在过度饱和的城市轨道交通网络中，服务规划下的车队规模与运营速度的联合优化

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：Joint optimization of fleet size and operating speed for service planning in oversaturated urban rail transit networks

　　•BEAS框架能够协调过度饱和的城市轨道交通网络中的列车编组与运行速度规划，以及乘客的动态路径选择。•列车编组分配和运行速度共同决定了可行的发车频率和能源成本。•乘客行为模型涵盖了先到先服务原则下的登车流程、拒载情况以及基于路径规模逻辑的动态路径调整。•一种增量分解算法将列车编组与运行速度的决策转化为背包问题。•北京地铁的实验表明，该框架能有效缩短乘客等待时间，减少被遗漏的乘客数量。

1. 引言
城市轨道交通系统在支撑大城市日常出行方面发挥着至关重要的作用。随着高峰时段的客流量持续增长，许多城市轨道交通系统的运营负荷已接近甚至超出其实际承载能力。在这种过度饱和的情况下，服务规划必须在保障乘客服务质量与确保运营可行性之间找到平衡点。当前的关键问题已不再仅仅是是否需要增加运力，而是如何合理配置有限资源，以切实可行的方式提升服务水平。由此便产生了一个自然的问题：在过度饱和的情况下，增加列车数量或提高列车速度是否始终是最有效的应对措施？

对于乘客而言，不足的发车频率会导致漫长的等待时间、车内过度拥挤以及频繁的拒载现象。而对于运营方来说，提升服务水平又受到列车数量、基础设施状况及运营成本的制约。虽然可以通过增加列车班次或提高运行速度来缩短循环时间，从而提高发车频率，但实际上这两种手段都无法随意调整。因此，发车频率并非一个独立的控制变量，而是由列车编组规模、运行效率及运行速度共同决定的结果。这种列车编组、运行速度与发车频率之间的关联关系，在那些注重需求响应型列车调度及节能运行的研究中早已得到认可（Huang等人，2021；Huang和Liao，2023；Wang等人，2021b；Yin等人，2017）。从这一视角出发，本研究并非旨在探索如何在过度饱和条件下实现节能，而是致力于研究在列车资源有限的情况下如何进行可行的服务规划——在这种情境下，运行速度既会影响可实现的发车频率，还会影响与速度相关的牵引能耗，同时还需要对乘客对服务水平的反应进行明确建模。

在过度饱和的网络中，由于列车容量可能成为限制因素，对乘客反应的明确建模显得尤为重要。当列车无法容纳所有等待的乘客时，部分乘客不得不留在站台上，按照先到先服务的原则等待后续列车。这类拒载事件会使乘客的等待成本具有明显的时效性，进而促使乘客调整出行路线，以避免拥挤的线路或车站。因此，仅从供给层面无法评估列车编组或运行速度调整的效果，其有效性还取决于乘客对相应等待时间、拥挤程度及登车风险的反应。在传统的运营规划模型中，通常采用静态或汇总的需求表示方法，这类方法往往会削弱个体层面的动态变化，无法完整呈现重复等待、站台排队、拒载现象以及乘客的动态路径调整行为。此前关于交通拥堵下的列车调度及拥挤问题的研究已经表明，要评估过度拥挤系统中的运营策略，就必须充分考虑容量限制因素（Cats等人，2016；Nuzzolo等人，2012；Poon等人，2004）。更多近期的研究则进一步强调了在城市轨道交通系统中考虑拒载现象、被遗漏乘客以及过度饱和状态下的等待问题的重要性（Ma等人，2019；Sipetas等人，2020；Yap等人，2020；Zhu等人，2022）。

这些研究议题与若干现有的研究方向相关，每一种方向都针对问题的某一部分展开研究。第一类研究侧重于列车节能运行、速度控制及时刻表优化。通过建模列车的运行时间、时刻表结构、再生制动技术的应用情况以及牵引能耗，这些研究为理解速度与能耗之间的权衡机制提供了重要见解（Mo等人，2019；Wang等人，2021a；Yang等人，2015a；Yin等人，2017；Yang等人，2020）。不过，这类研究大多处于战术或运营层面，通常针对单条线路、有限路段或时刻表层面的同步问题展开分析，因此不太适合用于整个网络范围的服务规划——在网络化服务规划中，列车资源需要在不同线路之间共享，运行速度会影响可行的发车频率，同时还需要充分考虑乘客在过度饱和条件下的反应。

第二类研究则着眼于在拥堵和过度饱和条件下以乘客为中心的服务规划。Niu和Zhou（2013）将时变需求与过度饱和运营条件纳入时刻表优化模型中。Wang等人（2015）则通过考虑乘客的路径选择及换乘行为，将以乘客需求为导向的列车调度方法拓展到了城市轨道交通网络中。Shi等人（2018）针对过度饱和的地铁线路，开发了一种结合乘客流量协同控制的以服务为导向的列车时刻表建模方法，而Yin等人（2021）则研究了在时变乘客需求条件下的网络级时刻表规划问题。这些研究通过将运营决策与需求特征相结合，为以乘客为中心的服务设计做出了重要贡献。然而，这类研究大多仍然采用静态或固定的需求表示方式（Huang和Liao，2023），或者仅采用动态但汇总后的需求模型（Mo等人，2019）。这样的表示方式无法全面反映过度饱和条件下的个体层面动态行为，包括重复等待、站台排队、拒载现象以及乘客的动态路径调整行为。此外，尽管有一些网络级研究考虑了个体层面的乘客路径选择行为（Zhuo等人，2024），但运行速度很少被作为与列车资源分配相协调的规划层面决策因素加以考虑。因此，现有城市轨道交通服务规划模型尚未充分体现列车编组分配、运行速度、受容量限制的登车流程以及乘客的动态反应之间的综合影响。

除了城市轨道交通之外，船舶运输领域也广泛研究了列车编组与运行速度的协调问题。在航运研究中，人们通常会综合考虑船舶编组配置、服务规划以及在硫排放法规约束下的航行速度等因素（Wang等人，2021b）。还有其他研究探讨了河流与海上运输中的排放控制政策设计及排放控制区域划分问题（Zhen等人，2024a；Zhen等人，2024b；Zhuge等人，2024）。更近期的研究则进一步将异构船舶编组配置、绿色技术升级以及减排技术下的速度优化等问题联系起来进行分析（Zhang等人，2026；Zhuge等人，2026）。这些研究都表明，不同运输模式之间的船舶编组决策与速度决策存在着紧密的联系。不过，城市轨道交通的服务规划与船舶运输规划在多个重要方面存在差异：城市轨道交通系统拥有密集的网络结构、较短的列车间隔时间、严格的列车容量限制、先到先服务原则、拒载现象以及乘客的动态路径调整行为。因此，本研究重点探讨在过度饱和条件下，列车编组与运行速度决策是如何与时变乘客行为相互作用的。

为更清晰地展现城市轨道交通领域的这一研究缺口，表1从五个与我们研究问题密切相关的维度对现有代表性研究进行了比较：乘客需求表示方式、受容量限制的登车效应、运行速度决策、列车资源约束以及网络级适用性。

表1. 城市轨道交通系统服务规划相关代表性研究的比较

研究项目 | 乘客需求表示方式 | 是否存在容量限制（如拒载/先到先服务） | 运行速度是否作为决策变量 | 是否存在列车资源约束 | 是否具备网络级适用性
---|---|---|---|---|---
Niu和Zhou（2013） | 动态的，汇总型 | 是 | 否 | 否 | 否
Yin等人（2017） | 动态的，汇总型 | 否 | 是 | 否 | 否
Mo等人（2019） | 动态的，汇总型 | 否 | 否 | 否 | 否
Yang等人（2020） | 静态的，汇总型 | 是 | 否 | 否 | 否
Huang和Liao（2023） | 静态的，汇总型 | 否 | 是 | 是 | 否
Huang等人（2025） | 动态的，汇总型 | 否 | 是 | 是 | 否
Zhuo等人（2024） | 动态的，基于个体 | 是 | 否 | 是 | 是
本研究（BEAS框架） | 动态的，基于个体 | 是 | 是 | 是 | 是

如表1所示，现有研究通常只关注问题的某一部分。那些明确考虑速度与能耗问题的研究往往侧重于线路级或时刻表级的优化分析；而那些聚焦于乘客拥挤问题与服务设计的研究，则大多采用汇总型的需求表示方式，或者没有将运行速度视为运营方可控制的明确参数。尽管Zhuo等人（2024）在过度饱和条件下采用了基于个体的动态乘客建模方法，但并未将运行速度作为供给层面的规划变量纳入模型。因此，目前仍存在一个明显的研究缺口：目前还没有一种可行且适用于网络规模的分析框架，能够同时优化列车编组分配与运行速度，并在容量受限的条件下充分考虑个体层面的乘客反应。

