顾康健：撰写——审阅与编辑。李朝然：撰写——审阅与编辑，资金申请。赵秀浩：撰写——审阅与编辑。王亮：撰写——审阅与编辑。金佳梅：撰写——审阅与

利益冲突声明

作者声明不存在任何可能影响本文研究成果的已知财务利益关系或个人关系。

致谢

本研究得到了国家自然科学基金（项目编号：52175015、52275022）、江苏省自然科学基金（项目编号：BK20222011、BK20230093）以及南京师范大学科学研究启动基金（编号：184080H201B132）的支持。

Pengpeng Yu|Shiyu Zhang|Kangjian Gu|Chaoran Li|Soo-Ho Jo|Liang Wang|Jiamei Jin