正是出于对这一研究缺口的考虑，本研究提出了一种面向城市轨道交通网络的行为-能量-自适应服务规划（BEAS）框架。该框架能够协同确定列车编组分配与运行速度，从而在资源受限的运营条件下实现合理且可行的发车频率。该框架并未将能耗视为独立的优化目标，而是将与速度相关的运营成本视为一项关键因素，它决定了发车频率提升的可行范围。虽然该框架最初是针对过度饱和的城市轨道交通网络设计的，但其应用范围并不仅限于此类场景，同样适用于非过度饱和的环境——在这些环境中，列车编组分配、运行速度与乘客的路径选择依然存在着紧密的联系。基于此，本研究的主要贡献可总结如下：
（1）针对过度饱和的城市轨道交通网络，构建了一个网络规模的BEAS框架，在该框架中，发车频率被视为由列车编组分配、运行速度及列车循环时间共同决定的内生结果。在列车资源有限且供需失衡的情况下，该框架能够在统一的分析框架内协调供给端的运营决策与需求端的路径选择反馈，从而确定合理且可行的发车频率。
（2）开发了一种多目标的行为-能量自适应模型，用以更精细地刻画过度饱和条件下的乘客行为特征。与传统基于静态、固定或汇总型乘客需求的研究不同，该模型明确考虑了个体层面的乘客分配、先到先服务原则下的登车流程、未能登车的影响、时变旅行成本以及乘客的动态路径选择行为。此外，该模型还引入了路径规模逻辑模型，用于处理过度饱和城市轨道交通网络中的路径重叠问题，从而进一步提升在容量受限条件下路径选择行为的现实合理性。
（3）设计了一种基于分解的迭代求解方法，用以高效解决这一耦合的大型复杂问题。该算法借鉴了本德斯分解的基本思路，将原始问题分解为相互协调的供给端子问题与需求端子问题。在供给端，列车编组与运行速度的决策问题被逐步近似处理，并转化为易于处理的背包问题结构；在需求端，子问题则保留了在时变成本条件下的个体层面乘客行为特征，通过蒙特卡洛模拟方法进行求解。这样的设计既实现了供给端与需求端的迭代协调，又保证了大规模组合优化问题的可计算性。
（4）通过合成实验以及北京地铁网络的大规模真实案例研究，对所提出的框架进行了验证。实验结果表明，该框架适用于现实的城市交通系统，能够支持不同的运营优先级需求——无论是以乘客为中心、以运营方为中心，还是追求平衡的服务规划——从而为在过度饱和运营条件下协调列车编组配置、调整运行速度以及制定可行的发车频率提供了实用的参考依据。

本文的其余部分结构如下：第2节首先介绍用于建模的符号说明，随后描述问题背景，并引入两种类型的时空网络模型；第3节提出一个同时考虑运营方决策与乘客反应的集成模型；第4节阐述基于分解的迭代求解方法；第5节通过一系列实验，展示该BEAS框架在小型示例网络以及大规模真实北京城市轨道交通网络中的性能表现；最后，第6节对全文内容进行总结，并指出未来研究的方向。所提模型中使用的参数。参数定义：TTij——线路i,j上的行驶时间；oa——乘客a的起点节点；da——乘客a的终点节点；wa——乘客a的OD对；lij——线路i,j的长度；capk——线路k上列车的运载能力；δijp0–1——表示路线与线路之间关系的参数：若线路i,j属于路线p则为1，否则为0；ωt——目标函数中乘客出行成本的权重系数；ωe——目标函数中能源消耗的权重系数；λt——乘客出行成本的货币转换系数，例如时间的价值；λe——能源成本的货币转换系数，例如电价；Enk,vkk——在线路k上，拥有nk列车且运行速度为vk时的列车能源消耗量；Enk,vkk——在线路k上，拥有nk列车且运行速度为vk时的总能源消耗量；N——可用列车的总数；θijtt′nk,vk0–1——从服务计划映射到时空弧线的参数：若按照服务计划nk,vk运行的列车经过弧线i,j,t,t′则为1，否则为0。表5. 所提模型中的变量。变量定义：决策变量xijtt′a——乘客分配变量：若乘客a使用时空弧线i,j,t,t′则为1，否则为0；ynk,vkk——服务计划设定变量：若线路k的列车数量为nk且运行速度为vk则为1，否则为0；zpa——路线选择变量：若乘客a选择路线p则为1，否则为0；辅助变量ci,j,t,t′——弧线i,j,t,t′的时变出行成本；cwpt——出发时间为t时，路线p的时变出行成本；qwpt——出发时间为t时，选择路线p的OD对w的时变客流量；Gi,j,t,t′——时变载客率，即弧线i,j,t,t′上的总乘客数。2.2 问题描述2.2.1 BEAS框架示意图所提出的BEAS框架旨在为过度饱和的城市轨道交通网络制定现实且可持续的战略层面服务计划，同时充分考虑乘客的适应性路线选择行为。如图1所示，该框架处于战略层面，服务计划通过综合的供需优化来确定，而列车级别的时刻表调整则被视为本研究范围之外的后续战术性流程。在战略层面，该问题被构建为一个由两个相互关联的组成部分构成的整体优化过程：(a)供给侧服务计划设定模块，负责确定全网列车数量分配以及各线路的运行速度。运行速度指的是线路平均服务速度的规划目标值，用于确定列车循环时间并指导后续的时刻表设计。结合列车分配，这些决策会在列车数量预算和与速度相关的牵引能耗约束下，内生地决定每条线路的实际服务频率。在该框架中，服务频率被视为供给侧决策（即速度和列车数量）的內生结果，而非外部规定的输入值；(b)需求侧乘客路线选择模块，乘客会根据其感知到的综合出行成本来做出个体化的、具有适应性的路线选择。这些成本包括等待时间、车内行驶时间、换乘惩罚、拥挤带来的不适感，尤其是在运力不足情况下无法登车的损失。下载：下载高分辨率图像（501KB）下载：下载完整尺寸图像图1. BEAS框架示意图。这两个模块通过服务频率相互关联。供给侧决策通过列车分配和运行速度决定线路的服务频率，进而影响全网各线路的时变路线出行成本。作为回应，乘客会根据这些不断变化的成本，依据路径规模逻辑模型调整自己的路线选择。由此产生的乘客流会在空间和时间上重新分布，从而影响系统在乘客出行成本和能源消耗方面的性能。这种反馈机制会被用于在后续迭代中更新服务计划，构成所提BEAS框架的核心迭代机制。为体现过度饱和条件下战略服务规划所面临的关键约束和运营限制，BEAS框架同时考虑了以下因素：(1)全网各线路的列车数量分配；(2)各线路的运行速度选择及其对应的列车循环时间；(3)由循环时间和列车数量决定的服务频率；(4)与速度相关的能源消耗；(5)制约车内拥挤和无法登车现象的严格列车运力约束；(6)包含无法登车风险在内的时变路线出行成本；(7)在网络状况变化背景下乘客的适应性、个体化路线选择行为。BEAS框架的目标是在过度饱和的条件下，兼顾乘客服务性能和资源效率。乘客侧的绩效通过综合出行成本来衡量，该成本包括等待时间、车内行驶时间、换乘、拥挤不适感以及无法登车的损失。在供给方面，可行的服务频率受到列车可用数量和与速度相关的牵引能耗的限制。这些因素彼此紧密关联：通过增加列车数量或提高运行速度缩短循环时间来提升服务频率，虽然可以减少乘客的出行成本，缓解等待和拥挤问题，但同时也可能需要更多资源并增加能源消耗。因此，该框架并非孤立地优化单一指标，而是寻找能够在运力约束下考虑乘客反应、同时满足列车数量和能源限制的可实施服务频率方案。通过同时评估乘客的综合出行成本和牵引能耗，该框架有助于制定出在控制能源消耗的同时提升服务性能的服务频率方案。需要强调的是，尽管该模型会输出各线路的运行速度建议值，但这些数值仅作为战略规划层面的指导，而非列车级别的具体调度指令。在实际应用中，建议的速度可以通过标准的时刻表调整来实现，比如重新分配相邻车站之间的运行时间、调整停站缓冲时间，或选择预定的运行速度曲线，以达成相应的循环时间和服务频率。通过这种分层式的解读方式，该框架构建了一个系统级的解决方案空间，同时兼顾了乘客的行为反应、运营灵活性和能源效率。因此，它为后续的任务，如时刻表编制、停靠模式设计以及短期故障处理，提供了节能型的基准。为体现过度饱和的城市快速轨道交通系统的动态特性，该框架采用了时空网络表示方法，同时模拟空间拓扑结构和时间演变过程。乘客路线选择的时空网络在2.2.1节中有详细阐述，而不同服务计划下的列车运行时空网络则在2.2.2节中介绍。2.2.2 需求侧乘客路线选择的时空网络如图2(a)所示，实际的城市快速轨道交通网络由三条线路和三个车站组成。为体现多线路网络中各线路及不同方向间的换乘关系，每个实际车站会被进一步扩展为多个与不同线路和方向对应的车站节点。此外，还引入了起点节点和终点节点，用以描述乘客在网络中的完整出行过程。基于这种表示方式，就可以构建出相应的建模网络，如图2(b)所示。下载：下载高分辨率图像（374KB）下载：下载完整尺寸图像图2. 具有两条路线的实际网络及其对应的乘客时空网络。具体而言，这些节点被分为三类：起点节点、终点节点和车站节点。线路连接则被分为四类：将起点节点与车站节点相连的进入线路、将车站节点与终点节点相连的离开线路、连接不同线路上车站节点的换乘线路，以及连接同一线路上相邻车站的运行线路。运行线路由特定线路标识（1号线为绿色，2号线为红色，3号线为蓝色）。通过这种建模方法，我们可以详细描述乘客的出行过程。例如，一名乘客可能从起点节点1出发，通过进入线路(1,2)进入系统，沿着1号线通过运行线路(2,3)行驶，再通过换乘线路(3,4)换乘到2号线，最终通过离开线路(5,8)离开系统，抵达终点节点8。相应的时空网络如图2(c)所示，它通过将空间位置与离散的时间步长对应起来，将实际网络扩展到时间维度。该网络展示了两名乘客的时空行程轨迹，其中一名乘客选择1号线并在这条线上进行换乘，另一名乘客则选择3号线且不换乘。时空网络中的每条弧线都具有时间依赖性，而运行弧线则与预定的时刻表保持一致。乘客在特定线路上的移动由彩色箭头表示，而等待、换乘和离开等行为则分别用紫色、橙色、黑色和蓝色的虚线弧线表示。如图2(c)所示，如果不考虑等待时间、拥挤状况和无法登车的问题，两条路线的自由流动行驶时间均为6个单位。在这种条件下，乘客更倾向于选择3号线的直达路线，因为它无需换乘，因而可以避免换乘带来的额外成本。当客流量较大时，3号线会出现过度饱和现象，导致等待时间延长、无法登车的情况增多，进而使综合出行成本上升。与此同时，由1号线和2号线组成的换乘路线则未被使用，造成列车空驶，运营资源利用效率低下。为体现过度饱和条件下的这种失衡状况，该模型采用先到先服原则对乘客登车行为进行建模，并严格遵循列车运力约束。当客流量超过可用运力时，这就自然会导致站台排队和无法登车现象的产生。因此，乘客的综合出行成本会变得具有时间依赖性和需求敏感性，因为等待时间和登车可能性是由随时间变化的到站客流与现有列车服务之间的相互作用所决定的。综合成本包括等待延误、车内行驶时间、换乘惩罚、拥挤带来的不适感以及无法登车的处罚，而这些成本都会随着服务频率的变化而变化。2.2.3 供给侧服务计划设定的时空网络如前所述，列车运行频率是关键的供给侧服务变量，它由线路级别的列车数量和运行速度内生决定。例如，对于某条线路k，给定其列车数量nk和选定的运行速度vk后，其服务频率ynk,vkk可通过公式(1)计算得出。(1)ynk,vkk=60/Tk·nk=60/2·lk/vk·nk=30/lk·vk·nk其中Tk为列车循环时间，lk为线路k的长度。相应的发车间隔则由hk=60/ynk,vkk给出。例如，若设定ynk,vkk为每小时30列列车，则发车间隔为2分钟。图3以2号线为例，展示了在不同列车数量和运行速度下的列车运行供给侧时空网络。对于这条线路，其长度为l2=3，可能的列车数量为n2∈{2,3,4}，可能的运行速度为v2∈{1,2,3}，由此可得到相应的循环时间T2∈{6,3,2}。这样一来，就形成了3×3=9种候选服务计划。下载：下载高分辨率图像（972KB）下载：下载完整尺寸图像图3. 不同服务频率和运行速度下的列车时空网络。图3(a)比较了三种具有相同列车数量n2=2但运行速度不同的服务计划，即(2,1)、(2,2)和(2,3)。它们对应的服务频率分别为每小时20列、40列和60列，而这些服务计划的时空网络则通过零成本的虚拟进入和离开弧线相互连接。图3(b)比较了三种具有相同运行速度v2=1但列车数量不同的服务计划，即(2,1)、(3,1)和(4,1)，它们对应的服务频率分别为每小时20列、30列和40列。需注意，每小时60列列车的情形仅用于示例；在现实世界的城市快速轨道交通系统中，由于基础设施和运营方面的限制，很难实现如此短的发车间隔。如图3所示，当列车数量固定时，线路的服务频率会随着运行速度的提高而上升；而当运行速度固定时，服务频率则会随着列车数量的增加而上升。给定某一个选定的运行速度vk后，线路k上从i节点到j节点再到t节点最后回到t′节点的列车运行弧线的运行时间可由t′-t=lij/vk唯一确定。例如，考虑图3(a)中服务计划2,1下的列车运行弧线4,5,1,4，这意味着列车会在时间间隔1时从站点4出发，在时间间隔4时到达站点5。由此可算出的运行时间为4-1=3，这一数值与运行速度vk=1是相符的。为保持一致性，本研究假设每条线路在整个研究周期内都遵循统一的服务计划。此外，由于所提出的BEAS框架是为大规模城市快速轨道交通网络的战略层面服务规划而设计的，因此一些细化的运营机制被有意简化，以便与规划范畴相匹配并保持计算的可行性。具体而言，再生制动机制并未被明确纳入模型，因为其应用通常是在考虑详细列车轨迹和列车间同步性的时刻表级优化研究中进行分析的（Yang等人，2015b；Yin等人，2017）。同样，基于乘客负荷的列车质量变化也未被明确考虑。尽管这一因素可能会影响牵引能耗的估算，但以规划为导向的研究往往采用基于运行速度或运行时间的聚合能耗公式，以此在模型精度和计算可行性之间取得平衡（Canca和Zarzo，2017；Martínez Fernández等人，2019）。因此，此处将牵引能耗近似视为运行速度及相应运行时间的函数。2.3 问题描述我们考虑在有向URT网络G=N,L上的综合优化问题，其中N为节点集，L为有向边集。该网络由多条运营线路组成，用k∈K进行标识。对于每条线路，运营商需从车队规模集合Nk中选择可行的车队规模nk，再从速度等级集合Vk中选择运行速度vk，这两者共同决定了服务频率。乘客需求由一组代理a∈A表示，每个代理对应一个OD对wa、一个与时间相关的OD需求qwa∈Qwa，以及一组候选路径p∈Pwa。分析重点在于过度饱和时期，此时总乘客需求超过了现有车队所能提供的运输能力。目标是为每条线路共同确定车队规模和推荐的运行速度，以及乘客的适应性路线选择，从而最小化总综合成本。该成本包含两部分：一是与时间相关的乘客侧综合出行成本，用于体现未能登车的风险；二是牵引能耗成本，取决于所选的速度等级及由此产生的行驶时间。这一综合模型体现了供给端服务配置与需求端路线选择之间的内在互动，有助于在资源约束下实现城市铁路运营的协调决策。3. 模型构建BEAS框架的综合模型在3.1节中给出，它将服务计划设计与乘客路线选择行为联系起来。3.2节详细阐述了在过度饱和条件下线路能耗及与时间相关的路线出行成本的计算方法。如3.3.3.1节所述，乘客路线选择采用与模拟出的路线出行成本相一致的路径规模逻辑斯蒂模型进行建模。综合模型(1)目标函数目标函数(2)旨在最小化总综合成本，该成本包括：(i)综合乘客出行成本，其中包含了拥堵效应以及“被遗漏”惩罚；(ii)牵引能耗成本，由每条线路所选的车队规模/速度组合决定。(2)minε=ωtλt?∑a∈A∑i,j,t,t′∈Eci,j,t,t′?xi,j,t,t′a+ωeλe?∑k∈K∑nk∈NK∑vk∈VKEnk,vkk?ynk,vkk其中ci,j,t,t′表示随服务计划调整而变化的时间相关弧段成本；Enk,vkk表示在候选车队规模nk和速度等级vk下的线路k的能耗，定义见方程(17)；ynk,vkk为二元决策变量，若线路k选择了相应的车队规模/速度组合则为1，否则为0。为平衡这些相互冲突的目标，我们设计了加权目标函数，其中ωt用于权重化综合乘客出行成本，ωe用于权重化牵引能耗成本。为确保可比性，这两个成本项都换算为统一的货币尺度：乘客与时间相关的成本通过平均时间值λt来换算，而牵引能耗则通过电价λe来换算。为便于理解各种权衡关系，经过换算的能耗项还会进一步调整，使其在与基准条件下的乘客成本项相当，这样ωt和ωe的变化就能直观反映不同的规划偏好，而非单位或尺度差异带来的影响。(2)优化运营服务计划决策的供给端约束对于线路k，在规划期内仅能选择一个服务计划ynk,vkk∈Y，定义见方程(3)。引入二元变量ynk,vkk=1，表示线路k按照特定的运行速度vk和车队规模nk来运营。(3)∑nk∈NK∑vk∈VKynk,vkk=1,?k∈K为控制URT系统的运营成本，通常会将可用车队规模作为预算上限。为简化模型，本研究未考虑不同线路之间基础设施或信号系统的差异，假定列车车队可以在不同线路间互换使用。因此，将可用车队的最大数量N设定为控制运营成本的上限，见方程(4)。该不等式确保所有线路的车队规模之和不会超过车队预算N。(4)∑k∈K∑nk∈NK∑vk∈VKynk,vkk?nk≤N(3)模拟乘客路线选择行为的需求端约束对于乘客a，时空流量平衡约束可表示为方程(5)–(7)。对于任意虚拟起点顶点r,0：(5)∑t:t∈Txr,oa,0,ta=1,?a∈A对于任意虚拟终点顶点s,T：(6)∑t:t∈Txda,s,t,Ta=1,?a∈A对于任意中间顶点j,t′：(7)∑i,t:i,j,t,t′∈Exi,j,t,t′a-∑j′,t″:j,j′,t′,t″∈Exj,j′,t′,t″a=0,?a∈A,∏j,t′∈V\r,0,s,T为保证公平性，在具有时间相关流的交通分配模型中不允许插队行为。等待时间较长的乘客享有更高的登车优先权，从而确保能够准确模拟站台等待和未能登车的情况。因此，时空乘客流应遵循FIFO原则（Shang等人，2018；Zhuo等人，2023）。在任何时间t，较早到达队列的乘客应更早离开队列，如方程(8)所示：(8)∑t″,t″′:t″在本研究中，γ和β分别取为0.10和1.00，这些数值是根据现有文献确定的。选择γ=0.10是与公共交通路线选择研究中所报告的地铁车内时间系数数量级相一致的（Duncan等人，2020年），而β=1.00则代表了在实证PSL系列研究中所报告的适度路径长度修正强度。重要的是，这种修正并非随意“偏袒”某条路线，而是为了避免在旅行成本相近时，那些重叠度较高的替代路线获得过高的概率。为了量化路径p的结构差异性，公式(20)中正式定义了路径长度因子PSwtp。(20)PSwtp=∑i,j∈LpTTij∑p′∈PwtIi,j∈Lp′,?w∈W,?p∈Pwt,?t∈T该求和遍历路径p中包含的所有路段i,j，其中TTij表示该路段的行驶时间。分母则统计了有多少条路径p′∈Pwt也包含相同的路段，这里使用了指示函数I?，当条件满足时值为1，否则为0。因此，被多条路径共享的路段对PSwtp的贡献较小。通过这种方式，该因子会降低高度共享路段的影响，减少因多个相似替代路线而导致的选择概率过高的情况，从而使PSL非常适合用于复杂、存在重叠且交通拥堵的快速公交系统（Ben-Akiva等人，2012年；Zhu等人，2024年）。由于我们无法直接观察每位乘客的选择，因此引入qwpt来表示聚合后的客流量。如公式(21)所示，基于流量的变量qwpt与基于Agent的路线选择变量zpa所对应的概率Pwtp之间需保持一致性。(21)Pwtp=qwpt∑p′∈Pwtqwtp′=∑a∈Awtzpa∑p′∈Pwt∑a∈Awtzp′a,?w∈W,?p∈Pwt,?t∈T与Zhuo等人（2024年）的研究相比，本研究有三个主要扩展点。首先，除了最小化乘客的广义旅行成本外，我们还把牵引能量消耗纳入目标函数中，从而能够同时评估需求方的服务质量和供给方的能源性能。其次，除了车队规模分配外，我们还引入了线路级别的速度决策，这使我们能够明确把握速度、车队规模、循环时间以及实际发车频率之间的关系，并将能源消耗视为运行速度和列车行驶时间的函数来建模。第三，我们使用PSL来模拟乘客的路线选择行为，以考虑路径之间的重叠问题，从而提升路线选择估算的行为真实性。据我们所知，将PSL应用于具有明显过度饱和效应（如先到先得的上车规则、严格的容量限制以及未能上车的情形）的快速公交系统中的应用仍然较为有限。得益于我们所构建的基于Agent的仿真框架，所提出的模型能够支持对个体层面的上车动态以及在不同网络条件下适应性路线选择反应的细致分析。

4. 基于分解的迭代求解方法在基于Agent的框架内，要捕捉乘客路线选择与运营服务规划之间的相互作用，尤其是在处理大规模快速公交网络时，会面临巨大的计算挑战。如第3节所述，所提出的模型通过时间依赖的选择概率（公式(19)）将适应性路线选择与诸如车队规模和速度等级选择之类的组合型运营决策相结合。这就形成了一个大规模的非线性整数规划问题，这类问题本质上属于NP难问题。具体而言，在供给方面，每条线路有Nk×Vk种服务计划组合；而在需求方面，每位乘客必须根据不断变化的系统状态，从Pwa×T种随时间变化的路线选项中动态选择。由此产生的模型表现出供给方决策与需求方响应之间的强耦合关系，使得在实际问题中进行直接优化变得十分困难。为了解决这一复杂性，我们采用了受Benders分解启发的基于分解的迭代求解框架（Guo和Zhu，2023年）。通过将原问题分解为供给方的服务规划子问题与需求方的路线选择仿真两部分，该方法在保留关键交互关系的同时显著降低了计算负担（Sch?bel，2017年；Veelenturf等人，2017年）。特别是，迭代过程能够捕捉乘客选择与服务计划调整之间的行为反馈循环（Xie等人，2021年），从而使系统逐步趋向于现实的平衡状态。基于这一理念，本节将详细阐述一种定制化的基于分解的迭代求解方法。4.1 模型分解如图4(a)所示，运营服务计划决策与乘客路线选择问题的整合模型涉及三种类型的决策变量，每种变量都受到特定的约束。(a) 运营服务计划设定变量Y={ynk,vkk∣k∈K,nk∈Nk,vk∈Vk}受服务计划唯一性约束（公式(3)）和车队规模预算约束（公式(4)）的制约。(b) 乘客分配变量X={xijtt′a∣a∈A,(i,j,t,t′)∈E}则需满足客流量平衡约束（公式(5)、(6)、(7)）以及先到先得约束（公式(8)）。(c) 乘客路线选择变量Z={zpa∣a∈A,p∈Pwa}则受到路线选择唯一性约束（公式(9)）的限制。具体而言，Bd(X)和Bd(Z)分别代表与变量X和Z相关的需求方约束，而Bs(Y)则表示与变量Y相关的供给方约束。下载：下载高分辨率图片（426KB）下载：下载全尺寸图片图4. 模型结构表示与分解策略。基于图4(a)所示的模型结构，我们将整合模型分解为两个子问题，以便将其应用于大规模的快速公交网络。考虑到乘客分配变量X可以与变量Z和Y两者相关联，因此可以通过将每种类型的变量固定为Z或Y，将整合模型分解为两个子问题。在接下来的章节中，我们使用Y^和Y?来分别表示变量Y的固定值和优化值，对于变量Z则用Z^和Z?来表示。通过固定变量Z^，就可以得到如图4(b)所示的供给方服务计划设定模型PX,Y。通过固定变量Y^，则可以得到如图4(c)所示的需求方乘客路线更新模型PX,Z。关于这两个子问题的详细公式和求解方法将在4.2 乘客路线选择更新子问题的求解、4.3 服务计划设定子问题的求解部分进行讨论。4.2 乘客路线选择更新子问题的求解通过固定服务计划设定变量Y^，可以构建乘客路线选择子问题PX,Z，其目标是找到乘客最优路线选择Z?的解。在Y^固定的情况下，图4(c)中所给出的模型PX,Z实际上是一个基于时刻表的乘客分配模型，通过该模型我们可以得到目标函数值Enk,vkk。目标函数：(22)minEnk,vkk=ωt?∑a,i,j,t,t′ci,j,t,t′?xi,j,t,t′a+ωe?∑k,nk,vkEnk,vkk?y^nk,vkk约束条件：(23)∑t∈Txroa0ta=1∑t∈TxdastTa=1∑i,j,t,t′xi,j,t,t′a-∑j,j′,t′,t″xj,j′,t′,t″a=0∑t″虽然背包问题通常属于NP难问题，但在URT应用中，即便面对大规模网络，在较短的规划时间范围内（例如几小时），每条线路的可行运行方案数量依然有限且易于处理。这使得解决子问题的计算复杂度在实际应用中仍可接受。最后，方程(2)中的总广义成本E是通过附录B中的算法B.1来计算的。给定一个由每条线路上的列车数量和速度确定的候选服务计划Y^，以及固定的路线选择方案Z^，通过求解乘客分配模型可以得到相应的乘客状态X^。基于X^，可以计算出与时间相关的线路行驶成本和运营成本，并将其汇总为整个系统的广义成本。在实践中，在第?次迭代中，所有候选方案的基础项EY0?;Z^?都是恒定的。由于每条线路只会选择一种方案，这一常数不会影响方程(25)中可行解的相对排序，因此可以在实现时省略它以进一步缩短运行时间。此处保留它只是为了便于表述。

4.4 迭代求解框架
基于分解的总体迭代框架如图5所示。原始的耦合问题被分解为需求侧的路线规划子问题与供给侧的服务计划制定子问题，二者通过由?标识的外层迭代进行协调。在服务计划固定的情况下，需求侧会通过内层迭代进一步更新。图5展示了基于分解的求解方法的迭代框架。在外层迭代?中，该框架首先采用当前的服务计划向量——无论是?=0时的初始计划，还是上一次供给侧优化后的更新计划——来生成相应的列车时刻表。根据该时刻表，需求侧子问题会进行基于时刻表的乘客分配和路线选择更新。具体而言，算法B.1用于模拟乘客上车情况，算法B.2用于计算与时间相关的路径行驶成本，而算法1则利用PSL模型更新乘客的路线选择。在服务计划固定的情况下重复这一过程，即可得到第?次迭代的路线选择方案。该框架采用需求侧与供给侧交替更新的机制。一个预先设定的间隔参数?决定了供给侧需要更新的频率。在非更新阶段，服务计划保持不变，仅解决需求侧子问题。每隔?次迭代，当前的路线选择方案就会被固定下来，传递给供给侧模块，在那里并行评估候选服务计划，然后通过解决由此产生的多选背包问题来选择下一轮的方案。更新后的服务计划再被输入到下一轮外层迭代中。这种设计建立了清晰的信息流：服务计划决定时刻表，时刻表影响乘客的路线选择，而更新后的路线选择又会引导下一次的供给侧调整。通过在多个内层迭代中保持服务计划不变，参数?能够让路线选择在下次供给侧更新之前趋于稳定，从而减少波动和计算负担。这一过程持续进行，直到达到最大外层迭代次数，之后便选出总广义成本最低的服务计划与路线选择组合作为最终结果。

5 数值实验
本节通过一个小规模示例案例以及北京地铁的大规模真实网络案例进行数值实验。所有实验均在Windows 11电脑上使用Python实现，服务计划规划子问题则在同一平台上使用Gurobi 12.0.3（学术版）进行求解。北京地铁网络的大规模案例则在配备Intel Core i7-12700?K处理器和128GB内存的工作站上运行。

5.1 一个小型示例
为了测试BEAS框架在协调供需、更好地匹配列车资源与客流方面的有效性，从而降低出行成本和能源消耗，我们构建了一个最小化示例。

5.1.1 实验描述与参数设置
如图6所示，该网络包含从节点1到节点8的一条OD路径，以及两条可行路径。进入链路将乘客从起点节点1输送到站点节点2和6，运行链路用于计算每条线路上的乘车时间，而出站链路则将站点节点5和7与终点节点8相连。路径A为换乘路线1?→?2?→?3?→?4?→?5?→?8，需要在换乘链路3?→?4处从1号线换乘到2号线；而路径B则为直接路线1?→?6?→?7?→?8，属于3号线。在供给侧，URT系统受限于15组列车的运力上限，各线路的列车配置需在此预算范围内共同规划。每列车的载客量仅为3人，超出部分的乘客将被视为滞留乘客，需等待下一班列车。对于每条线路，需要考虑两个决策变量：分配的列车数量和运行速度。速度的不同会改变线路的运行周期，进而影响在既定列车数量下的发车间隔。在这个示例网络中，每条线路的列车数量可选{4, 5, 6}，运行速度可选{6, 8, 12}公里/小时。表6列出了列车数量和速度与线路运行周期及相应发车间隔的对应关系。每条线路共有9种候选服务计划（3种列车数量×3种速度水平=9种）。由于仅有15组列车可用，三条线路无法全部以最高频率运行，因为那需要18组列车。因此，运营方需要寻找一种协调的列车数量与速度组合，在资源受限的情况下降低乘客的总体出行成本和牵引能耗。表6显示了不同速度水平下不同列车数量对应的线路运行周期、发车间隔以及相应的能源成本。更高的速度虽然会增加能耗和成本，但也能缩短行程时间，提升服务质量。因此，运营方需要在能耗与服务质量之间取得平衡，从而在不对乘客服务造成明显影响的前提下节约能源。表7列出了三条不同长度线路的运行时间与能耗情况。空单元格表示对应速度下该线路的运行时间未在表中列出。其中，快速速度为12公里/小时，中等速度为8公里/小时，慢速速度为6公里/小时。表7中还给出了每条线路的长度、运行时间、能耗以及对应的货币化能源成本。电价为0.198元/千瓦时、0.396元/千瓦时、0.594元/千瓦时、0.195元/千瓦时、0.390元/千瓦时、0.585元/千瓦时、0.194元/千瓦时、0.388元/千瓦时、0.581元/千瓦时。我们假设共有20名乘客，从第1分钟开始，每分钟有一人到达，直至第20分钟。分析时间为60分钟，时间步长为1分钟。对于每位乘客，其总体出行成本为时间成本加上因换乘、拥挤或滞留等情况产生的额外费用之和。在我们的模型中，η=0.8，意味着当列车载客量超过其容量的80%时，就会产生拥挤惩罚。如果到达的列车已满，乘客则需要承担滞留惩罚，等待下一班列车。表8列出了用于计算这些费用的参数值，这些参数可用于反映拥挤、等待、换乘以及滞留带来的不便。表8中，时间价值VoT设定为每小时10元人民币，这样需求侧的出行成本就能与供给侧的能源成本采用统一的衡量标准（Kou等人，2017）。值得注意的是，当服务质量下降时，惩罚系数会自然提高出行成本，因此由此产生的成本能够以符合现实且与行为逻辑一致的方式引导路线选择。本研究采用基于代理的建模方法，模拟高峰时段的过度饱和状况。该模型根据列车时刻表追踪每位乘客的到达时间，计算其在进站点和换乘点的实际等待时间，并在列车达到载客上限时记录滞留事件。相比之下，传统的基于流的建模方法往往采用0.5×发车间隔的简化公式来估算等待时间，这种方法无法体现容量限制，也无法真实反映乘客滞留的情况。我们的框架通过明确施加列车容量限制以及先到先得的上车规则，解决了这一缺陷。这些机制能够再现过度饱和条件下的站台排队现象，从而准确评估供给侧决策——尤其是列车数量和速度水平——对等待时间以及乘客未能上车概率的影响。5.1.2 收敛性测试、优化结果及消融实验(1)收敛性测试为了验证所提出的迭代优化框架的稳健性和收敛特性，我们在五种不同的初始条件下进行了收敛性测试，这些初始条件可分为三类：第一类是初始乘客路线选择不同（初始路径为A或B），但运营决策相同；第二类是初始速度设置不同，但列车数量和乘客分布相同，包括列车数量为5且速度为6、列车数量为5且速度为8、列车数量为5且速度为12三种情况；第三类是初始列车数量不同，但速度设置和乘客分布相同，包括列车数量为5且速度为8、列车数量为4且速度为8两种情况。所有初始条件下目标函数值（总出行成本与总能源成本之和）的收敛轨迹如图7所示。在所有案例中，迭代初期目标函数值都会迅速下降，之后进入逐渐稳定的阶段。值得注意的是，尽管不同初始条件下的目标函数初始值差异较大，但所有轨迹都在大约10–15次迭代后收敛到相同的最终值80.5。无论初始条件的差异源于乘客路线选择、速度设置还是列车数量，都能观察到这种一致的收敛趋势。图7展示了不同初始条件下的收敛测试结果。仔细观察图7中标记出的第3次、第6次和第9次迭代时的收敛曲线，可以发现几乎所有情况下目标函数值都有显著下降。这些迭代对应于服务计划的更新阶段，每三次迭代就会调整一次发车频率。因此，在这些节点上同时调整服务计划和乘客路线选择，能够显著提升系统性能。而在服务计划保持不变的迭代阶段（如第1次、第2次、第4次、第5次迭代），目标函数值的下降则主要来自乘客路线选择的变化。这些结果表明，所提出的BEAS框架对初始条件的选择具有很强的鲁棒性，且具备良好的收敛特性。能够从不同的起始点得到相同的收敛结果，说明这种迭代的供需调整机制能够有效探索解决方案空间，避免陷入局部最优解，从而确保解决方案的稳健性和可重复性。(2)优化结果在本节中，我们首先介绍BEAS相对于基线的优化结果及其自适应机制。基线方案模拟了一种“公平分配”的情况，即不同线路之间没有供给侧的差异。我们将15组列车平均分配到三条线路上，每条线路各5组，且每条线路都采用中等速度8公里/小时运行。在这种基线方案下，三条线路的发车间隔分别为3分钟、6分钟和9分钟。这一基线方案体现了公平性，为后续评估协调的列车数量与速度策略提供了中立的参考，有助于降低各类成本。在示例网络中，假设仅考虑时间成本，路径A需要换乘，其自由行驶时间为26.5分钟，而路径B为直达路线，自由行驶时间更短，为24.5分钟。因此，基线方案假定所有乘客最初都会选择3号线上的路径B。在基于基线方案初始化后，BEAS框架通过结合乘客的路线选择来重新分配资源，从而形成优化且具备自适应能力的运营方案。实证分析表明，目标函数中出行成本与能源成本的权重对优化结果有着显著影响。为研究这一效应，我们分析了三种权重比例：1比30（以能源效率为重）、1比1（成本均衡）以及30比1（以出行便捷性为重）。表9展示了三种不同情景下的速度水平与列车编组分配情况。表9. 三种优化情景下的列车编组分配及速度水平。情景/供给端决策列车编组线路速度（公里/小时）线路发车频率（分钟/班）线路1线路2线路3线路1线路2线路3线路1线路2线路3基准情景555888369节能型情景44466651015出行便捷型情景456121212345综合成本友好型情景444121212358在优化过程中更新的服务计划使得乘客的路线选择会随之调整以适应新的服务方案。这样的调整能够在现有约束条件下实现供需之间的平衡，从而降低不同导向下的目标值。如表10所示，在节能型情景中，该框架会将最少的列车数量分配到三条线路上，并选择最低的运行速度，以此实现最大的能源节约。而在出行便捷型情景中，则有15列列车被最优地分配到各条线路上，每条线路都以最高速度运行。这种配置能够保持较高的列车发车频率（间隔时间在5分钟内），从而降低乘客的出行成本。此外，该框架还能在乘客出行成本与能源消耗之间实现平衡，正如综合成本友好型情景所展示的那样。在该情景中，为了最小化总成本（总出行成本+总能源成本），框架会尽量减少列车数量以降低能源消耗，同时让所有线路都以最高速度运行以降低乘客成本。在这种列车数量与速度的组合下，三条线路的运行频率都保持在可接受范围内，发车间隔时间低于8分钟。表10. 不同情景下的各项指标对比。情景/指标路径共享比率（路径A:路径B）平均等待时间总滞留人数总出行成本总能源成本总综合成本基准情景0%: 100%18.942138.6111.31149.92节能型情景0%: 100%17.937125.086.98132.06出行便捷型情景35%: 65%1.75067.3018.0285.31综合成本友好型情景45%: 55%2.65071.649.8680.50注：AWT=平均等待时间（分钟）；TLN=总滞留人数；TTC=总出行成本（人民币）；TEC=总能源成本（人民币）；TGC=总综合成本（人民币）。为更清晰地展示各项优势，表10汇总了供给端与需求端的各项关键指标，包括平均等待时间、总滞留人数、总出行成本、总能源成本以及总综合成本。基于这些指标，图8从不同角度对比了三种基于不同政策导向的情景与基准情景。下载：下载高分辨率图片（400KB）下载：下载完整尺寸图片图8. 不同导向情景与基准情景的指标对比。为便于直观比较不同情景的表现，图8(a)采用雷达图形式展示了五个关键指标的相对表现。所有指标均被标准化到0–1的范围内，数值越高表示表现越好。每个指标中表现最佳的情景被赋予1分，最差的则被赋予0分，从而遵循“数值越高越优”的统一标准。这种可视化方式有助于展现多维度上的权衡与改进情况。分析结果表明：(1)以能源效率为重的情景在降低能源成本方面表现突出，但会导致乘客出行成本显著上升；(2)以出行便捷性为重的情景在所有与乘客相关的指标上表现最佳，但其代价是较高的能源消耗；(3)平衡型情景在降低能源成本方面表现优异，同时乘客成本也与以出行便捷性为重的情景相当。这些结果证明了所提出的框架具有灵活性，能够根据需求优先考虑乘客体验、环境可持续性或实现两者之间的平衡，从而在不过度增加乘客成本的情况下实现能源节约。图8(b)展示了TTC、TEC和TGC的绝对值对比，可以看出综合成本友好型情景在保持相对较低的TTC和TEC的同时，实现了最低的总综合成本。图8(c)进一步展示了乘客服务方面的表现，其中出行便捷型情景和综合成本友好型情景相比基准情景都大幅降低了平均等待时间，且消除了乘客滞留现象。这些结果表明，所提出的框架能够灵活支持不同的运营目标，包括节能、以乘客为导向的服务提升以及系统的整体优化。我们还分析了乘客在服务计划调整后的路线选择行为。在基准情景下，运营方对所有线路采用统一的配置，没有考虑乘客的选择，这就导致了拥堵、长时间等待以及频繁的乘客滞留现象，因为乘客都会选择最畅通的短路径。在注重出行成本的情景中，列车速度得到了提升，同时乘客的路线选择行为也被纳入优化考量，有效地将客流引导到了换乘路径上。这样一来，各线路之间的负荷分布更加均衡（45%:55%），等待时间和出行成本都大幅下降，而且也不再出现乘客滞留的情况。此外，与基准情景相比，由于减少了列车数量（从15列降至12列），总能源成本也有所降低。为评估所提出的BEAS框架的有效性，我们基于控制变量分析的原则设计了消融实验。共构建了六种情景，逐步放宽三个关键决策维度上的限制：列车编组分配、线路运行速度以及乘客的路线选择行为。情景1作为基准，所有变量均保持不变，而情景6则代表了在供需双方共同决策下的完全优化状态。情景2至情景5则处于两者之间，允许在供给端或需求端进行有选择性的调整。这样的实验设计有助于明确了解每个决策变量所带来的边际影响。实验结果显示，将乘客的路线选择行为纳入考量，其带来的改进效果要优于仅进行供给端调整，而且速度方面的灵活性通常比列车编组规模的灵活性更具作用。总体而言，整合了这三个维度的BEAS框架能够实现最为均衡且高效的运行效果。消融实验的详细数值结果见附录C。5.1.3 计算效率与精确度为评估计算效率与解决方案的质量，我们将所提出的BEAS框架与两种基准方法进行了比较：全枚举法与遗传算法。所有方法都在相同的仿真平台上实现，且建模假设一致。我们通过逐步增加网络中的线路数量来设计一系列情景，以此评估其扩展性。实验结果表明，全枚举法虽然能够保证最优解，但随着网络规模的增长，其计算难度会急剧上升。遗传算法能够在固定的计算预算内提供可行解，但随着问题规模的增大，其性能也会逐渐下降。相比之下，BEAS框架不仅能在亚秒级时间内完成计算，还能保持较高的精确度，而且由于其条件评估呈线性增长，因此能够随着网络规模的扩大而高效运行。如附录D中所进一步量化的，BEAS框架在所有测试情景下都能得到近乎最优的解，其平均最优性差距低于全枚举法的1%。关于算法设置、运行时间统计以及各情景下的性能指标的更多细节，可见附录D。5.1.4 关键参数的敏感性分析为更深入地了解影响系统性能的关键因素，本节针对三个关键参数开展了系统性敏感性分析：单列列车的容量、总列车编组规模以及目标函数权重。(1)单列列车容量与列车编组规模为更好地了解资源限制对系统性能的影响，我们对单列列车容量与列车编组规模预算进行了两项敏感性分析。在两项实验中，我们都采用了20:1的乘客出行成本与能源成本权重比例，以此让系统对服务质量的变化更为敏感。在第一项实验中，提高单列列车的容量能够显著缩短等待时间，同时避免乘客滞留，当容量从2提升到3时，改善效果最为明显。进一步增加容量虽然能带来些许额外收益，但也会导致能源成本略有上升。在第二项实验中，增加总列车编组规模在一定程度上能够提升乘客服务水平。然而，当列车编组规模超过15列后，额外的能源成本开始超过其为乘客带来的好处，这说明在这一水平附近存在一个最优的预算规模。这些结果体现了BEAS框架能够根据系统容量与资源可用情况调整服务计划，并优先在那些能带来最大性能提升的方面进行优化。敏感性分析的完整实验细节见附录E。(2)总出行成本与总能源成本的权重在多目标优化问题中，不同目标的权重对最终解决方案的形成起着至关重要的作用。在本研究中，总综合成本由总出行成本与总能源成本共同构成。这两者之间的不同权重比例直接决定了它们在优化过程中的相对重要性，进而影响列车编组分配与速度选择的决策，而这些决策又会反过来影响乘客的路线选择行为。为系统地研究优化结果对权重设置的敏感性，我们测试了多种出行成本与能源成本之间的权重比例，包括1:0、10:1、8:1、6:1、4:1、2:1、1:1、1:2、1:4、1:6、1:8、1:10以及0:1。图9展示了实验结果，其中子图(a)和(b)分别展示了在不同权重设置下TTC、TEC以及列车编组规模的变化情况。如图9(a)所示，权重比例的不同会导致TTC与TEC之间的平衡发生显著变化：如果更重视出行成本，就会导致能源消耗增加；而如果更侧重于能源成本，则会大幅增加乘客的出行时间。相应地，图9(b)展示了列车编组规模随TTC重要性上升而增加的趋势，其目的是减少乘客拥堵与等待时间。这些研究结果表明，通过合理调整权重，所提出的框架能够灵活应对运营方在降低能源支出与保障乘客服务质量之间的不同需求。下载：下载高分辨率图片（367KB）下载：下载完整尺寸图片图9. 优化结果对出行成本与能源成本权重比例的敏感性。此外，图10展示了TTC与TEC之间的权衡关系，以及帕累托最优解的确定情况，同时还给出了不同权重设置下的总综合成本变化趋势。图10(a)展示了在不同权重比例下TTC与TEC之间的权衡边界。在TTC:TEC权重比为1:4时（TTC为91.85，TEC为9.21），其中一个目标的边际收益需要以另一个目标极大的牺牲为代价，因此这一比例代表了最为高效的折中方案。图10(b)进一步表明，当给予TTC更高的权重时，总综合成本会迅速下降，在1:1的权重比例时达到最低值（TGC为80.50），此后再继续提高TTC的权重也不会再带来总综合成本的进一步降低。下载：下载高分辨率图片（263KB）下载：下载完整尺寸图片图10. 权衡分析及代表性解决方案的确定。从管理角度来看，TTC与TEC的权重比例可以被视为一种政策手段。如果运营方的首要目标是缓解拥堵并提升乘客服务质量，尤其是在高峰时段，那么较高的TTC权重可能更为合适。然而，图10(b)显示，如果给TTC赋予过高的权重，其效率并不一定高，因为在1:1之后，总综合成本的边际提升幅度会变得非常有限。相反，如果政策目标是节能、减少碳排放或控制电力成本，那么较低的TTC:TEC比例则更为适宜。在这种情况下，1:4的权重比例是一个不错的选择，因为它能够在实现显著节能效果的同时，避免乘客出行成本出现过度上升。总体而言，1:4到1:1这个范围显得尤为实用，1:4代表以能源效率为重的折中方案，而1:1则可作为兼顾各方的平衡默认选项。总之，尽管这项敏感性分析是在一个小规模网络上进行的，但它明确考虑了固定的总列车编组规模以及严格的列车容量限制。实验结果揭示了供给端决策，包括列车编组分配与运行速度，是如何改变TTC、TEC与总综合成本之间的权衡关系的，以及这些变化又是如何通过影响乘客的路线选择来引导需求响应的。这项实验不仅证明了所提出的BEAS框架具备协调乘客需求与能源目标的能力，还为在不同运营与政策优先级下设定目标权重提供了可参考的依据。为进一步体现所提出的BEAS框架的实际意义与应用价值，下一节将把案例研究拓展到现实世界中规模庞大的北京地铁网络，旨在为实际应用提供更多运营层面的见解与数据。5.2 北京地铁网络5.2.1 实验描述与参数设置截至2025年9月，北京地铁已是全球规模最大的城市快速轨道交通系统之一，其网络结构庞大且复杂，同时客流量也极高（Shang等人，2024年）。如图11所示，本案例研究涵盖了北京地铁网络中目前正在运行的全部27条线路，其中包括1条磁悬浮线路（S1线）、2条有轨电车线路（西交线与亦庄T1线），以及2条机场专线（首都机场线与大兴机场线），总计拥有413座车站。为便于对乘客的进出站及换乘行为进行建模，原有的车站和轨道段被扩展为一个适合建模的网络，该网络包含1,868个节点和4,022条连接线。下载：下载高分辨率图片（466KB）下载：下载全尺寸图片图11. 北京地铁网络布局。在170,570对起点-终点组合中，通过K最短路径算法共生成了312,534条可行的候选路径。研究时段为上午4小时（7:30–11:30），时间分辨率为一分钟，因此共有240个时间间隔。时间依赖型需求数据是根据高峰时段收集的AFC智能卡处理数据构建的。这一时段内的总客流量为923,218人，约为系统承载能力的1.5倍，说明运营状况极为拥挤。据我们所知，这是迄今为止关于URT系统能效运营的最大规模现实案例研究。为构建一组真实的供给方候选服务方案，我们首先从北京地铁运营中心获取了各线路的实际运行速度。这些观测值被视为中等速度水平，而低速和高速方案则分别通过在此基础上增加或减少10公里/小时来生成，这样每条线路就有三种候选速度水平。对于每种速度设置，都会根据线路长度和运行速度计算出相应的运行时间，再利用公式（15）、（16）、（17）计算出对应的线路级牵引能耗。基于运行时间，我们进一步为每条线路确定了三种候选列车编组规模，对应的服务频率分别为每小时30列、15列和10列。这样一来，每条线路就有3×3=9种候选服务方案。详细输入数据见附录F.1。乘客路线选择是依据第3.3节介绍的PSL模型来建模的。在北京市这一大规模案例研究中，两个关键行为参数被设定为γ=0.10和β=1.00，其中γ反映乘客对时间依赖型综合出行成本的敏感度，β则控制路径重叠修正的强度。为检验这种行为设定的稳健性，我们还进行了简化敏感性分析，即固定β=1.00时改变γ的值，使其分别为0.05、0.10、0.15；同时固定γ=0.10时改变β的值，使其分别为0、0.5、1.0、1.5。此处β=0意味着完全取消路径规模修正项，此时路线选择不再考虑路径重叠因素，而简化为基于所列路径的标准成本逻辑回归模型。分析结果表明，尽管详细的路线选择比例及部分性能指标会随行为参数的变化而略有差异，但主要结论依然稳定。尤其是各候选服务方案方案的相对排序，以及乘客服务与能源效率之间的关键权衡关系，在所有测试的参数组合下都保持不变。此外，β=0的情况通常会导致乘客服务性能下降，这进一步证明了在过度饱和的URT网络中考虑路径重叠的重要性。5.2.2 优化结果优化工作始于一个初始服务方案，该方案基于各线路的实际运行速度以及对应4分钟发车间隔的列车编组规模。在需求方面，乘客最初会被分配到自由流行驶时间最短的路径上。随后应用所提出的BEAS框架，其目标函数将乘客出行成本与能源消耗成本按1:1的比例加权。总迭代次数设为20次，每进行4次迭代就会更新一次供给方服务方案。为提高计算效率，采用了基于Joblib的并行计算策略，以便同时评估各线路的所有候选服务方案，这也是整个过程中耗时最多的步骤。这一方法大大加快了求解速度，提升了算法在大型网络中的可扩展性。最终在5小时内得到了最优解。如图12所示，目标函数值迅速收敛，在10次迭代内就达到了较低值。下载：下载高分辨率图片（151KB）下载：下载全尺寸图片图12. 迭代过程中目标函数值的收敛情况。优化前后需求侧指标（总出行成本、平均等待时间以及总滞留人数）与供给侧指标（总能源消耗成本）的变化情况如图13所示，这些数据充分体现了所提BEAS框架的有效性。从图中可以看出，优化后所有关键指标均有改善，尤其是平均等待时间和总滞留人数的下降幅度十分显著。这些结果表明，所提出的框架能够有效缓解过度饱和网络中的拥堵状况，从而缩短乘客等待时间，减少无法登车的情况。下载：下载高分辨率图片（160KB）下载：下载全尺寸图片图13. 优化后的各项指标。图14按照发车间隔缩减百分比从高到低对28条地铁线路进行了排序，数值越大表示优化后的服务频率越高。该图展示了三个关键服务方案指标的变化情况：列车编组规模、运行速度以及发车间隔缩减百分比，这些都是相对于基准配置而言的，基准配置采用中等速度和4分钟发车间隔。为便于理解，结果分两个面板展示。下载：下载高分辨率图片（254KB）下载：下载全尺寸图片图14. 优化前后各线路的列车编组规模、运行速度及发车间隔变化情况。优化结果显示，不同线路的调整方式存在差异。在某些线路上，增加列车编组规模或提高运行速度能够缩短发车间隔，提升服务质量；而在另一些线路上，为了节省能源，会通过略微减少列车编组规模或降低运行速度来延长发车间隔。在列车资源有限的情况下，系统必须在保持乘客服务质量与控制能源消耗之间找到平衡点。研究结果表明，在北京地铁网络中，可以将列车从资源相对充足或需求较为适中的线路，如7号线、19号线、16号线、11号线、15号线以及昌平线，重新调配到客流量大、服务压力较大的核心线路，如1号线、八通线、2号线、4号线和大兴线、13号线以及14号线。进一步分析发现，像10号线这样的线路，可以通过在保持列车编组规模不变的情况下提高运行速度来实现发车间隔的缩减。由于这类环线线路的运行周期较长，若要大幅缩短发车间隔，则需要大幅增加列车编组规模。在这种情况下，提高运行速度便成为在资源受限条件下的有效调整策略。而在17号线和19号线等其他线路上，虽然提高运行速度有助于缩短乘客的出行时间，但发车间隔仍会随之增加，这说明列车编组规模对服务频率的影响更为直接。速度控制则是提升单列列车容量利用率的辅助措施。5.2.3 不同线路间列车调配带来的运营启示鉴于在列车资源有限的情况下实现均衡资源配置至关重要，本节以5.2.2节得出的优化结果为基准，开展了敏感性分析，该基准情景被称为“预算1680”情景。在保持乘客需求不变的前提下，我们通过将可用列车编组规模分别提高到1800和2000，来改变整个网络的总体列车预算。对于每种列车预算情景，该框架都会求解出各线路间的最优列车调配方案。需求侧和供给侧指标的变化情况如图15所示。当目标函数中对乘客出行成本与能源消耗成本赋予相同的权重（1:1）时，增加总体列车编组规模能够持续提升乘客侧指标，但也会导致能源消耗大幅上升。值得注意的是，当列车预算从1680增加到1800时，出行成本的边际改善幅度要大于从1800增加到2000时的改善幅度。不过，这种改善是以能源消耗急剧上升为代价的。下载：下载高分辨率图片（301KB）下载：下载全尺寸图片图15. 列车编组规模逐步增加对关键指标的影响。具体而言，当总体列车编组规模从1680增加到1800时，总出行成本可降低8.6%，平均等待时间可减少19.0%，总无法登车人数可减少27.7%，但能源消耗则需增加78.3%。这些研究结果表明，适度扩大列车资源虽能提升乘客服务质量，但也会带来沉重的能源负担。从节能角度考虑，交通管理部门在考虑扩大列车规模时应谨慎行事。图16展示了在不同总体列车预算下，列车在各线路间的分配情况，x轴显示的是在“预算2000”情景下按分配到的列车数量排序的线路。正如预期，大部分列车资源都集中在需求量大、周转时间长的线路，如14号线、1号线与八通线、4号线与大兴线、6号线、8号线、10号线以及13号线。下载：下载高分辨率图片（186KB）下载：下载全尺寸图片图16. 不同列车预算下各线路的列车调配调整情况。当总体列车数量从1680增加到1800时，新增的列车资源主要分配给了5号线、6号线、亦庄线以及首都机场快线，这说明这些线路在提升网络性能方面具有较高的边际效用。而当预算进一步增加到2000时，新增列车则主要分配到了8号线、房山线以及17号线北段。这一分配顺序体现了这样的优先策略：首先加强那些服务压力极大的核心线路，然后再有针对性地支持那些需求正在增长或新出现的线路。总而言之，数值实验表明，BEAS框架能够有效地协调供需关系，从而制定出注重能源效率、以乘客为导向且兼顾平衡的服务方案。该框架在10–15次迭代内就能实现快速且稳定的收敛，并且始终能以较高的计算效率得到接近最优的解决方案。控制实验显示，灵活的乘客路线选择相比单纯的供给方调整更能提升服务质量，而在列车资源紧张的情况下，速度灵活性比增加列车编组规模更能有效降低出行成本。敏感性分析也证实，在资源受限的情况下，BEAS框架会优先考虑那些需求大、周转时间长的线路，并重新调配列车资源，以减轻拥堵和滞留现象。无论在小型还是大型网络中，该框架都能很好地适应不同的运行条件，提供清晰且高效的运营策略，从而缓解过度饱和状况，提升系统性能。6 结论本研究针对过度饱和条件下的URT网络，开发了一种综合性的BEAS服务规划框架。该框架通过同时优化列车调配与线路级运行速度，并充分考虑乘客的适应性行为，为确定合理且可行的服务频率提供了统一的供需决策框架。为了解决由此产生的大规模耦合问题，本研究提出了一种基于分解的迭代求解方法，该方法将供给方子问题转化为易于处理的背包问题形式，而需求方子问题则用于在时间依赖型出行成本条件下更新乘客的路线选择。在合成网络和真实网络上的数值实验均证明了所提框架的有效性与可扩展性。小型规模案例表明，灵活的乘客路线选择相比单独的供给方调整更能提升服务水平，而在列车资源紧张时，速度灵活性又能有效弥补列车编组规模不足的问题。北京地铁的案例进一步证明，通过协调列车调配与速度调整，可以在控制运营成本的同时，大幅缩短乘客等待时间，减少滞留现象。此外，该框架还能支持多种不同的规划优先级，包括以乘客为导向、以运营方为导向以及兼顾平衡的策略。研究还带来了一些更广泛的启示。首先，运行速度并非仅仅是时刻表上的一个参数，它更是释放运能的战略手段，尤其是在那些运行周期较长的线路上。其次，列车规模的扩大只能在一定程度上提升乘客服务质量，超过一定限度后，边际收益会逐渐减弱，而运营成本则会迅速上升。第三，兼顾平衡的规划往往比极端的政策取向更为有效，因为只有当乘客服务与运营成本相互协调而非孤立追求时，才更有可能形成稳健且可行的解决方案。这些研究结果表明，对于过度饱和的URT系统而言，有效的规划应着眼于对有限资源的统筹管理以及乘客需求的应对。未来的研究可以在此基础之上朝多个方向展开。首先，虽然本研究采用平均时间值来衡量与乘客相关的成本，但未来的研究可以考虑具有不同时间价值的各类乘客，比如通勤者和非通勤者。其次，随着多模式和电气化交通系统的不断发展，该框架还可以进一步拓展，以实现与公交服务、自主微型巴士系统、车辆编队运输、道路信号控制、电动自主按需出行服务以及共享充电基础设施之间的协同运作（Curtale和Liao，2023；Jin等人，2024；Liu等人，2024；Liu等人，2025；Xie等人，2024；Zheng等人，2024；Zhou等人，2025）。第三，未来的研究还可以将战略服务方案与列车级时刻表制定、列车运行调度、灵活的列车编组以及跳站运行设计相结合（He等人，2025）。在基于时刻表或运营控制的系统中，纳入再生制动、加速度/减速度曲线以及随乘客载荷变化的列车质量，也将具有重要的价值（Yin等人，2017；Yin等人，2016）。此外，该框架还可以与短期出行需求预测及以韧性为导向的评估方法相结合，以应对异常或中断的运营状况（Wei等人，2024；Zhang等人，2024；Zhu等人，2025；Zhuo等人，2025）。还可探索更精细的速度控制策略，比如基于路段的优化，从而进一步提升能源效率与系统韧性。

CRediT作者贡献说明：
Siyu Zhuo：撰写——初稿，撰写——审阅与编辑，概念设计，研究，方法论，软件，可视化。
Xiaoning Zhu：撰写——审阅与编辑，指导。
Pan Shang：撰写——审阅与编辑，指导，概念设计，方法论，软件。
Zhengke Liu：撰写——审阅与编辑，研究。
Feixiong Liao：撰写——审阅与编辑，指导，概念设计，方法论。

Siyu Zhuo|Xiaoning Zhu|Pan Shang|Zhengke Liu|Feixiong Liao